Cela posé, on aura d'abord
— =a(-i., -i-i)b, cosô + G, CCS 20 +(0, ces 30+. . .)
-+- /y« [-i>, -h a\ -f- (iJîj.H- ^,) COS0 H- (G, 4- ^,J COS 2 0 -h ((0, -4- «,) C08 3 6 -h ...] -h iV'af^fsH- ^sCOS© -h ^3 COS 2 0 -+- SiCOS30 -h. . .)»
et de même
— =«'(. A,, -h Ub.COSÔ H-C, COS2 0 -h(t), cos30 -h. . .)
-h /ya'(a\4-^jCOS0H-«!a,COS20-+-^jCOS3O-4-. . .)
-+- iy'a'[-l,, -hP3-4-(iib,-4-^)cos0-+-(O, -+-.'R.,)oos2 0-f ((0, -f s,)rt»s.HO -t ...|. Donc, multipliant cette dernière quantité par cos^, on aura
— COS0 = a' h -A., H 1 cosO -f- «Ml?* '}0 ♦ ...
f^ I 2 y 2 / yi
^ ira' y h ^ U\ ^ 'l cohO » ^' * '^^ voH^Ù »... 1 — ir rt' - -/-^- -4- ("^-1 MA*, » ) «'OH«
^ ^ ro* iW ♦ ... |<
Or, en négligeant le» termen de Tordri» do i*.
et par conséquent
—f- COS0 =: -7- COS0 — -i-iy 7, (!OSÔ.
Donc si Ton fait
.1,3 zn a^ oA>, ~ a}d — ^5
•Ub2=«''0b,— «'fl'
(i, z=«»(..i„H- ^JPO - à} a! ^%
on aura (n*^ 67)
K— —( (.1-2 -f- 1)1)2 COS0 -4- C2COS2Ô H-CDjCOsSO -h. . .)
-<-''-^r (^«-^- '?4COS0 4-^4C0S2Ô 4-S4COS30 -h. . .)
Maintenant on aura
^ sine = «' 1 (.i,, - 1') sinô -1- "^' ~ '^' sinae + . . .1
/Va' I U\ - -'\ sine + ii— ^ sinae -f- . . .1 I V a / 2 I
et
-7- sin G = -— sin 0 — 2 iV -^ sin 0.
Donr, si Ton multiplie ces deux quantités par r = aii -hiy), et qu'on fasse
iJVi^ «^«'
ift>, — (0,
V 2 a / rt'
ou aura (numéro ritéj
Q- -(-^isin0 4 iiU,!Hln».6 4 C,s(n.')(? < ..
-h /— ,r (^« sin0-+-^6sin20 -haesin30 -f-. . .)
-f-i — r'(*7sin0-h 3,sin20-f-a,sin30-f-.. .)• a ^
Enfin on a
d'où, en négligeant les termes de Tordre de e^, on aura
P=z/J' (za— 2'a')(a.>, -hiJl.cosô-i-a, COS20-+-. • )•+- 4", •
De sorte que, si Ton fait
X^ z= rt-^.l,, — .1,,, i)j„ =: a' uî,, — ift,2, 34 = a»e, — Gj, . . . ,
.^ — — rt^aM,,, ijbj = — a'a'ijb,, Ci =: — a'«'8,, . . . ,
on aura, aux quantités de Tordre de »'^ près,
— ^^^ ^ — i —^Z («m- \)biCOS0 -I-84COS20 -4-C04COS3ô -4-. . .)
-h I —^'(-Is-f- \)l)sCOSÔ H-3iCOS20 -h(Ô5^OS30-h. . .)•
Et il ne restera plus, pour achever les substitutions, qu'à mettre au lieu de 6, e'est-k-dire au lieu de 9 — 9', sa valeur (A — A' j / -h i {œ — x' j, ou bien, en faisant A — A' = H, Et-\-i{x — x), ce qui est très-facile, car il n'y aura qu'à mettre partout dans les expressions précédentes Ut à la place de 6, et ajouter ensuite à la valeur de R la quantité
— / — (x — jr')(uî>3sinH/ -h 2S2sin2H^ -h 3(Ô2sin3H/ -+-. . .)»
et à celle de Q la quantité
i —(x — x')(-^3CosH/-4-2Db3Cos2H/ -h3C3Cos3H/-f-. . .)•
76. On sait que les masses de Jupiter et de Saturne sont très-petites
par rapport à celle du Soleil, en sorte qu'on peut supposer r - mm el
j = im'; donc, puisque b= — — (n** 72), on aura
où, faisant ; — è = n,
J' — /ViMi;
d'où il s'ensuit que les quantités P, Q, R sont (riîH-jielile.H «le Tordre île r, et qu*ainsi, pour satisfaire aux équation» ik) du numéro eilé, il efil néeefi-
saire de supposer — presque éjçal à A, et , ou bien // prejiqiie é^nl Soit done
— — h = i( el h - h* . t'u,
et les équations ^k) donneront, aprfe» avoir Hulmlihié le» VHleur<« de H* y et "y trouvées ci-dessus, et divisé le tout |»«r /,
— in / y (?*îHinll/-^ ^,^\u^Mf -^ .. .)tlf
— in I [x — X ) -I«»f05îll/ -^ iH.wo<; >ll/ ^ . . . m//. V — g -f- n ( 'l- H- uV. ^os H / -►■ C, f fr>; > Il / -i . . . j
— /n'.r - r')('T*v.sir»H/ ->- £^,sîn?. Ilr -^ . . . >, / /n5 . «1, -4- iiUi rosH/ -^ 3, ros>ll/ J- . . . )
77. Ayant ainsi les valeurs de X, Y et Z, il ne s'agira plus que de les substituer dans les équations du n^ 72. Or, si l'on met A^-H«g au lieu de b, qu'on néglige les quantités affectées de i^u et de ix\^ (parce que n est aussi une quantité fort petite, comme on le verra plus bas), et, qu'après avoir ajouté ensemble les coelficients des termes analogues, on fasse
"K =- '\S\>i — |v «Va»
ijî,7 = 84 -+- -n 1)1,3, . .
et ensuite
<I) =:cl.«cosH/ -M)l,eC0S2H/ 4- . . . H- />' ( <JPh cos H / -4- ^, cosaH/ -h. . .) -h iy' ( i\ -f- ^5 cosH / -+- a, cosaH ^ -f- . . . )
-^-2iA / j (a^sinH/-4-^.sin2lU-h.. ,)dt
-f- 2/A 1 r'(^\sinH/-*- ^7sin2H^4-. . )dt
— /(x — x')(uî)2sinH/-i- C2sin2H^ -+-. . .)
-»- 2/A \ (x — x')(^^cosH/ -+- 'i)b8C0S2H/ -h. . .)rf^
^r=z(oi., COSH/ -f-llb7C0S2H/-l-. . .)-+- «' ( -^ 4- ifcs COsH / -f-C!,COS2H/ -f-...),
E — — ~ (-l,cosH/H ^cos2H/-4-...j -+-^j(.ar,cosH/H :'cos2H/ -h...\
-h I / (:r — y )(Jl.,cosH/-»-'\ft)sCOS2H/-f-. . ,)dt.
on aura les équations suivantes d\r
dt'
[A»-4-£(6Af— îxg4-3lP4-n<J?4)]r
/) -h g — aAf — /P -h n-^ — 3/ [A» -+- £ (4Af — g)] r'
