RECHERCHES SLR LA METHODE

ei Von kxsr^ d'hbi^râ i-ette équation

pdï — qdu -^ rdjr -t- sdr -t- . . . = o.

Maif coiiimf b relation entre /, i/, x,... est enc4>re iDdêtenniDêf , de

nifîin^' que e^lle de leurs différentielles ib, du^ dx et que d'ailleurs

f'équation donnée doit être \Taie quel que soit leur rapport, il est évident que pour les chasser tout à fait de Téquation, il faut égailer séparément â zéro chaque membre /7^« qdu^ rdx d'où l'on tire autant

dVquali(»ns particulières qu'il y a de variables, savoir :

Par le moyen de toutes ces équations on trouvera les valeurs de chaque

inconnue /<, u. x qui, substituées dans la fonction proposée Z. la

rendront un maximum ou un minimum,

3. Pafïsons maintenant à Texamen de la seccinde différentielle. En Kuppofiant, ce qui est permis, les premières différentielles dt^ du. dx — eonHtanies, on aura

d' Z = dpdt -h dqdu ^ drdr -h dsdy -h . . . .

dp — Adt-^-Bdu-^- Ddx -h Gdy -h . . . , dq i=Bdi -\- Cdu-\-Edr -hRdr-h. . .^ dr = Ddt -h E rftt -h F^x -h Idy -h . . . , ds = Gdt -\- Rdu -h l dx -\- hdy -h . . . ,

ce qui donnera

dl= \dr -h iBdtdu -h Crfa' -h ^Bdtdx -h ^Edudx

-h Fdx' -h 2Gdtdr-\- 7.Ududr-h 2lrfjrrfr-»-Lrfr*-h

Pour c(»mmencer par le cas le plus simple, supposons qu^îl bV iÊtf^ qu'une seule variable /, de sorte que rf^Z = Adt^; on voit d'abord fue» puisque dt'^ est toujours positif, la différentielle d^Z doit avoir le mène signe que la quantité A; donc, si A est positif, Z sera un imi9ài|icJK, t^ni^

DE MAXIMIS ET MIMMIS. , 5

A est négatif il sera un maximum; si A = o on suivra les règles données (1).

4. Les variables contenues dans Z soient deux, savoir / et i/; alors

rf» Z = kdt^ -h iBdtdu -h Cdu\

Il parait au premier aspect bien difficile de connaître si cette expression d^Z doit être positive ou négative, sans qu'on ait le rapport de dt à du, qui n'est pas donné; car, puisqu'on cbangeant ce rapport la fonction d^Z doit aussi varier, il semble indubitable qu'elle pourra aussi passer du positif au négatif, et du négatif au positif, pendant que les (|uantités A, B, C restent les mêmes. Qu'on donne cependant à la proposée

Arf/» -4- iBdtdu -4- Cdu^ cette forme

et on verra que, comme les carrés ldt-\ — jr-^j et du^ ont toujours le

même signe -h, toute la quantité sera nécessairement positive si les

deux coefficients A et C — r- sont positifs, et au contraire elle deviendra

négative, lorsque ceux-ci seront tous deux négatifs, quel que soit le rapport de dt à du. On aura donc pour le cas du minimum

savoir

B' C > — ou CA > B%

ce qui donne de même

C>o; à moins donc que les quantités A, B, C niaient ces conditions A>o, C>o et AC>BS

i BECHEBCHES SI K LA METHODE

lit prH|MM»*^ Z be (H»urni pk^ êtr^ un miuimum. Eo M^'ODd lieu on tn*Qv^Tif |i«mr k rtuirunuin