CA>B
|>uiKqu«' A f*Ht iif*{ratif, <i* qui donne encon-
(liiiK l<fh r.uuditiou» pour le maximum seroDl eu parue les mêmes, et eo
|i«rlM* prfîriHénifnl contraires à celles du minimum.
5. Si A ou (j, ou toutes deux sont égales à zéro sans que B le soit Hussi, la (-onditioii de AC > B^ ne |K»urra pas subsister, ainsi la quantité propohée n** deviendra jamais un vrai maximum oïl minimum; la même clioKf' arrivera toutes les lois que A et (^ seront de signe contraire, car puisque' W «*Kt toujours positif la eonditi<m de AC > B* devient imposf%il*lc. Si B s'évanouissait encore en même temps que A ou C, rf*Z se Irouviîrait réduite au cas d*uue seule variable, et par conséquent pourrait 4Mr4' <lc nouveau un nuiximum ou un minimum^ ou ni l'un ni Tautre, M'Ioii ce qu'on a dit pour le» premier cas. Enfin, si la quantité </'Z était (oiM<* é^alc à /.éro, savoir
il l'audrait recourir à la différentielle tnûsiënie; que si celle-ci se trouve n'être pas é^ale à zéro, la quantité Z ne peut être ni un maximum ni un minimum; et au contraire, si elle évanouit en même temps que b seconde, on cherchera tout de suite la quatrième: et si elle n*est pas évanouissante, il M'ra facile, par la méthode dont nous nous sommes Mrvi ci-devant, de connaître si elle est positive ou négative, ce qui déterminera de nouveau le maximum ou le minimum.
DE MAXIMIS ET MIMMIS. 7
6. Lorsque les variables sont trois, savoir t, u, x, la différentielle d^Z prend cette forme
rf>Z = Arf/> 4- zBdtdu -f- Cdu' -+- 7.Ddtdx -f- %^dudx -4- ¥dx'
qu'on réduira d'abord à
Soit posé
et on aura
j^ * /j Brf« DrfxX» , ...
a»Z = A(a/H — ^H — ^j -^adw -i-'?.bdudx -Jt-cdx^\
qu'on opère k présent sur ces trois derniers membres, comme ou a fait ci-dessus (4), et toute la différentielle proposée d^Z deviendra
or, les carrés (^"+- -â~ "^ ~Â~) ' (^"^ ) ^^ ^^ ^^^^^^ toujours
positifs, toute la différentielle sera de même positive si les coefKcients A, a et c ont chacun le signe -+- ; on a donc pour le minimum les
conditions suivantes
A > o, a > o, ea > 6*,
ou, en remettant au lieu de a, b, c leurs valeurs,
savoir
A>o, CA>B' et (CA — B')(FA — D')>^EA — ■»)%
d'où il résulte encore
C>o, F>o el FA>D'.
On trouvera par les mêmes principes pour le maximum
A<o, CA>B^ el (CA- BM(FA~D')>(EA~BD)%
et par conséquent
C<o, F<o el FA>D=.
7. Si les quantités A et C évanouissent seules, ou toutes deux, ou une simplement, la seconde condition devient impossible; si c'est F qui évanouit, alors la troisième devient impossible; car (CA — B'*) (— D*), qui est nécessairement négatif à cause de CA > B^, doit toujours se trouver moindre de f EA — BD)*, d'où il suit que Z ne saurait être u« maximum ou un minimum, si A, C, F prises séparément ou ensemble, comme on voudra, sont égales à zéro. Si par l'évanouissement des termes la différentielle ^^Z se réduisait à deux variables, ou à une seulement, elle tomberait dans le second cas ou dans le premier, et on devrait suivre les règles données (3 et suiv.). Enfin, si toute la d^Z se trouvait égale k zéro, et que la difTérentielle troisième ne fût pas de même égale à zéro, on serait sur que la proposée Z ne pourrait jamais devenir ni un maximum, ni un minimum; et quand cette différentielle troisième évanouirait avec la seconde, par des transformations semblables à celles que nous avons pratiquées, on pourrait dans la quatrième différentielle distinguer le cas du minimum et du maximum et ceux qui sont inutiles.
8. On peut étendre la même théorie aux fonctions de quatre ou plus variables. Quiconque aura bien saisi l'esprit des réductions que j*ai employées jusqu'ici, pourra sans peine découvrir celles qui conviendront à chaque cas particulier. Au reste, pour ne pas se méprendre dans ces recherches, il faut remarquer que les transformées pourraient bien venir diflerentes de celles que nous avons données; mais en examinant la chose de plus près, on trouvera infailliblement que, quelles qu^elles
soient, elles pourront toujours se réduire à celles-ci, ou au moins y être comprises.
9. Comme je crois cette théorie entièrement nouvelle, il ne sera peutêtre pas inutile d'ajouter les réflexions suivantes. Quel que soit le npmbre des variables qui entrent dans la fonction proposée Z, si on les regarde chacune en particulier, et qu'on cherche le maximum ou minimum qui lui convient pendant que toutes les autres demeurent les mêmes, on trouvera à part les premières différentielles pdt^ qdu^ rdx,,..^ dont chacune étant égalée à zéro nous donnerait les mêmes équations que ci-dessus (2)
De la même manière passant aux différentielles secondes, on trouverait celles-ci séparément Arf/*, Crfw*, ¥dœ^, Ldy^,..., et par conséquent si A, C, F, L,... sont toutes positives ou négatives, on pourrait croire que cela suffit pour que les valeurs de /, w, a:,..., tirées des équations /> = o, y = o,..., rendent nécessairement la proposée Z un minimum ou un maximum. Il est vrai, en effet, que par rapport' à chacune de ces variables considérées à part, la quantité donnée Z devra toujours être la plus grande ou la plus petite; mais est-il certain que ce qui vaut pour chacune prise séparément doive aussi valoir pour toutes ensemble? Examinons la chose plus intimement.
10. Que la proposée Z contienne les seules variables t et w, et on pourra la regarder comme l'ordonnée à une surface, dont / et w sont les deux autres; donc la question dans ce cas se réduit à trouver la plus grande ou la plus petite ordonnée d'une surface dont Téquation est donnée, savoir
dZ=:pdt -+- qdu.
Si l'on fait u constant, elle se réduit d'abord à
dZ = pdty
iii:i:u£iu:uL> slk la methodi
Cl «Liit^ «:is iMtr rAnnuic ioulf^ ie> Mciious de ia JBaoïe supcrui:
«i»î«r-rni.v >,»ji (loi: iMi^ //= n. f'i OU auFa !2 uiip vaieuT' «I- / a «tiiimi V; ^:^ iiHin craiMii* on t:i plus fietiie onloBBée Z dans cliacuiie u*' «siNiKiit^ n;)rHllHr^: iHais. nuitiqiK* // «si coBStaou si i on dificmBif*- «*
iioMvi'iJi; .. ^.. on
. i !.. roiiM*ciittM:i on iu<*tfra iHi moxunMWi ou iRiHaHBmiiar la «eu*'* ^'• Il .! - .. Hi»r*^ V H\on rvMendaiii suitsutur à la place de / i:i vaieiir a» i**!ii: i-uiiam .. -. savoir > A st* iroBvt* poBÎtivt' ou fteg^rr^iM;( : i» : N. . . \;4ftM:v lit* i.. on i»ii*ii ^i. en cliaiiffeant li. eiit' eeui att^ . ii.uèr •: m;.M' . o.' ronriuiM dans if premirr eus mif* loiHt-- -wsoh-
M ^ V . L:ir NULvmuiT/i o:: un nanamo}i, ot dans Ir-ncscono aif*«*H*
• ..• ( tii t*^-:i<ii(c^ iiiiiMt'^ un nuucuïïunïL. entn* d'antres jin"iHBHHKr. ^ .^ r>. 'j:. . év\ . uiicit uo" son i;i vaiei])' fit* ki cannaaiie u. air^ .lui un- <irMaii'-> :«*'*riiuii*' îi aur.' ii! un iroxhihdti nmn'XBHBHBr.-.'. jjuu. - .. ii. » if.il ?%fiitrntcii« fîtf; : .1 /er. . lorsatit; u a fie taseanie^ vsHffnY-N oit*
t" '. .... . • — «.. - T^i'litfUlfl.; fr^ ^epll01»^ eOTRBIMIIUiaitte ^flPHIM Ht»-
;i, ■^ o */u*u.-iOi4i''. l'.i ti:j nunmiuii.. i.* iieu ne lOMes-eesowiaiHWM-* ni •^- .. nuukiiéui^ it u fmmnutJL o\\ ni i un ni lamrî-.-wr;! nantti) .*.. = •• • iMiu.M — . V îi\ai;. exrarti n j;i iieu»^ TanaiMétit*-fîv i;: ««j-'iirii' u-.t? ;*ai - I iiteii* ■ suf^rmeir' utt*"«wiion »inwi;* :r9BDn* . .mui' ,**iniMji . t ui 'ï^' tietfTimfiee«nr'tes'<leuv^«mBiim*
. ,,. i»4«i • notii«*^ ;■* maxuïïuui} on ifraMBMM^iiinfr.îrbur- ...II.;: î o**Titt' i 1 iniî^rraiitiv 011 (;) ntiisiiAlti^vinttintn^
«• . ;.iut* varialtî'.
DE MAXIMIS ET MINIMIâ. 11
11. Passons maintenant à la différentielle de q\ elle a été d'abord, supposée (3) égale à ^dt-\-Ç*du\ mais puisque dans ce cas t est déterminé par u dans l'équation p = o, ou bien dans sa différentielle
Adt 4- Bdu = o, dt est égal à j—^ ce qui rend
dq=(—j-'hC\ du;
il résulte donc que si — -j- -h C est positif, savoir si C > -t-9 l'ordonnée
sera la moindre; si C < -r-» elle sera la plus grande, et si C= -r-? elle ne
sera ni l'une ni l'autre, à moins que les conditions requises dans les différentielles des genres plus élevés ne soient remplies. Or, en réfléchissant sur ces maximum et minimum^ il sera aisé de comprendre que l'ordonnée Z ne pourra pas être un maximum entre toutes les autres, à moins qu'elle ne soit la plus grande de toutes celles qui sont contenues dans la section déterminée par dZ = qdu, et de plus que toutes les ordonnées qui composent cette même section ne soient encore elles-mêmes des maximum dans les sections parallèles correspondantes (10). On prouvera de même que la quantité Z ne saurait être absolument un minimum sans qu'elle soit de même un minimum dans la section qui contient tous les minimum. Car dans tous les autres cas l'ordonnée serait ou la plus grande ou la plus petite d'entre celles qui ne sont ni les plus grandes ni les plus petites, ou bien entre les plus grandes ou les plus petites, elle ne serait ni la plus grande ni la plus petite, ou enfin elle serait la plus grande d'entre les plus petites, ou au contraire, ce qui ne donne pas un vrai maximum ou minimum comme on cherche. De tout ceci je conclus donc qu'après avoir tiré des équations /> = o, y = o, les valeurs de t et u, et
les avoir substituées dans A et dans C — -r-» il faut, pour que Z soit un
vrai maximum, que A soit négatif et
C<-T-, savoir CA>B*;
iû RECHERCHES SLR LA METHODE
et au contraire, si Z doit être un vrai minimum, od doit trouver A pcisitii
C > -- • ou CA > B',
(conformément à h théorie générale expliquée f 4 et suiv. /.
12. Si, au lieu de considérer d*abord u constant et / variable, on avait fait £/ variable et / constant, on serait parvenu aux déterminations «oivantes
C<o et AC>B= pour le maximum, et
C>o et AOB'
pour le minimum, c^ qui revient au même. Au reste., oeftte «néfbode que nous venons d'employer pour déc<>uvrir les coodilioBfi des ^masâmum ^ mifùmam dans les fonciions à deux seules ckaiigeaDles^ «fli égailem«iit applicable à toutes les autres fonctions piiis composées, «fie a iraàme Tavantage d'être plus analytique et plus directe que ia premîèBH'^ c'^ieiH pourquoi je tâcherai ici de la développer dans toute sa géséniâilé.
13. Soient les variables contenues dans Z en tel nn«Are ^* je ne considère d'abord qu'une variable seule, et Je tkie par la tiation Téquatiou pour le maxinujun ou nûmmum qui lu en passant à la difiérenûelle sec<>nde, je trouve les < minent la proposée à être un maximum ou un mûiânmi. 4m wà Tn w Tau Ire. Après cette première opération, je substitue dass Z «0« kim\ if r diflérentielles simplefiient la valeur de la premiërr varijMe Ihmiuil^ h je procède sur une autre variable de la même mamcrr: ensûlTi, de nouveau dans la fou<rtion proposée Z la valeur qa^oo aora pour cette seconde variable, on passera à Texamen d^one traîsiaBe lariable. et ainsi de suite, etc. Soit / la première variable qa'*OD ¥rat < dérer dans Z. et on aura
dT — pdt ei d'T — Kdl\
d'où /> = o, et A > o pour le minimum, A < o pour le maximum (1 ). Que teiu soient à présent toutes deux variables, il en résultera
dZ = pdt'hqdu,
qui, à cause de/> = o, se réduit à
d7. = qdu,
d'où Ton tire
d'Z = {Bdt'hCdu)du;
mais puisque /> = o, dp\e sera aussi, et par conséquent
Arf/-t-Brfii = o, ce qui donne
cette valeur substituée dans d^Z la changera en
d'Z=(~'hC\du\
j'aurai donc y = o et pour le minimum, et
pour le maximum, savoir, puisque A est positif dans le premier cas'et négatif dans le second, en multipliant par A, il résultera toujours la même condition de AC>B^. Si, outre les deux précédentes, il y a encore une troisième variable 'x à considérer, je cherche la valeur de rfZ eu égard à ces trois variables /, w, Xj et je trouve
d7,=:pdt -h qdu-^- rdx.
1 Kf. JLEI;Jit* -SI I La M£T94«l«i
••• fin.. ; (UâU1«' O» / =1 l f = '.. te* t!lAj|]|ff «
Oui.' i. difiMreiat»*lf -^••uiiu* e»**r«
fi = l»iï — Lai — ? or or
A |>î't1»»*U.. U*r !• lil"^**! 0*f.- ♦-aUalJ01i■' /•::r i ( — L «II. |||#M U* t*fUrr dlfif^*'lll»^lHfr
AC — i>ai — l»ûr HT I *•- ttf- — t^ai' — i-itr^^= f <•«♦•rr.li' (»♦•- xai^-urr u* tf: **' eu. *-l oa . -er i+ mmv*
