V -pp -^ aqq' et Q =/ig' -h qp

P = pp' — aqq' el Q =pq' — qp'»

En général, si R est exprimé par A'^B'^C'^iy..., A, B, C, D,... étant des nombres de la forme de P^ — aQ^, mais qui ne soient qu'une fois de cette forme, le nombre R sera (comme je l'ai démontré ailleurs) de la même forme autant de fois, ni plus ni moins, qu'il y a d'unités dans la moitié de ce nombre (m-hi) (/i-f- 1) fr-h i) (5-1- i)... s'il est pair, ou dans la moitié de ce même nombre augmenté de l'unité s'il est impair. Ainsi les quantités P et Q auront chacune autant de valeurs dit-

/»' * VI 1» '^> 1 (m 4- i)(n -h i)(r-i- i)(* -h i). . . ,

ferentes qu il y a d unîtes dans ^ — ou dans

- — îii-^ — ^-1^ — '^v^"*" '^^• — 1, et chacune de ces valeurs fournira

par conséquent quatre solutions du problème.

29. Examinons séparément le. cas oii a est un nombre positif, et celui où a est un nombre négatif.

i" Soit a un nombre négatif = — e, en sorte que e soit positif, et la forme du nombre R sera P^H-eQ*; donc, puisqu'il est impossible que l'unité soit de cette forme, le nombre des facteurs A, B, C, D,... (numéro précédent) qui sont supposés être de cette forme sera nécessairement limité; donc le nombre des valeurs de P et de Q le sera aussi; par conséquent le problème ne pourra avoir qu'un certain nombre de solutions rationnelles, qu'il sera aisé de trouver par la méthode précédente, et s'il arrive qu'aucune de ces solutions ne donne des nombres entiers pour les valeurs des inconnues œ et j, on en devra conclure que le problème n'admet point de solution en entiers.

2^ Supposons que a soit un nombre positif; dans ce cas, comme l'unité est toujours de la forme de P^ — aQ^ quel que soit le nombre a, il est .clair que le nombre des facteurs de R de la forme dont bl s'agit sera infini, parce qu'on peut toujours regarder le nombre R comme multiplié par une puissance quelconque de l'unité; ainsi, ou le problème n'admettra point de solution du tout, ou bien il en admettra nécessairement une infinité.

Pour comprendre toutes ces solutions dans deux formules générales, soient/?' et q' deux nombres tels, quep^ — aq'^ = i , et, multipliant cette équation par l'équation P^ — a Q^ = R, on aura

d'où l'on voit qu'ayant trouvé deux nombres P et Q qui satisfassent à l'équation P^ — aQ^ = R, on pourra mettre dans les formules du n® 28- P/?' ±: aQy' à la place de P, et Vq' ± Qp' a la place de Q, ce qui donnera en faisant abstraction de l'ambiguïté dçs signes, à cause que les nombres

P et Q peuvent toujours être pris positivement ou négativement.

Or nous avons démontré f n° 17) que si p eiq sont les plus petits nombres qui satisfassent à l'équation p'^ — aq'^ = i tous les autres nombres possibles sont renfermés dans ces formules :

r^(p-^q >i^rrJp - ? v^^r ^

en prenant pour m tous les nombres naturels i, 2, 3,..., à l'infini; donc, si l'on substitue ces valeurs de p' et q' dans les formules précédentes, on aura

Donc, si l'on met dans ces formules les différentes valeurs de P et Q qui naissent des facteurs de R qui sont de la forme de P^ — aQ*, et qui sont plus grands que l'unité, et qu'on fasse successivement /w = i,2,3,..., on aura absolument toutes les solutions rationnelles possibles de l'équation proposée

3*^ Soient, pour plus de simplicité,

aQ-~;3P=:F, ]. 92

et Ton aura

^p'-haQq' — b •^ a

donc, a moins que les numérateurs de ces deux fractions ne soient divisibles exactement par leurs dénominateurs, les inconnues x et j ne pourront être des nombres entiers.

Supposons

et nous aurons

P'(/-i) + fl a

Or je dis que Ton peut toujours prendre l'exposant m, dans les valeurs de/?' et q\ tel que x* et y' soient des nombres entiers.

Pour cela on décomposera le nombre x en ses facteurs premiers, en sorte que l'on ait (x=^ 2?m'm"rri\.., rn!^m'\ m\,,. étant des nombres

premiers; ensuite on divisera a ^ par m', et l'on nommera le reste r';

on divisera de même a ^ , et l'on nommera le reste r'\ et ainsi de suite; ces restes étant trouvés, on fera m égal à un multiple quelconque de 2*^* [rri — r') [m" — r") {m!" — r")... ; car. par ce que nous avons démontré plus haut (n®21), il est clair que/?' — i et ^r' seront divisibles par 2a; de plus il est facile de voir par les formules du n^ 16 que />' — i sera aussi divisible par a, à cause que m est pair; par conséquent x et y' seront nécessairement des nombres entiers.

Donc, si les quantités et sont des nombres entiers,

on pourra trouvç^r une infinité de valeurs de ^ et de j en nombres

enliers; or ces quantités ne sont autre chose que les valeurs de x et de y qui répondent à m = o, ce qui donne

p' = t, 9' = o, et par conséquent x" = 0, ^' = o,

c'est-à-dire les mêmes valeurs de x et de y que nous avons trouvées d'abord (n**28); d'où il s'ensuit que si l'on trouve une seule solution du problème en nombres entiers, dans le cas de a positif, on pourra par nos formules en trouver une infinité d'autres en prenant pour P et Q les nombres qui répondent a la solution donnée, et pour m un multiple quelconque de 2'^* [m — r )(m" — r"){rri" — r"' )...,

Au reste, il est bon de remarquer encore qu'il ne sera pas toujours nécessaire que m soit un multiple de ce nombre pour que x' et y' soient des nombres entiers ; car il est visible, par exemple, que si P' et Q' étaient divisibles par a, il suffirait alors que m fût un multiple de 2, c'est-à-dire un nombre pair, et ainsi des autres cas semblables.