Soit proposée l'équation

dans laquelle a, |3, 7, ^, c et t sont des nombres donnés entiers positifs ou négatifs, et a? et j sont deux nombres inconnus qu'il s'agit de déterminer de manière qu'ils soient rationnels et entiers.

Qu'on multiplie toute l'équation par ^a, et qu'on la mette sous cette forme :

( aa j: -f- Pj -+- a )« -- ( p j -h ô)» -- 4« ( /T' -4- er -^ ? ) = o-

Soient, pour abréger,

ô»— 4ar — c, et l'équation précédente deviendra

Cette équation étant multipliée para peut se mettre sous la forme suivante :

au^ = ( ay 4- 6 )* -t- ac — b\

ou bien, en faisant

ax-^b^t,

sous celle-ci

d'où l'on voit d'abord que le nombre donné R doit être de cette forme : f' — au}, pour que le problème admette une solution rationnelle.

J'ai donné ailleurs (*) la méthode de reconnaître si un nombre donné est de la forme de t^ — au^, a étant aussi donné; et j'ai fait voir que pour qu'un nombre quelconque R soit de cette forme, il faut que chacun de

ses facteurs premiers que je désignerai par rsoit tel, que a ' — i soil divisible par r; si cette condition n'a pas lieu, on peut assurer hardiment que R n'est pas de la forme dont il s'agit, et qu'ainsi le problème n'admet aucune solution rationnelle.

28. Supposons maintenant qu'on ait reconnu que le nombre R est en

(*) On trouvera dans le Tome II le Mémoire auquel Lagrange fait ici allusion; ce Mémoire a été inséré«dans le Recueil de V Académie de Berlin, ( Vote de V Éditeur, )

effet de la forme de t^^au^, et qu'on ait trouvé en même temps deux nombres P et Q tels, que R = P* — a Q^ ; en ce cas le problème sera résoluble en nombres, et il pourra même l'être de plusieurs manières; c'est ce que nous allons examiner.

Il est d'abord clair que, puisque

il n'y aura qu'à supposer / = P et m = Q, ce qui donnera

aj -h 6 = p, 2aa: 4- j3 j -h d = Q,

et, par conséquent,

p 4 Q-d 0(P-fr)

a 7.x 7.oLa

Or je remarque:

i^^Que les nombres PetQ peuvent être pris positivement ou négativement à volonté, ce qui donnera quatre solutions différentes;

2" Si le nombre R est le produit de deux ou de plusieurs nombres de la forme de P^ — aQ^, il sera aussi plusieurs fois de cette même forme; de sorte qu'on pourra trouver différentes valeurs de P et de Q.

En effet, si R est le produit de deux facteurs tels que p^ — aq- et //^ — a^^ on aura (n^ 5)

ainsi on pourra supposer