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et par conséquent

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12. Cette solution que nous venons d'expliquer, outre qu'elle porte sur l'hypothèse entièrement gratuite que tous les points de la corde s'étendent en même temps en ligne droite, est eilcore bien éloignée d'être générale, même dans cette hypothèse, puisqu'il faudrait encore démontrer que c'est dans le seul cas des forces accélératrices proportionnelles aux distances des points de la corde à l'axe, que tous ses points peuvent toucher l'axe dans le même instant. C'est pour suppléer à ce défaut que le célèbre M. d'Alembert a imaginé une autre méthode de résoudre le problème de chordis vibrantibus, pris dans le sens le plus général qu'il soit possible. Cette méthode, qui est sûrement une des plus ingénieuses qu'on ait tirées jusqu'ici de l'Analyse, se trouve détaillée dans deux. Mémoires que l'Auteur a donnés dans le tome de rAcadémia Royale de Prusse dont nous avons fait mention ci-devant. Je ne rt|gporUHniii(ci«:^pM

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puisque les deux bouts de ta corde sont supposés fixes, il est évident qu'elles doivent satisfaire à ces deux conditions, savoir : que y soit égal à zéro lorsque a? = o, et lorsque a? = a, quel que soit le temps /; on aura par là les deux équations

H^(/Vê)-hr(/s/c)=o

¥(/v^c-ha)-hr(/vc — «)=o; il résulte de la première

et ainsi la seconde se change en

laquelle doit être vérifiée par la nature même de la fonction M^. Supposant donc une fonction quelconque ^ qui soit telle, que

quelle que soit la valeur de t, on aura généralement pour la corde tendue Téquation

On sait que toute fonction peut être représentée par l'ordonnée d'une courbe, dont l'abscisse soit la variable contenue dans la fonction proposée; donc, si l'on décrit une courbe quelconque qui ait des ordonnées égales, à toutes les abscisses exprimées par t^lc-^r a et t\lc — a^ cette courbe donnera une construction fort simple de l'équation proposée, car on n'aura qu'à prendre les ordonnées qiû répondent aux abscisses t\c^xeit>j^ — Xy dont la différence donnera Tordonnée de la courbe que forme la corde sonore dana un teiBi|Mi q[iieloonqm t. Or» pniique la fonction ¥ doit rester la même, Mit qu'on igottte o« ^w^ fetonehe de ^- * 9

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forme CcAaB6D [fig. 6), continuée de part et d'autre à l'infini par de» parties semblables CcA, AaB, BZ^D,..., situées alternativement au-nlessuH

Fig. 6.

et au-dessous de Taxe» sera propre à représenter la fonction 9, soit que cette courbe soit régulière ou qu'elle soit irrégulière. D'où il s'ensuit que, puisque au commencement du mouvement l'équation de la courbe est 7=29 (a?), il suftira de considérer la courbe initiale de la corde AaB, quelle qu'elle soit, et si on réitère sa description au-dessous et au-dessus de l'axe de part et d'autre à l'infini, la moitié de la somme des ordonnées, qui répondent aux abscisses x-\' tslc, x — ty^c dans la courbe composée OAaB6, sera l'ordonnée a l'abscisse x dans la courbe de la corde tendue après un temps quelconque /.

14. Cette construction de M. Ëuler est évidemment beaucoup plus générale que celle que M. d'Alembert a imaginée, celui-ci ayant toujours supposé que la courbe génératrice soit régulière, et qu'elle puisse être renfermée dans une équation continue. C'est dans cette idée que ce grand Géomètre a cru qu'une telle construction devenait insuffisante toutes les fois que dans la courbe génératrice on n'aurait pas suivi la loi de continuité, et il s'est contenté d'en avertir le public dans une Addition a ses Mémoires, imprimée dans le tome de l'année 1760.

M. Euler a taché de répondre à cette objection dans le tome pour l'année 1753; il reprend ici toute l'analyse du problème, et il soutient constamment contre M. d'Alembert que pour l'exactitude de la construction donnée, il n'est nullement nécessaire d'avoir égard à la loi de continuité dans la fonction 9, qui dépend de la courbe initiale de la corde. Mais comme M. d'Alembert n'a apporté aucune raison particulière pour appuyer son objection, M. Euler n'en a aussi apporté aucune» d'où, il suit que la question reste encore indécise. M. d'Alembert promet fiam

sa nouvelle édition de l'excellent Traité de Dynamique de l'année passée un écrit assez étendu sur cette matière; mais je ne sais pas s'il a encore vu le jour; en attendant, qu'il me soit permis de faire sur cette dispute la réflexion suivante.

' 15. Il est certain que les principes du Calcul différentiel et intégral dépendent de la considération des fonctions variables algébriques; il ne parait donc pas qu'on puisse donner plus d'étendue aux conclusions tirées de ces principes que n'en comporte la nature même de ces fonctions. Or personne ne saurait douter que dans les fonctions algébriques toutes leurs différentes valeurs ne soient liées ensemble par la loi de continuité; c'est pourquoi il semble indubitable que les conséquences, qui se déduisent par les règles du Calcul différentiel et intégral, seront toujours illégitimes dans tous les cas où cette loi n'est pas supposée avoir lieu. Il s'ensuit de là que, puisque la construction de M. Euler est déduite immédiatement de l'intégration de l'équation différentielle donnée, cette construction n'est applicable par sa propre nature qu'aux courbes continues, et qui peuvent être exprimées par une fonction quelconque des variables / et x. Je conclus donc que toutes les preuves qu'on peut apporter pour décider une telle question, en supposant d'abord que l'ordonnée y de la courbe soit une fonction de t et m, comme l'ont fait jusqu'ici M. d'Alembert et M. Euler, sont absolument insuffisantes, et que ce n'est que par un calcul, tel que celui que nous avons en vue, dans lequel on considère les mouvements des points de la corde, chacun en particulier, qu'on peut espérer de parvenir k une conclusion qui soit à l'abri de toute atteinte.

16. Pendant le cours d'une telle dispute entre deux des plus grands Géomètres de notre siècle, il s'est élevé un troisième adversaire contre tous les deux: c'est le célèbre M. Daniel Bernoulli, si avantageusement connu par ses excellents Ouvrages. Celui-ci, dans un Mémoire imprimé parmi ceux de l'Académie Royale de Berlin de l'année lySS, prétend avoir démontré que la solution de M. Taylor de chordis vibrantibus est

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