DES VIBRATIONS DBS CORDES

9. Sait AB {fig. 4) une corde tant soit peu extensible, et qu'on puisse considérer abstraction faite de sa gravité et de sa roideur; supposons qu'elle soit attachée fixement aux deux points immobiles A et B qui la tiennent tendue avec une force égale au poids P. Soit, de plus, cette corde chargée de tant de corpuscules E, F, G,... qu'on voudra, qui aient tous la

Fig. 4.

même masse M, et qui soient éloignés les uns des autres par des intervalles égaux AE, EF,.... Il est évident, par les principes de la Mécanique, que, si les points E, F, G,... viennent à être écartés de la ligne droite, en sorte qu'ils décrivent les lignes intinimént petites Ee, F/, G^,..., chacun de ces points / sera poussé vers F par une force égale à P sin e/g. Or, si l'on nomme j,, j2»--- '^s excursions Ee, F/,... des corps E, F.... et qu'on fasse l'intervalleconstant AE = ÇF = r, on aura

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d'où Ton tire, pour le mouvement du corps F, l'équation

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on trouvera de même, pour le mouvement du corps suivant G, l'équation

et ainsi pour les autres. Par conséquent, si les corps attachés h la corde sont au nombre de m — i, on aura êQ* général poar tottiv noEvameiits»

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les principes et dans les résultats, ce qui pourrait faire douter de la généralité et de la rigueur de leurs solutions. '

1 1 . Le premier qui ait tenté de soumettre au ci\cul le mouvement des cordes vibrantes est le célèbre M. Taylor dans son excellent ouvrage De Méthode incrementorum.

Il suppose d'abord, et il prétend même le démontrer, que la corde doit toujours prendre des figures telles, que tous ses points arrivent en même temps à la situation rectiligne; d'où il déduit que ces figures ne peuvent être que celles d'une espèce de cycloïdes allongées, qu'il nomme compagnes de la çycloïde. Voici son procédé :

Nommant x une abscisse quelconque AE {^g. 5), et y l'ordonnée Ee qui dénote la distance du point E de la corde à l'axe dans un temps quel-

Fîg. 5.

conque t, on démontrera par le même raisonnement (9) que la force accélératrice du point e vers E est exprimée par — ^ -j^- Soit a la longueur de toute la corde, et S son poids total, on aura

et par conséquent la force accélératrice en e deviendra

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S" dx^ '

Or, afin que toute la corde puisse reprendre sa situation rectiligne,

l'Auteur suppose cette force proportionnelle à la distance Ee^ que le

point e doit parcourir; ainsi, en faisant K égale à une ligne quelconque,

il obtient l'équation

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Pour déterminer la constante K qui entre dans les quantités /et g. on remarquera que 7 doit être égal à zéro, soit que œ soit égal à zéro, soit que X soit égal à a, quelle que soit la valeur de t. Or» en posant a? = o, on a d'abord j = o, parce que sino = o. Qu'on fasse donc a? = a et

sin {a \l/) = o; si — est la raison du rayon du cercle à la circonférence,

on sait que sin — = o, prenant pour $ un nombre quelconque entier; c'est pourquoi l'on aura

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or