SOLUTION DU PROBLÈME GÉNÉRAL PROPOSÉ DANS LES CHAPITRES PRÉCÉDENTS

19. Soit, pour abréger, =g; on aura (8) les équations suivantes :

-z = e{- ix^x -^-r— «).

Pour intégrer toutes ces équations, on n'a qu'à recourir a la méthode que M. d'Alembert nous a donnée dans les Mémoires de l'Académie Royale de Berlin. On supposera d'abord, selon cette méthode,

dy, = M, dtj dyi = a, rf/, rfn = Ms dt, dy^ = a* rf/, . . . , rfr™, = m„., c// ;

ce qui changera les équations différentielles du second ordre dans les suivantes du premier :

dux =:e(y2 — 27, ) rf/, du2 = e (73 — Wi -^ yt ) dt, du, = e(y, — 273 -l-rO dt, du, = e(y, — 2^4 + yz)dt,

dun^y = e ( — 2 j„, -h j«-, ) dt.

Il est à remarquer que les quantités i/,, Mat Ws...» expriment les vi-

tesses des corps qui parcourent les espaces j,,j2,j3,..., et qu'ainsi il est encore important de déterminer leurs valeurs.

Présentement il faut multiplier toutes ces équations, moins une a volonté, par des coefficients indéterminés, et les ajouter ensuite dans une même somme. Soient M|, Ma» M3,... les coefficients qui doivent multiplier les dernières équations, et N,, Na, N,.... ceux qui multiplient les autres : on aura

M,rfw,4^N,rf^,-4-M2rfa,-hN2rfj»"+-^3^"8-*-N3rfr3-+-. . .-f-M«-,rfa«,4- N«,rfrm-i = [N.M, -h e(M, - 2M.)j,] rf/ -f- [N,i/,-h e(M3 - 2M, -f- M,)r.]dt

-*- [Natta -f- e(M4 — 2M3 -f- M,)7s] rf/ -H . . .

-h [N«,tt^, -h e{— 2M„, -f- M«or'— •] ^^

où Ton supposera pour plus de facilité le premier coefficient M « = i .

Soit fait en sorte que le premier membre de cette équation devienne un multiple exact de la différentielle du second; et supposant R un coefficient constant quelconque, on trouvera par la comparaison des termes

RM. = N., RM, = N„ RM3 = N„..., RM«. = N««.,

ensuite

RN. 3= e(M, - 2M.), RN, = e(M3 — 2M, -h M.), RN3 = e(M4 - 2M3 -f- M,),. . ., RN^, = e(- 2M«-, -h M«,);

en substituant dans ces dernières équations les valeurs des N tirées des premières, il en résultera

R^ Soit posé — h 2 = K, et en ordonnant les termes on parviendra aux

Ih RECHERCHES 9UR LA NATURE

équations

AI4 ^^ £lb1.| '~~ OiÊLtf

Ma i =r KMm}^

d'où Ton doit tirer les valeurs des M.

Pour y parvenir» je considère que, ces équations étant toutes semblables, on peut les exprimer généralement par

posant pour [i tous les nombres entiers positifs depuis zéro jusqu'à m — I, laquelle équation contient évidemment une suite récurrente, dont l'échelle de relation est K, — i . On aura donc, pour la valeur de M , l'expression Aa^ -h B6^, où Â et B sont des constantes, et a et 6 expriment les racines de l'équation du second degré. 2* -- Kz 4- i = o. De cette équation l'on tire

ce qui donne

Pour déterminer les constantes A et B, on fera la comparaison des deux premiers termes, savoir M© et M, ; or Mo est évidemment égal à zéro, puisque l'équation qu'il devrait multiplier ne se trouve pas, et M, est égaPa I par supposition; on aura donc

A-f-B = o et Atf-f-Bft=i, d'où l'on déduit

n=:— A, A(a — 6)=i, A = — î-5: et B = ^5

ces valeurs étant substituées, il en réwltera

Nous avons supposé (8) que le nombre des équations était m— i;\l faut donc que le coefficient qui aurait multiplié l'équation suivante soit de lui-même égal a zéro; savoir, il faut que

Mm — o, ou bien que — ■■■. = o.

Voilà Téquaticm qui nous donnera la valeur de la quantité R qui était encore inconnue.

20. Pour résoudre cette équation» j'ai recours au fameux théorème de M- Cotes, par lequel on trouve

or — fr" = (a — fc)i/a^ — 2tffccos — h ft*\/a» — 2a6cos h b^

X i/a' — ^ab C05 — -f- 6'. . . , V m

en prenant un nombre de facteurs égal à m, de sorte que le dernier devienne

V ni

OÙ 9 dénote la circonférence du cercle^ dont le rayon est i. On a donc, dans notre cas,

i /a' — 2tf6 cos — -f- ft* i /ô^ — aaft cos — -»-** V . m V m

X i/a^ — 2ab cos h ^. . . \/a* — 2tf6 cos ' ~ — h 6' = o,

ce ifui donne autant d'équations particulières qu'il y a de facteurs, savoir,

lO.

en dégageant ces expressions des radicaux,

a'— 2a6cos — H-6* = o, m

a} — lab cos h 6* = o,

c^ — lah cos h 6' = o,

à} — 7.ab cos i h 0* = t

Soit V un nombre quelconque entier depuis zéro jusqu'à m— i, et toutes ces équations se réduiront à celle-ci

a* — 7.ah cos h 6* = o;

si Ton substitue les valeurs trouvées de a et 6 (19), elle se change en

K* — 2 — 2 COS — = o,

d'où l'on tire

K» = 2(n-cos^),

ce qui se réduit, par les théorèmes de la multiplication des angles, à d'où l'on a enfin

21 . Je remarque d'abord que la variété des signes dans cette expression de K est inutile, parce que, en faisant v plus grand que — ^ la formule nous redonne les liiémes valeurs que quand v était plus petit, mais aver

des signes contraires; on aura donc simplement

K — 2 COS y

posant pour v tous les nombres entiers positifs, depuis zéro jusqu'à m — I. Par cette valeur générale de K, on trouvera (18) celle de R par le moyen de l'équation

car on aura

R»= ie (cos 1 1 = — 4^ (sin -^ — î

par les théorèmes cités, d'où il résulte

R = dz 2 V^ sin 7 — v^— i.

On déduira encore de la valeur de K celles des quantités a et b, comme il suit :

a=:cos ht/ cos — 1 —I, 6=: cos 4/ cos —I,

savoir

VCJ . VIST / , VTSf VCJ /

a = cos h sm — v — > > ^ = cos sm — v — » >

d'où l'on tire, en substituant,

I cos h sm — J— I — ( cos sm — J— i )

jll \ 2m 2m^ / \ 2m 2m ^ /

^ , VBJ .

2sm — »- J— I 2m ^

laquelle expression se réduit encore, par les mêmes théorèmes cidessus, à

sini^ M = ^.

^ s VW

sin

28. Toutes ces opérations achevées, retournons à présent sur nos pas pour procéder k l'intégration de l'équation différentielle (19). Soit, pour abroger,

M, U^ -+- MiMi -f- M, a, -4- ... -h Mm-i Um^x

-^ R rM,^>-, 4- M,^% H- M,/, H- ... -h M«.7«, ) = Zy elle deviendra par ce moyen

dont rintégrale se trouve

oùce^t le nombre dont le logarithme hyperbolique est i, et F dénote une constante quelconque, égale à la valeur de z qui répond au cas de / = o; on aura donc, en restituant au lieu de 3 sa valeur première,

M,lf, -f-Maat-^-M,!!, -h. . .-f-M»,-»!*.-.,

eu puisque

mxdt^=drx^ u^diz=idr^ Uxdi = dxxf y

si Ton multiplie toute Téquation par <ft, il en résultera

et multipliant encore par c^' et intégrant de oomPMO,

PcMir déterminer les consumes F et G, soient V^ V,, V,,,,., V«m* ^ Y^, Yj, Y,,,.,, Y«^, les valeurs de a,, «,, «,,-•-, ««^, et de jr,^jr^

V, v„^o an commencement du mouvement, lorsque i = o;

iwms de plus, pour aiNnèger,

M.Y,^lfcY,-hltY,^.,,H-M^.Y*-. = P,

on aura d'abord