RP - F 2RP — Q — RP RP ~~ Q ^~ 2R ~ 2R "^ 2R

donc, en divisant l'équation par c^\ on trouvera finalement

M, J, -h M,J, -h Ifsja H- ... -h M— »^«-.,

RP+Q Jlr . RP~Q^-Br n^'''-^^'"''' . Qc^'-C^'''

ce qui, à cause de R = di 2 V^sin 7— V— ' » se réduit à

= Pcos {%t\/e^n 7 — H ^ — ^1

soit qu'on prenne dans R le signe -+- ou le signe —, comme nous l'en- ' seignent les expressions exponentielles imaginaires des sinus et cosinus, si familières aujourd'hui aux Géomètres.

23. Cette équation, toute simple qu'elle est, suffît néannu»ns pour déterminer les valeurs des inconnues j,, ja» Js»»--» qui sont au nombre de m — 1 . Pour s'en convaincre, on n'a qu'à réfléchir qu'elle contient le nombre indéterminé v, qui peut avoir les valeurs u 2, 3,...,, jusqu'à m — I , d'où il résultera autant d'équations. Tout se réduit donc à déterminer; par le moyen de toutes ces équations, les valeurs de chaque inconnue qu'elles contiennent : c'est ce que nous allons entreprendre.

Je commence par mettre ra lieu des quantités M leurs valeurs trouvée» (ii>f et fffiiçMt te dtiimiwitimr commua »in~ qui e'émnouit

naturellement de Téquation, je pose pour plus de commodité

, = Y, sm h Y, sm h Y, sin h ... -h Y^, sm ^ — ?

2W am 2m 2m

Q = V.sm h V, sm h Vssm h. . .-h V^-, sm^ — 5

où les indices de P et Q dénoteront simplement les valeurs particulières de V qui leur appartiennent.

Ainsi Téquation générale ci-dessus deviendra

vm . 2VCJ . 3vny . (m — i)vïs

}\ sm h >', sm h n sm h ... -h r„^, sm

= P^cos(2/visin^j

2m ^ 2m *" 2m ^ im

Q^sin (2/vêsin|^j

2vesm -= —

Soit encore, pour abréger, P^cos

. OySm (2/ v^sm 7— )

2/v<?smy— H ^^- ^ —^.'>

nesin^^

et posant successivement à la place de v tous les nombres naturels depuis zéro jusqu'à tw — i , on aura les équations suivantes

js . 2cy . Zjss .-(m — i)bt ^

)', sm h nsm h nsm — -h. . .-«- r«-ism — = S,,

Vy sm h y\ sm -=^ h rs sm h ... -h r^, sm -^ '— = S,,

2m " 2m * 2m ' am

. 3ïïy . 6gt . qw . 3(m — i)ity ^

>', sm — h n sm -^ — -h ... -h rm-^ sm ' ^— = Sb^,,

dont le nombre sera /w — i .

Il faudrait à présent, selon les règles ordinaires, suh^taier les v«le«« des inconnues y^, y^, /««••- d'une équation dans les joitves^

ment, pour arriver à une qui ne contienne plus qu'une seule de ces variables; mais il est facile de voir qu'en s'y prenant de cette façon on tomberait dans des calculs impraticables à cause du nombre indéterminé d'équations et d'inconnues; il est donc nécessaire de suivre une autre route : voici celle qui m'a paru la plus propre.

24. Je multiplie d'abord chacune de ces équations par un des coefficients indéterminés D,, Da, Dj, D^,..., en supposant que le premier D, soit égal à i; ensuite je les ajoute toutes ensemble : j'ai

[,. . CT TV . 2^ T^ . ^'55 ^ . (m — i)cy~| 1), sm h D, sm h 1)3 sm h . . . -f- D;„, sm 2m 7.m im im J

-+- r» D. sm h D, sm -î— -h D3 sm h ... -h D«, sm -^^ —

* L ^•'w 2 m 9. m im \

D, sm h Dj sm h D3 sm ^ h ... -h D«, sm -^ '—

im j.m 2W 9.m j

D, sm ^ — -h D, sm -^ h ... -h D;,., sm ^-^—

Qu'on veuille à présent la valeur d'un y quelconque, par exemple de v^, on fera évanouir les coefficients des autres r, et l'on obtiendra l'équation simple

y„ D, sm ^ — h D, sm — ^--- -h D3 sm -^ -h ... -h Dm, sm ^ '-^ —

^ L ^ "^ 2 wï im -y.m \

On déterminera ensuite les valeurs des quantités Da, D, , D4,..., qui sont en nombre de m — 2, par les équations particulières qu'on aura en supposant égaux a zéro les coefficients de tous les autres j; on aura par là Téquàtion générale

D, siB hO, sm h D,5m h ... -h D««, sin^^ ^— — o,

21» 391 am 2m

ffî RECHERCHES SUR LA NATURE

laquelle devra être vraie, quelque nombre positif entier qu'on pose au lieu de X, depuis o jusqu'à m — i , excepté fx.

25. Pour tirer de cette équation les valeurs des quantités D, je remarque d'abord que tout sinus d'un angle multiple se réduit à une suite de puissances entières et positives du cosinus de l'angle simple, dont le plus grand exposant est égal au nombre qui en dénote le multiple diminué de l'unité, toute la suite étant encore multipliée par le sinus de l'angle simple. Donc, si l'on développe de cette façon tous les sinus des

angles multiples de -^ et qu'on divise ensuite l'équation par sin-^- ? on

parviendra à une autre équation, qui ne contiendra que des puissances

de cos— > et dont le degré sera m— 2; de là il suit qu'en regardani

cos — comme l'inconnue de cette équation, ses racines devront être

T3 î>.cy 3t5t {m — i)t5t

(OS — 9 cos — 9 cos — >---î cos »

2w 2/n 2/îî 2m

excepte cos^ —

Par conséquent, toute l'équation ne pourra éti*e que le produit continuel des facteurs

/CJ W )vGJ 2CJ >.CJ Sgj

COS cos — 9 COS cos — t cos — — cos — > • • • î