sin sm — -h --- ) -h

I Cj vT • ^X . jbIx ha . 2cjX . -?.jslx H/\ -h - I dx\ sm — sm =- ) -h sm sm — ( |

. 3wX . 3cj/^ H/\ I

Or, si l'on met dans la formule du n^ 25, au Heu des quantités D, leurs

valeurs ±''-;;^ ^ — » et qu'on multiplie tout par 2'*^*sin-^, on

sin •'--*

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ET L\ PROPAGATION DU SON. lOT

— — H -s;- ) — (îos — et eus — ^ } ^ ^'t>s — deviennent

égaux à zéro, el les termes se trouvent exprimés par -• Pour en (téter-

euK

miner les vraies valeurs on prendra la différentielle des numérateurs et

des dénominateurs, en considérant — ^ ~f~ ^^"^^ '^ première fornnile,

X Ht

et =- dans la seconde, pour les seules variables; on mettra ensuite

à leur place la quantité 2^ ±: — ; on trouvera donc en premier lieu

, -, . ctX . m nix /nH/\ dx\ sin sm — 1 ttt-

ia 1 \ia \ }

m Ix H/\ xs\

00s — I H -TiT- 1 — cos

, -, . cjX mi , mX\

dx\ sm cos — ( '?.mszh )

sm— \7.s± — ] 9. \ a)

Mais puisque ~^- est un nombre infini égal à fx, on a

m / , mX\ cos — [ims± I = nr I ,

le signe supérieur répondant à fx impair, et l'inférieur à /x pair; on a de plus

sm— i 25111 — 1 =121 sm •

donc l'expression précédente se réduit à

. mdxY

ou bien, puisque a = mdx, elle devient

OÙ Y est Tordonnée qui répond à Tabscisse X, »ayoir« a Tabscisse

égale k ± Ix -h ^, 25a J dans le premier état du système; il'oii l'on

voit que cette ordonnée doit toujours être prise avec le même signe que toute la quantité x h — =r- ±. 2sa. Que Ton dénote cette ordonnée par

et que Ton dénote de même par

celle qui répond à l'abscisse ± (x jf 2saU et qu'on fasse sur

la seconde partie de l'expression générale de y des opérations semblables à celles qu'on a pratiquées sur la première, on trouvera enfin

r . / aWt \~| r. / «H/ \1

9 ± ( j: H — j, 9,sa I -h 9 ± ( X tt. ^sa |

39. Soient {/ig. 5, p. 6i) AB l'axe, et AeB la courbe qui représente le premier état du système dans le cas où le nombre des corps mobiles est infini, on trouvera la figure de cette courbe pour un temps quelconque /, en prenant, a une abscisse quelconque x, la quantité y égale à la moitié de la somme des appliquées qui répondent aux abscisses

'zjt{x-\ — TT, 9.sa\ et ±{x tt, 2sa\

dans cette première courbe donnée. A l'égard des signes ambigus et du noftibre indéterminé s, on remarquera que, puisque l'axe AB est d'une longueur donnée a, il faut que les abscisses qu'on y doit prendre ne surpassent pas la quantité a, et de plus qu'elles soient toujours positives, et ces conditions suffiront pour déterminer tout à fait chacune des abscisses en question.

Il y

Si j? H — =- est moindre que a, on supposera s = o,ei l'on prendra le signe -4-, et l'ordonnée sera positive.

Si a? H — Y' ^st plus grand que a mais moindre que 2a, on fera s= i et

l'on prendra le signe —; on aura donc l'abscisse égale à aa— (icH — =r- j? et l'ordonnée devra être prise négative.

Si a? H — Y- devient plus grand que 2a mais moindre que 3a, on fera 5 = I et l'on prendra le signe -h ; l'abscisse sera donc dans ce cas X H — = 2a, et l'ordonnée devra être de nouveau positive.

Si a? H — =- se trouve plus grand que 3a mais moindre que 4«» on fera s = 2, et l'on prendra le signe — ; ainsi l'abscisse deviendra 4a — lx-\ — îp- )' et l'ordonnée correspondante devra être prise négativement, et ainsi de suite.

Par un raisonnement semblable, on trouvera que lorsque x ?p-

est positif, on doit faire 5 = o, et qu'il faut employer le signe -+- , ce qui donne l'ordonnée positive.

Si or Y~ devient négatif mais moindre que a, on supposera 5 = 0

et l'on prendra le signe — ; on aura ainsi l'abscisse positive — ix — ^ôt- ) » et l'ordonnée devra être prise négativement.

S\ X =- étant négatif est encore plus grand que 2a mais moindre

que 3a, on fera dans ce cas ^ = — 1 , et l'on prendra le signe — ; ainsi

l'on obtiendra l'abscisse positive — Ix =7-) — 2a, et l'ordonnée

devra être prise négativement.

Si X Y~ devient plus grand que 3a mais moindre que 4«» <>"

continuera a faire 5 = — 2, et l'on prendra de nouveau le signe -h, ce

iH T

qui donnera l'abscisse positive l^a -h œ =;-? et l'ordonnée devra être

encore positive, et ainsi de suite.

On voit assez par tous ces cas particuliers que nous venons de développer, que, quelle que soit la longueur de l'abscisse, il sera toujours possible de la réduire en sorte qu'elle ne surpasse plus l'axe donné AB. On pourra simplifier encore cette réduction, en supposant que les al>scisses données soient repliées, pour ainsi dire, sur l'axe, une ou plusieurs fois, selon qu'elles se trouvent plus ou moins excédantes, et les ordonnées devront ensuite être prises alternativement positives et négatives selon les lois ci-dessus établies. Mais si l'on veut avoir une construction tout à fait simple et générale, on pourra la déduire. aisément de la manière suivante. Ayant tracé la courbe initiale ANB {Jîg. loj,

Fig 10.

yr i W 7^

qu'on répète sa description de part et d'autre a l'infini, en la posant alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe, de sorte que les mêmes branches soient liées entre elles par les mêmes extrémités. Considérant la courbe ainsi engendrée comme une courbe unique et continue, cm prendra dans l'axe AB qui s'étend à l'infini de part et d'autre toutes les abscisses qu'on voudra, sans s'embarrasser qu'elles soient négatives ou plus grandes que a; ainsi la demi-somme des ordonnées qui se trouveront répondre aux abscisses x -\ — ?=- et x =^9 quelle que soit la

valeur de x et de /, donnera toujours la vraie ordonnée qui convient à l'abscisse a: après le temps t.