RÉFLEXIONS SUR LES CALCULS PRÉCÉDENTS

42. La méthode que j'ai employée dans le Cliapitre HI est à la vérité un peu longue et fort compliquée; cependant elle est, si je ne me trompe, l'unique qui puisse conduire à une solution directe et générale, telle que nous nous sommes proposé.

Quoique l'intégration des équations différentielles s'achève fort aisément par l'ingénieuse méthode de M. d'Alembert, cependant il est clair qu'on est encore après cela beaucoup éloigné du but principal, car il s'agit de plus de tirer d'un nombre indéfini d'équations autant d'inconnues, et de les exprimer toutes par une même formule générale. La difficulté de cette opération n'a pas sans doute échappé au savant Géomètre dont nous venons de faire mention, car ayant proposé à résoudre le problème des mouvements des cordes vibrantes, en les regardant comme des fils extensibles chargés de plusieurs petits poids, il s'est contenté de dire qu'on aurait toujours pu trouver leurs vibrations à peu près (voyez le n*" 44 de son Mémoire cité ci-dessus).

Il serait à souhaiter que l'analyse qui a réussi dans ce cas put également s'appliquer à tous les autres qui dépendent de la résolution d'un nombre indéfini d'équations différentielles toutes semblables entre elles, et où les changeantes ne montent qu'à la première dimension, puisqu'il est facile de démontrer que tous les petits mouvements réciproques qui peuvent avoir lieu dans un système quelconque de corps semblables, qui agissent les uns sur les autres tous d'une même manière, sont nécessai-

rement contenus dans de telles équations. Nous serions par là en état de suivre les actions de la nature de beaucoup plus près qu'on n'a osé le faire jusqu'à présent.

J'ai déjà tenté une solution générale du problème des vibrations des cordes élastiques et des chaînes pesantes; mais étant maintenant fort pressé sur l'impression de cette pièce, et ayant d'ailleurs quelques autres occupations indispensables, je ne puis pas pousser assez loin ces recherches; c'est pourquoi je me réserve à traiter ce sujet dans une autre occasion.

Au reste, si on suppose dans notre cas que les corps se meuvent dans un milieu, dont la résistance soit proportionnelle à sm h- a, s et a dénotant des constantes quelconques, la double intégration des équations différentielles réussira de même; et si les quantités s et a sont assez petites par rapport à la quantité e, on pourra encore achever le calcul par un procédé semblable à celui que nous avons exposé plus haut. Cette analyse pourrait être à la vérité de quelque utilité dans la recherche de la diminution du son, mais ce serait s'écarter trop de l'objet principal que de la vouloir exposer ici tout au long.

43. La construction que nous avons trouvée dans le Chapitre précédent, pour le cas où le nombre des corps mobiles est infini, est fondée entièrement sur ce qu'une suite infinie de produits de deux sinus, dont les arcs croissent en progression arithmétique, est toujours égale à zéro, excepté dans le cas où, les sinus devenant égaux, la suite donnée se change en une suite des carrés des mêmes sinus. Quoique cette vérité découle immédiatement de la formule que nous avons trouvée pour exprimer la somme d'une telle suite, cependant, comme c'est là un des points principaux de notre analyse, il ne sera pas hors de propos de démontrer encore la même proposition d'une autre manière, qui soit et plus directe et plus lumineuse.

Soit proposée la suite infinie

sin(psin9-i-sin2(psin2d + sin3f sinSd -h:. .;

si Ton développe chaque terme par les ihéorëmeft de la multiplication des angles, on aura les deux séries

cos{9 — 9) -h 0052(9 — 0)-+- cos3(q — 6)-h. . .

cos(9 -h ô)-hcos2(9H- 9)-hcos3(o -h0)H-.. .

dont chacune est sommable par la théorie des progressions géométriques. Supposons, pour simplifier le calcul, que la série dont on veut prendre la somme soit généralement

cosj: -h COS2X -f cos3x -h

On réduira d'abord chaque terme aux expressions imaginaires exponentielles; ainsi l'on obtiendra

ces deux suites, traitées comme deux progressions géométriques infinies, se changent par les règles connues en

et réduisant au dénominateur commun

savoir

cosx — I

,-Myf

2(1— <»OSj:) 2

telle est la valeur d*une suite quelconque infinie de cosinus, dont les arcs

croismMit on progression arithmétique.

En appliquant ceci à notre cas, on trouvera pour la somme des deux

suites données

quelles que soient les valeurs des angles (p et $. Cependant, lorsque 6 :=^(p, il est clair que les deux séries se réduisent à

I H- I -4- I -h I -f-. . . COS29 -h C0S49 -+- COS69 -h. . .

Si m — i est le nombre des ternies dans chacune de ces suites, la somme de ta première est nécessairement » la somme de la seconde est,

par ce que nous avons, trouvé ci-dessus, -, donc la somme de toutes

deux se trouvera dans ce cas

44. Mais, dira-t-on, comment peut-il se faire que la somme de la suite

intinie cosa?, -+- cos2^, -f- cos3^,... soit toujours égale à • puisque,

dans le cas de a? = o, elle devient nécessairement égale à une suite d'autant d'unités? Je réponds que cela provient des termes qui se détruisent naturellement dans tous les cas, excepté dans celui où œ = o. Pour rendre la chose plus sensible, cherchons la somme de la suite

cosj; -+■ cos2jr -h cos3jc -h. . .h- cosmj;;

on trouvera, par la même méthode ci-dessus, qu'elle est égale à

expression qui se réduit à

cosj?— I H- cosmj; — cos(m -h i)x cosmx — cos(m H- i)x i 2(1 — cosj;) 2(1 — cosjr) z

Or, dans le cas où m est un nombre infini, on suppose que i évanouisse

auprès de m, d'où le terme cos(i?i -h i)^ devient égal à cos/wx, et la

formule reste

cosm:r — cos ( m H- I ) X

2(1— cosx)

Itit Ke<:HEIIi:H£i!^ rtCB LA NATURE

auki§» ifirM(iu* r = o. )e If nn min nie m «ifvifiit «oifisi «f^sai ^ zeivi : c Vst p^iimuif*! Hie n>ftriii une \v*l#*tir <ii«iiii#*f qu'on tTriiji\era pM* b differeoiiuîum m niiiDf'rali^r '^i «lu tienomîn^iti'ur. On a dunv t-n différ»*nti;int

2Mnjr

lui se Tv^uit 'le nouv#^u a - p^r b supp4i»tîf«n de x = «j: qu'on diffé- !iF*ntie tine sef^onde fois* ii viendra

m — I ' .'fis II — i X — m* r-OS^RX

2 "tHiX

tM î'^iiiâint r = o.

ione la valeur de h sierie •-sC dumi «^e «-aii

ift — — — — :^^ fl.

pnpt'isemeut comme ao Va vu pius tisiut.

An npste. par la metbiMie de âiimmer les lAiiles deî» coâinui» <m siaus^ «fue nous v^^nnoH dV^liquer. «m tr^iuv^^rst ijue b suitif dnie

'îin s sin 5 — <»ii iîsini^ — s«i3^ ^o 35 — . — sin «i — i s -An m — i 5

•*sf ^^Je ;)

sin/ftxân m — i 5 — !smi m — i ssinim^

.•p .^i l'onvieor av^n* re qu*<»o a tr^u^^ 3S eu Éttâsiat 3 = - — et 5 = ;^ — , •*t supposant a un uomiire <^der i{iijel«n*iiqiie.

4io. Nous avons ensei^^ 39 à etiastruire rorAinnéff jr gt Là Tune dans le c^a m Ira ^Itfsses iuàalies T soal: fffiftri à am.^ et f; dans le c^s m les premières iiréimi'ei T soaC rgutri à si T'^n voulait une eonslnirlâim

ET LA PROPAGATION DU SON. ii3

pourrait la trouver moyennant les formules précédentes. Car on sait que les expressions de u ne sont autre chose que les différentielles de celles de j, en prenant le seul temps / pour variable et effaçant le dt\ donc, si après avoir réduit la première partie de l'expression de j, qui contient seulement les Y, par la méthode donnée (39), on différentie la formule qui en résulte, en ne regardant que le temps / pour variable, on aura la formule qui donne la valeur de la première partie de l'expression de u et qui contient aussi les seules quantités Y. De même, si Ton intègre par dt la formule réduite de la seconde partie de l'expression de m, où se trouvent les seules quantités V, et qui est semblable à celle de y pour les quantités Y, comme on a vu (38), on aura la formule qui donnera la valeur de la seconde partie de l'expression de j, qui contient de même les seules quantités V. Ces calculs sont assez longs et compliqués, et ils demandent d'ailleurs beaucoup de circonspection; c'est pourquoi je ne fais que les indiquer ici pour montrer la route qu'on devrait tenir pour parvenir à une réduction directe et générale des expressions données. Il est cependant visible qu'on pourra aisément s'en passer, si l'on veut se contenter d'une construction des quantités 7 et m, pour chaque temps /, dérivée de celle qu'on a trouvée (39).

Soit donc, comme dans le numéro cité [Jig. 10, p. 106), ANB la figure dont les ordonnées MN représentent les premières excursions Y, et anb (fig. 1 1) celle dont les ordonnées expriment les vitesses initiales V.

Fig. II.

Qu'on réitère leur description de part et d'autre à l'infini de la manière

enseignée; qu'on construise ensuite deux autres courbes infinies [Jig. 12

et i3) A'N'B', a'n!h\ dont la première A'N'B' soit telle, que chaque

ordonnée M'N' qui répond à l'abscisse A'M'= AM soit toujours quatrième

proportionnelle à la sous-tangente au point N, à l'ordonnée MN, et à la

RECHERCHES SUR LA NATURE aH

quantité constante -^-^ et que la seconde a'n'b' ait ses ordonnées m'n' égales aux aires anm^ qui répondent aux abscisses am = a'm\ ces aires

Fig. i3.

étant divisées par -=t-- Par le moyen de ces quatre courbes que je nommerai, comme celles de M. d'Alembert, courbes génératrices, on aura toujours l'ordonnée y et la vitesse m, pour chaque abscisse x et pour quelque temps / que ce soit. Car on n'aura qu'à prendre dans la courbe

ANB la demi-somme des ordonnées qui répondent aux abscisses a:^ -h -pjt-

e,i œ — ^^=-9 et dans la courbe a'n'b' la demi-différence des ordonnées

qui répondront aux mêmes abscisses, et la somme totale de ces quantités sera l'ordonnée j cherchée. De même, pour la vitesse m, on prendra dans la courbe anb la demi-somme des ordonnées qui appartiennent aux

abscisses x h — =7- et x — ^^^ et dans la courbe A'N'B' la demi-différence des ordonnées qui répondent aux mêmes abscisses; et la somme totale de ces quantités donnera la valeur cherchée de la vitesse u.

Quoique cette construction soit entièrement fondée sur les tangentes et sur la quadrature des courbes génératrices trouvées, il ne parait cependant pas qu'elle puisse être sujette aux difficultés que nous avons exposées (5). Car, la construction des courbes génératrices une fois établie, il n'est plus besoin d'avoir recours aux théories du calcul différentiel et intégral, pour en déduire celles des autres courbes cherchées; puisqu'on peut, indépendamment de ces calculs, par la simple considé-

ration des tangentes et des quadratures, démontrer que ces courbes résolvent le problème sans avoir en aucune façon égard à la loi de continuité dans leurs équations.

Si Ton prend pour la courbe ANB la courbe initiale de la corde tendue, et que l'autre courbe anb représente les vitesses qu'on donne a tous ses points en la relâchant tout à coup, on aura de cette façon la solution générale du problème des cordes vibrantes telle que M. d'Alembert Ta eue en vue dans les articles XXlll et suivants de son Mémoire. 11 est vrai que ce grand homme ne cesse d'inculquer que les expressions des vitesses et des excursions initiales des points de la corde ne peuvent pas être données à volonté (34), ce qu'il répète encore expressément dans l'article II de son Addition. Mais nous avons fait voir plus haut les raisons qui obli- ' geaient cet Auteur à penser ainsi, et ces raisons cessent d'avoir lieu dès qu'on considère tous les points de la corde comme isolés dans leurs mouvements, comme nous l'avons fait dans les calculs précédents.