THÉORIE DES CORDES DE MUSIQUE ET DES FLUTES

46. Les cordes dont on se sert ordinairement pour les instruments de musique sont de boyau, ou d'acier, ou de cuivre; à l'égard des premières, elles n'ont presque point d'autre élasticité que celle qui est produite par la tension, mais il n'en est pas de même des autres, dont la roideur se manifeste, même lorsqu'elles sont tout à fait lâches. Cependant il est aisé de voir que la force d<* cette roideur, pour mouvoir la corde, doit être bien petite par rapport à celle qui nait de la tension, d'où il 3*ensuit que nous pouvons, sans crainte d'erreur, supposer toutes les cordes parfaitement flexibles, en tenant compte seulement de l'effet de la tension donnée. La manière commune de les mettre en vibration, en les touchant par quelqu'un de leurs points, soit avec un archet ou quelque autre instrument, consiste à les faire sortir de leur état de repos et à

ii6 RECHERCHES SUR LA NATURE

donner à tous leurs points des impulsions quelconques. Donc, si Ton a une corde uniformément épaisse, dont la masse et la longueur soient données, et la tension soit exprimée par un poids équivalent, on pourra toujours, par la théorie exposée dans les Chapitres précédents, trouver le mouvement de cette corde pour un temps quelconque, de quelque façon que ses vibrations aient été d'abord produites. Mais la connaissance des mouvements particuliers des cordes est de peu de conséquence dans la pratique, et ce n'est qu'à la durée de leurs vibrations qu'il est important d'avoir égard, puisque c'est de là que dépend, selon le sentiment généralement reçu par tous les Physiciens, le ton grave ou aigu qu'elles doivent rendre.

Or, si l'on examine la construction des courbes génératrices exposée (45), on s'apercevra aisément que leur nature est telle, que si l'on augmente ou qu'on diminue les abscisses d'un multiple quelconque de 2a, les ordonnées correspondantes demeurent tout à fait les mêmes;

donc, si l'on fait que la quantité -rp-' qui doit être ajoutée et retranchée

de chaque abscisse x, devienne un multiple quelconque de 2a, on aura la valeur du temps /, après lequel la corde reprendra sa première situation, avec les mêmes vitesses dans tous ses points. Ce temps sera donc

égal à -n-9 quelque nombre entier positif qu'on pose au lieu de s. C'est

pourquoi le temps des oscillations sera toujours le même pour la même corde, et il ne dépendra en aucune façon du premier ébranlement qui peut varier à l'infini. Pour connaître plus exactement ce temps, qui

est égal à ij-» on n'a qu'à remettre au lieu de H sa valeur première

i/^-g^ (25), et on aura Ti/^- pour le temps d'une oscillation entière, composée d'une allée et d'une revenue, où a est la longueur de la corde, S son poids, E le poids qui est égal à la force de tension; or, comme h exprime (6) la hauteur d'où un corps pesant peut tomber librement durant le temps T, si l'on fait ce temps d'une seconde, on aura

le temps cherché exprimé de même en secondes de cette façon y^r-

Supposons que le rapport du poids de la corde à celui qui la tend soit ?-, b sera une quantité qui ne dépendra que de l'épaisseur et de la gravité spécifique de la corde; on aura donc £ = t' ^t par conséquent la formule du temps des vibrations entières deviendra ^ et une oscillation

simple devra être censée d'une durée égale k i tout de même comme

)j7.hli

si la corde eût toujours fait ses mouvements selon les lois de M. Taylor. Cette formule a été regardée jusqu'à présent pour vraie par tous les Auteurs qui ont écrit d'Acoustique, parce qu'elle s'accorde entièrement avec les proportions connues des divers tons des cordes, qu'on a toujours fait dépendre de la durée de leurs oscillations. C'est aussi par cette raison que plusieurs d'entre eux ont cru qu'une corde tendue ne pouvait résonner à moins que ses vibrations ne fussent toutes régulières et isochrones comme celles des pendules; ce qui parait sans doute inconcevable, vu qu'une même corde rend toujours le même son lorsqu'elle est pincée ou ébranlée de quelque façon que ce soit. La démonstration que nous venons de donner peut donc servir à établir ces vérités généralement admises, savoir : que le ton d'une corde est toujours proportionnel au nombre de ses vibrations dans un temps donné, et que ce ton se conserve toujours le même, tandis que la corde reste dans les mêmes circonstances.

47. Quoique la connaissance absolue de la durée de chaque vibration dans une corde donnée ne soit guère d'usage dans la pratique ordinaire, elle est cependant nécessaire pour la détermination d'un son fixe, tel que M. Sauveur l'a eue en vue dans Y Histoire de V Académie des Sciences de Paris pour l'année 1700. La méthode que ce savant Auteur a imaginée pour cela est à la vérité fort ingénieuse, mais elle est presque impraticable à cause de l'extrême délicatesse d'oreille qu'il faut pour apprécier les moments des battements de plusieurs sons, et de la grande difficulté qu'on rencontre à mesurer au juste l'intervalle du temps qui se

passe entre deux de ces ballements consécutifs. Si la détermination de ce son fixe est de tant de conséquence, comme elle Ta paru à M. Sauveur, je crois qu'on pourra la tirer avec plus d'exactitude et de facilité de la formule trouvée, qui ne requiert d'autres données que la longueur de la corde, sa gravité spécifique et la raison de son poids à celui par lequel elle est tendue. Par exemple, si l'on veut, selon M. Sauveur, que le son

fixe rende loo vibrations dans une seconde, on fera = loo, d'où, b

et h étant donnés, on tirera a = ioo\ibh.

48. Nous venons de voir que le nombre des vibrations d'une corde donnée est généralement toujours le même ; il est cependant quelques cas particuliers où ce nombre peut être diminué et réduit à la moitié, au tiers, etc. Pour s'en convaincre, on n'a qu'a réfléchir que la corde vibrante ne revient à son premier état que parce que la construction des courbes génératrices est telle, qu'en levant ou ajoutant aux abscisses les temps donnés, les ordonnées demeurent les mêmes. Donc, si l'on suppose que la figure initiale de la corde participe déjà à cette propriété, savoir qu'elle contienne deux ou trois, ou plusieurs ventres égaux et disposés alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe, et qu'il en soit de même pour la courbe des vitesses, on verra aisément que les courbes génératrices déduites de celles-ci rendront la corde à son premier état dans la moitié, le tiers, etc., du temps donné. Ainsi la durée

d'une oscillation se réduira dans ce cas à — ? où n exprime le nom-

n\7. bit

bre des ventres primitifs. Il n'en sera pas de même si les ventres ne se trouvent pas égaux et disposés de la façon qu'on a dit, car il sera toujours facile de démontrer que les courbes résultantes ne pourront jamais avoir les propriétés nécessaires afin que les vibrations puissent s'achever dans un temps différent de celui qui convient à la nature de la corde donnée. x\I. Euler avait déjà fait cette importante remarque, pour le seul cas où la corde part du repos, dans les Mémoires cités de V Académie de Berlin,

49. Lorsqu'une corde est en vibration, il n'y a généralement parlant que les deux bouts qui restent toujours immobiles; cependant, si l'on fait attention aux cas particuliers qu'on vient d'examiner, on voit clairement que tous les points où la figure initiale de la corde coupe l'axe doivent nécessairement demeurer en repos, puisqu'il y a de part et d'autre des branches semblables situées alternativement au-dessus et audessous de l'axe. Voyons donc s'il ne pourrait pas y avoir d'autres points qui fussent revêtus des mêmes propriétés.

Qu'on se représente pour cela une branche entière AMNB de la courbe génératrice pour la corde AB, et qu'on suppose qu'un de ses points quelconque JVI doive rester immobile [fig. i4)- Il est d'abord évident

Fig. 14.

qu'elle devra couper l'axe dans ce même point; il faudra ensuite que la partie MN de la courbe soit égale et semblable à la partie AM, afin que la demi-somme des ordonnées également distantes de part et d'autre soit toujours nulle, d'où il s'ensuit qu'à moins que le point M ne soit a la moitié de l'axe AB, le point N tombera hors du point B, et ainsi la courbe cherchée AMNB coupera toujours l'axe en deux points M et N. Elle sera par conséquent composée de trois parties AM, AN et NB, dont les deux premières sont égales par supposition, et la troisième est encore arbitraire. Or je disque la courbe AMNB doit avoir toutes ces parties égales, semblables et situées alternativement au-dessus et au-dessous de l'axe AB. Pour s'en convaincre, qu'on réfléchisse que, puisque les branches qui se trouvent situées de part et d'autre des deux points A et M doivent être semblables et égales dans toute la courbe génératrice engendrée par la description réitérée de celle-ci, il faut que cette courbe ait toutes ses parties de même nature que celle qui est comprise entre les points A et M, d'où il suit que la partie de l'axe NB ne peut être qu'égale à la partie AM, ou double, ou triple, etc., ou encore la moitié, ou le

tiers, etc., de sorte que Taxe entier AB puisse se diviser en un nombre de parties égales et aliquotes aux deux parties données AM et MB. Et toute la courbe AMNB devra, dans ce cas, couper Taxe à chaque point de ces divisions, et elle devra contenir de plus autant de ventres égaux correspondants.

On conclura donc que nul point d'une corde de musique vibrante ne pourra demeurer en repos, à moins qu'il ne la divise en deux parties commensurables entre elles; que dans ce cas la figure initiale de la corde et la courbe des premières vitesses devront nécessairement avoir autant de branches égales et semblables qu'il y aura d'unités dans les deux parties AM, MB, et qui seront de plus situées alternativement audessus et au-dessous de chacune des parties aliquotes, dans lesquelles tout l'axe AB sera divisé. Si donc, en mettant une corde en vibration, on fait en sorte qu'un point quelconque reste immobile, sans empêcher que la vibration ne se communique et ne s'étende de part et d'autre à toute la corde, cette corde se divisera tout naturellement en autant de parties égales qu'il en faut pour rendre commensurables les deux parties coupées par le point immobile. D'où il s'ensuit que, lorsque ces deux parties sont en elles-mêmes incommensurables, il sera impossible que le point de leur division puisse jamais rester en repos, et la corde, dans ce cas, sera obligée de changer de signe d'un instant à l'autre, ce qui détruira nécessairement l'isochronisme et la régularité de ses vibrations. Mais dans le cas où le point immobile divise toute la corde eh parties commensurables, il se formera pour lors un nombre de points de repos naturels, et la corde continuera de faire des oscillations régulières et isochrones, dont la durée ne sera que la moitié, le tiers, le quart, etc., de la durée des oscillations entières, selon que les deux parties auront pour commune mesure la moitié, le tiers, le quart, etc., de toute la corde, comme on l'a démontré (48).

Par un semblable raisonnement, on trouvera que si les points supposés immobiles coupent la corde en un nombre de parties quelconques, elle se divisera en autant de parties égales qu'il en faudra pour que chacune d'elles mesure exactement chacune des premières parties cou-

ET LA PROPAGATION DU SON. 12i

pées; par conséquent, si ces parties sont entre elles incommensurables, les mouvements de la corde deviendront irréguliers, pendant que dans tout autre cas les vibrations s'achèveront dans un temps proportionnel réciproquement à celui des ventres naturels de la corde.

50. On s'est aperçu depuis longtemps qu'une corde pouvait rendre dans certaines circonstances des sons aigus, qui différaient plus ou moins du son naturel, et on a même reconnu que ces sons n'étaient presque jamais que l'octave au-dessus, l'octave de la quinte et la double octave de la tierce.

M. Sauveur, qui a fort bien traité cette matière, dans son Système général d* Acoustique imprimé parmi les Mémoires de l'Académie royale rfe Pam pour l'année 1701, s'est appliqué le premier, que je sache, à découvrir la véritable origine de ces divers sons rendus par une même corde, qu'il di\i^^\\e sons harmoniques ; il prend {fig> i5) pour cela une

Fig. i5.

corde d'une longueur quelconque qui, étant pincée à vide, forme des vibrations simples et uniques qui rendent le son naturel de la corde qu'il nomme son fondamental; il divise ensuite cette corde en un nombre de parties égales, et mettant un chevalet mobile ou un autre obstacle quelconque léger au premier point marqué des divisions, de sorte que le mouvement qu'on donne a la corde puisse se communiquer de part et d'autre, et que l'obstacle posé ne fasse d'autre effet que d'obliger le point où il est appliqué à rester toujours en repos, cet Auteur observe que si l'on ébranle la corde dans cet état, elle se divise naturellement par une espèce d'ondulation en autant de ventres égaux, dont les extrémités qui restent immobiles répondent précisément aux points marqués des divisions; car ayant mis sur la corde divers morceaux de papier, il trouve que ceux qui sont sur les nœuds ne sont point du tout déplacés, les autres au contraire tombent aussitôt que la corde commence de se mouvoir. M. Sauveur compare de plus les sons harmoniques produits par I. 16

une telle corde avec les sons naturels d'autres cordes semblables, et il reconnaît que la longueur de celles-ci doit toujours égaler celle de la partie de la corde donnée qui est interceptée entre le chevalet et le bout le plus proche. Il en est de même si le chevalet est placé à la seconde, troisième,... division, et en général la corde forme toujours autant de nœuds, immobiles à égale distance les uns des autres, qu'il en faut pour que le chevalet réponde k l'un d'eux, et le son rendu est toujours semblable au son que produirait une des parties de la corde comprise entre deux des points de repos naturels. Que si le chevalet divise la corde en deux parties incommensurables, la corde ne fait pour lors que frémir, sans résonner, et l'on n'entend qu'une espèce de bruit confus et désagréable à l'oreille.

51. On sait qu'en prenant le son d'une corde pour fondamental, sa moitié rend l'octave au-dessus, son tiers rend l'octave de la quinte, son quart rend la double octave du son fondamental, et la cinquième rend la double octave de la tierce; les autres divisions ne forment plus que des dissonances avec le son principal, à moins qu'elles ne donnent des octaves de ceux-ci. D'où il s'ensuit que l'on ne peut tirer d'une même corde d'autres sons harmoniques que la quinte ou la tierce, en omettant les octaves qui peuvent être regardées comme des répétitions de leurs sons principaux. Ainsi la trompette marine, qui est composée d'une seule corde à laquelle on applique le doigt en la faisant résonner avec un archet, ne produit jamais d'autres sons que ceux qu'on vient de nommer, et le doigt tient lieu de l'obstacle léger qui divise les vibrations de toute la corde.

On a encore heureusement appliqué cette théorie à toutes les espèces de violons où, par le moyen d'une légère pression de doigt, on produit des sons harmoniques très-agréables à l'oreille et qui s'approchent beaucoup du son des flûtes; on pourrait même, je crois, avec beaucoup d'exercice, parvenir à exécuter sur le violon une pièce quelconque de musique par des sons toujours harmoniques, car, pour en tirer tous les sons nécessaires, il ne s'agirait que d'ajuster sur les cordes deux

doigts, dont Tun fût appuyé fortement sur le manche, comme on le fait ordinairement, en appliquant en même temps Tautre au tiers, ou au cinquième de la corde, pour lui donner le son harmonique convenable. Cest aux habiles musiciens à juger si Texécution de ce projet n'est pas sujette à d'autres difficultés capables de rebuter les meilleurs artistes.

52. Nous avons fait voir (9) que les mouvements des parties de l'air, qui composent une fibre élastique continue, ne diffèrent nullement de ceux des cordes vibrantes, si ce n'est en ce que les vibrations de celles-ci sont perpendiculaires à Taxe au lieu que les autres sont longitudinales. Donc, si l'on considère une fibre quelconque d'air ou bien un amas de plusieurs fibres renfermées dans un tuyau qui les borne et les distingue de la masse continue de l'air extérieur, ces fibres pourront recevoir dans toutes leurs parties des mouvements semblables à ceux des points d'une corde de musique d'égale longueur et d'égal poids, et dont la force de tension soit équivalente à celle de l'élasticité naturelle de l'air. Si donc les mouvements de ces fibres peuvent se communiquer à l'air extérieur, il en résultera un son qui sera de même nature que celui qui serait produit par la corde correspondante.

Voilà le principe et Torigine de tous les instruments à vent, qui constituent une classe d'instruments de musique non moins étendue et non moins importante que celle des instruments à cordes.

Le célèbre M. Euler a tâché le premier de rapprocher les théories de ces deux espèces d'instruments dans une Thèse sur le Son, imprimée à Baie l'année 1727, puis dans son excellent Traité de Musique qui a paru l'année 1739. Il compare en effet dans ces endroits la colonne d'air contenue dans un tuyau a une corde du même poids et de même longueur, et qui serait tendue par un poids égal à celui d'un cylindre de mercure, dont la base fût la même que celle du tuyau et la hauteur celle du baromètre. Par cette comparaison, il détermine le son que doit rendre une flûte quelconque donnée et il le trouve entièrement d'accord avec l'expérience. Il faut avouer que cette théorie a été portée par ce savant Auteur au plus haut degré de perfection, et qu'il n'y restait rien à désirer

i24 RECHERCHES SUR LA NATURE

qu'une démonstration analytique et tirée de la nature même des mouvements qu'il a comparés ensemble. Mais, pour mettre cette importante matière dans tout son jour, développons-en ici encore quelque cas particulier. Soit une flûte de longueur a depuis l'embouchure jusqu'à l'autre extrémité, soit i^ la largeur de sa base que je suppose être partout la

même; on aura (46) pour la durée d'une oscillation aérienne y-WT'

où S est le poids de la colonne d'air contenue dans la flûte et E son élasticité naturelle. Supposons donc k égal à la hauteur barométrique, et

- la raison de la gravité spécifique de l'air à celle du mercure, on aura

E égal au poids d'une colonne de mercure dont la base est b^ et la longueur k, et S égal au poids d'une semblable colonne dont la longueur

est seulement - -, d'où ^ = -j-y et par conséquent le temps d'une oscillation sera

^2 nkh

Sj inhh-~'

ce qui fait voir que ces temps, toutes choses d'ailleurs égales, sont comme les longueurs des flûtes auxquelles les tons répondent, comme l'expérience nous l'enseigne en effet. Si l'on veut que la flûte achève loo vibrations dans une seconde, ce qui produit le son fixe de M. Sau-

veur, on lera ^== = i , d ou a = ; or nk exprime précisément

sjinhh « r r

la hauteur de l'air supposé homogène qui se trouve à peu près égale à

85o X 32 pieds, et h est de i5 pieds environ; donc