CHAPITRE III

Dl' IIILANGE ET DU RAPPORT DES SONS.

62. Je n'ai traité jusqu'ici de la propagation du son que dans le cas d'un seul corps sonore qui communique ses vibrations aux parties contiguès de l'air; il nous reste à voir si les lois trouvées ont de même lieu quand plusieurs sons sont excités en même temps dans divers endroits, et en quelle manière ces sons peuvent se répandre dans le même espace sans se troubler ou se confondre en aucune façon, comme nous le montre l'expérience journalière.

Concevons donc dans la même fibre aérienne sonore AB (^g. i6)

Fig. la

divers points physiques C, C\ C",..., qui soient frappés en même temps par des corps sonores, qui diffèrent les uns des autres comme on voudra;

soient représentées par c,, Ca, c,,... les impulsions ou les vitesses communiquées à ces points, et que X,, Xa, X,,... désignent leurs distances AC, AC", AC,... de la première extrémité donnée A, on trouvera, pour la vitesse u d'un point quelconque D de la même fibre qui est éloigné de A par l'intervalle AD = x, l'expression générale suivante :

/ . X.cj . xm tlim

1 sin sin — cos — =-

. 2X, CJ . 7.XTS 2/Hcj

-4- sm sin cos — t^t-

ia 2a 2 1

. SX.CT . Zxm Smw \

-4- sm sm cos — =; — h . . .

/ . X,nj . xm /Hcj

( sin sin — cos — =r

. 2XîCJ . IXJS 2/Hcj

-h sm sm — — cos — =r-

H- sin sm cos — =^ — h . . . )

/ . XaW . xm tVLm sm — ^— sin — cos — =;- \ 2 a 2 a 2T

. 2X351 . ixm itYLm

H- sin sm cos

. 3X3CJ . "^xjs ZtYLm \

-h sm sm cos h . . . )

On ramènera ces expressions à la forme de celles du n*^ 54, et il viendra, comme il est aisé de le voir, une suite de formules toutes semblables entre elles, et semblables à celle qu'on a trouvée pour le cas d'une seule impulsion donnée c. Or, afin de connaître ce qui arrivera lorsqu'une même particule d'air sera ébraillée par plusieurs sons divers, il faut chercher la valeur de u au moment de l'ébranlement, et en suivant le même procédé qu'on a enseigné (38), on trouvera que chacune des expressions qui composent la valeur générale de u se réduira \ ±.c^y ±1 Ca, ±1 C3,..., selon que le temps t répondra aux formules

X,^H/ .Ix \

ET LA PROPAGATION DU SON. Hi

où il est à remarquer que Talternalive des sijgnes des quantités c,, c-j,

c,,... doit répondre exactement à celle des quantités - -+- 2s.

On voit de là que lorsqu'il n'y a qu'une de ces équations qui soit vérifiée, u retient la même valeur c qu'il a eue au commencement; mais quand plusieurs ont lieu en même temps, la valeur de u devient composée des premières valeurs c,, c^, c,,.... Donc, puisque chacune des équations répond, pour ainsi dire, à chacun des sons particuliers propagés ensemble, cette propagation se fera toujours de la même manière par rapport à chacun d'eux, comme s'il eût été seul, et il se communiquera d'une particule à l'autre la même impulsion qui a été produite par le corps sonore ; par conséquent, lorsque deux ou plusieurs sons se rencontreront, la particule d'air qui se trouve dans leur point de rencontre recevra une impulsion composée des impulsions particulières qui constituent la nature de chacun d'eux; et passé ce moment, ils continueront leur chemin comme auparavant, tout de même comme on a vu qu'il arrive dans les échos composés.

63. Nous avons donc trouvé dans nos formules le développement d'un des principaux points de la théorie du son, qui regarde la manière avec laquelle l'air est capable de transmettre à l'oreille sans mélange les impressions de plusieurs sons différents. Cette vérité, qui est une des plus connues par expérience, a cependant embarrassé si fort les Physiciens jusqu'à présent, que les plus habiles ont été obligés de recourir à des systèmes pour en rendre raison. Les principaux se réduisent à deux : celui du mélange des vibrations isochrones, proposé par M. Daniel Bernoulli, et celui de la différente élasticité des particules de l'air, inventé par M. de Mairan. Pour ce qui est du premier, nous en avons vu l'insuffisance dans le Chapitre V. A l'égard de l'autre, il suffira de remarquer que la différente nature des particules de l'air ne peut influer que sur la vitesse du son, comme il résulte de la formule donnée (56); mais que pour ce qui est de leur ébranlement, il ne dépend que de la nature du corps sonore, dont les parties frappent dans leurs oscillations indistincte-

ment toutes celles de Tair contigu. On peut voir dans Tarticle Fonda- MEivTAL de V Encyclopédie les autres raisons qui rendent ces deux systèmes insoutenables; c'est pourquoi je ne m'y arrêterai pas davantage.

64. Nous venons de voir que la particule d'air qui se trouve dans la rencontre de deux sons reçoit un ébranlement différent de celui qui est produit par chaque son en particulier; donc, si les sons sont de telle nature que leurs vibrations concourent toujours après un certain temps donné, l'impression suivie et régulière de ces ébranlements composés pourra être distinguée des autres impressions particulières, et une oreille assez exercée entendra un troisième son, dont le rapport avec les autres se trouvera en comparant le nombre des vibrations particulières que chacun d'eux achève entre deux concurrences successives. On devra donc entendre ce troisième son précisément au point milieu de la ligne qui joint les deux corps sonores, parce que, les sons ayant toujours une même vitesse, c'est là qu'ils doivent nécessairement se rencontrer: cependant, si l'on considère la masse continue de l'air, on voit que chaque particule d'une fibre sonore doit être considérée comme le centre d'une infinité d'autres fibres, auxquelles elle peut aussi communiquer du mouvement, ce qui fait que le son se propage en tous sens; d'où il suit que l'ébranlement composé pourra être de même porté à l'oreille dans une infinité d'autres endroits, qu4>Mpi« avec moins de force et moins distinctement, a cause de la diminution et de l'altération causées par les résistances des particules hétérogènes dont toute la masse de l'air est parsemée.

Il faut une extrême finesse d'oreille pour percevoir ces sons composés; aussi n'y a-t-il que quelques-uns des plus habiles artistes qui les aient reconnus. M. Tartini est le premier, que je sache, qui se soit attaché à les examiner avec soin, comme on peut le voir dans son Traité de Musique imprimé à Padoue l'année 1754. Ce célèbre Auteur nous apprend qu'en tirant d'un même instrument capable de tenue, comme les violons, les trompettes, etc., deux sons k la fois, ou bien en les tirant de deux instruments éloignés l'un de l'autre de quelques pas, on en entend un troi-

siëme, qui est d'autant plus sensible qu'on se rapproche plus du point milieu de l'intervalle donné.

Après beaucoup d'expériences sur ce sujet, M. Tartini conclut -que si

l'on considère la suite des fractions -» 4» t> ^' ^'***' ^^ qu'on ajuste

autant de sons qui aient le même rapport entre eux que les termes de cette suite, deux sons voisins quelconques produiront toujours, pour

troisième son, le premier son qui répond au terme -• Or, en examinant

la concurrence des vibrations de tous ces sons, on trouve qu'elle ne peut avoir lieu qu'après un nombre de vibrations égal au dénominateur de la fraction qui exprime les sons correspondants; ainsi les deux sons exprimés par •= et par g ne deviennent concurrents qu'après cinq vibrations

du premier et six du second, et ainsi des autres; d'où il s'ensuit qu'en comparant le nombre des concurrences au nombre des vibrations de chaque son particulier, le troisième son produit par deux de la série précédente devrait toujours être exprimé par i , ce qui donne proprement l'octave de celui qui est résulté k M. Tartini. Mais on sait que la différence entre un son et son octave est souvent insensible à l'oreille, par la facilité naturelle que nous avons de les confondre ensemble; donc, si l'on substitue au troisième son de M. Tartini son octave au-dessous, les résultats de ces expériences deviendront en tout conformes a ceux que nous donne notre théorie. On doit être d'autant plus porté à admettre cet échange d'un son dans son octave, que M. Serre, dans son ouvrage sur les Principes de l'Harmonie de 1753, en faisant mention des expériences de M. Tartini, nous rapporte que les troisièmes sons produits par des tierces majeures et mineures se trouvent précisément k l'octave basse de ceux de M. Tartini.

Nous avons parlé plus haut de rexpérience des battements de M. Sauveur, et nous avons vu qu'ils répondent exactement aux concurrences des vibrations; il y a donc tout lieu de croire qu'ils sont de même formés par la rencontre de deux sons, et qu'ainsi leur explication dépend entièrement de la théorie que nous venons de donner. Il est donc vraisem-

blabie que le troisième son de M. Tartini n*est produit que par une suite de battements^ et dahs ce cas il est très-aisé de reconnaître que le troisième -son doit avoir avec les deux sons primitifs le rapport que nous avons ci-dessus établi.

Ce serait ici le lieu d'examiner la nature et la source des consonnances et des dissonances; mais il faut avouer que, malgré les efforts de plusieurs habiles musiciens, on n'est pas encore parvenu à établir là-dessus des fondements constants et généraux. M. Sauveur est dans l'idée qu'un accord plaît d'autant plus à l'oreille que ses battements sont plus fréquents, et qu'ils restent pour cela moins sensibles ; d'où il suit que les accords consonnants doivent être précisément ceux dont les vibrations sont les plus concurrentes, et qu'au contraire les accords deviendraient dissonants lorsque la concurrence des vibrations est telle, qu'elle peut aisément être perçue par l'oreille. M. Tartini tire aussi de ses expériences du troisième son plusieurs conséquences pour la nature de l'harmonie. Il prétend que le troisième son est toujours la vraie basse dont les «ons particuliers sont les dessus, et c'est sur cela qu'il a principalement fonde son système de Musique. Quoi qu'il en soit, il est au moins certain, par ce que nous venons de démontrer, que, de quelque façon qu'on prenne la chose, la concurrence des vibrations en est toujours le fondement, quoique présentée sous des points de vue différents; nous verrons encore ci-après que le principe de l'harmonie, qu'on prétend trouver dans la nature même des corps sonores, revient encore à celui-ci.

65. Lorsque les parties des corps sonores sont ébranlées, l'air reçoit autant d'impressions successives que ces parties font de vibrations, et ces impressions se répandent partout, sans se multiplier ou se troubler en passant d'une particule d'air dans l'autre. Donc, si le corps sonore est de telle nature que les vibrations de ses parties commencent toutes et s'achèvent toujours dans le même temps, l'oreille sera frappée à la fois par plusieurs petits coups qui se succéderont par des intervalles de temps égaux, et cette uniformité d'impressions produira ce sentiment agréable qu'on appelle son; au contraire, si les vibrations des parties du corps

sonore différent les unes des autres, c'est-à-dire qu'elles ne soient pas toutes d'égale durée, notre organe recevra à chaque instant des ébranlements différents, et on n'entendra dans ce cas qu'un bruit confus. Cette vérité, qui a été dès longtemps reconnue, est une suite nécessaire de ce que l'on a démontré sur les mouvements des cordes vibrantes et sur ceux des fibres élastiques d'air; car on éprouve tous les jours que les cordes qui produisent les meilleurs sons sont toujours celles qui ont une plus grande uniformité dans toute leur extension, ce qui les rend plus capables des mouvements réguliers et isochrones que nous avons déterminés dans le Chapitre VU. Ainsi l'explication du son et du bruit, que quelques Auteurs ont voulu donner en disant que tout bruit est un, et qu'au contraire tout son est composé, tombe ici d'elle-même, puisqu'elle est tout à fait opposée à ce que nous venons de démontrer.

Supposons à présent que pendant qu'une corde résonne il y ait près d'elle plusieurs autres cordes tendues, il est clair que l'air ébranlé par la première frappera toutes les autres, et que les impulsions reçues par celles-ci répondront parfaitement a chacune des vibrations de celle qu'on fait résonner; donc, à force de coups réitérés, elles devront de même entrer en vibration; or, puisque la durée des vibrations des cordes est absolument déterminée par la constitution de la corde même, il s'ensuit que si toutes les cordes sont de même nature, les vibrations naissantes de celles qui sont ébranlées par l'air pur seront toujours favorisées par des impulsions continues qui procèdent de la corde principale; c'est pourquoi au bout d'un certain temps elles seront aussi forcées de résonner. Au contraire, si les cordes sont telles, que leurs vibrations ne puissent jamais être concurrentes, elles seront tantôt favoriwsées et tantôt troublées par les impulsions qui procèdent de la corde principale, et ainsi il sera impossible qu'elles reçoivent jamais un mouvement sensible et capable de produire le son qui leur est propre. Supposons à présent que les cordes tendues ne soient pas à l'unisson de celle qu'on fait résonner, mais qu'elles y répondent comme nombre a nombre, il faudra ici distinguer deux cas : lorsque le son de la corde principale est mesuré exactement par ceux des autres cordes, et lorsque ces sons sont seulement com- I. ,9*

mensurables entre eux. l\ est visible que dans le premier de ces cas, les vibrations des cordes qu'on laisse en repos seront toujours favorisées par celles de la corde principale qu'on ébranle, et par conséquent ces cordes devront de même raisonner comme si elles étaient à l'unisson; dans, Tautre cas, les cordes ne pourront résonner dans leur totalité, car elles seront toujours en partie troublées et en partie favorisées par les vibrations de la principale; et comme les impulsions contraires et favorables sont toujours uniformes, elles les forceront de prendre des figures telles, que leurs vibrations puissent toujours être favorisées. Il faudra donc - ([u'elles se divisent en plusieurs ventres égaux, de sorte que le son de chacun de ces ventres soit, ou a l'unisson de celui de la corde principale, ou bien qu'if le mesure toujours exactement comme dans le premier cas. Or, puisqu'il n'y a rien qui retienne fixes les nœuds formés par les ventres naturels de ces cordes, il arrivera facilement que les vibrations particulières se dérangent les unes les autres, ce qui en détruira l'uniformité et empêchera par conséquent les cordes de résonner; elles ne feront donc que frémir au son de la principale, et se diviseront, en frémissant, par une espèce d'ondulation, comme on le voit dans les sons harmoniques.

Ce phénomène a été observé par MM. Wallis et Mersenne, les premiers, puis par M. Sauveur dans la dissertation citée (50). Tout le monde le reconnaît aujourd'hui, et on convient généralement que l'air ébranlé par les oscillations d'une corde est celui qui met les autres en mouvement; mais il restait encore k donner la raison pourquoi, de plusieurs cordes frappées également par les mêmes coups d'air, il n'y a que les harmoniques qui puissent résonner ou frémir simplement. C'est à quoi il me parait avoir entièrement satisfait par tout ce qui a été démontré jusqu'à présent.

Je souhaiterais pouvoir expliquer de même la multiplicité des sons harmoniques qui se font sentir en frappant une seule corde, telle que la douzième et la dix-septième au-dessous du son principal. Mais j'avoue qu'après bien des réflexions, je ne suis pas encore parvenu à trouver sur ce sujet rien de satisfaisant. Ayant examiné avec toute l'attention dont je

suis capable les oscillations des cordes tendues, je les ai toujours trouvées simples et uniques dans toute leur étendue, d'où il me parait impossible de concevoir comment divers tons peuvent être engendrés à la fois. Il serait pour cela inutile de recourir aux théories dont on a fait mention (63), puisque nous en avons déjà fait sentir le défaut. Je suis donc enclin à croire que ces sons peuvent être produits par d'autres corps qui résonnent au bruit du son principal, comme on vient de le voir dans les cordes; et ce qui peut donner quelque poids à cette conjecture, c'est que ce mélange de sons harmonieux n'est guère sensible que dans les clavecins ou dans les autres instruments montés de plusieurs cordes.

Quoi qu'il en soit, je désirerais que des personnes dont l'oreille fût extrêmement fine, et qui ne l'eussent pas beaucoup exercée a entendre de la musique, voulussent bien prendre la peine de répéter ces expériences sur une seule corde fixée par deux chevalets sur une simph^ table, dans des lieux ouverts de toute part; dans ce cas, on pourrait être sur que ni la prévention de l'oreille accoutumée à entendre toujours les sons principaux accompagnés de leurs harmoniques, ni la résonnance des corps circonvoisins ne pourraient y avoir aucune part, et le résultat de l'expérience deviendrait hors de toute atteinte.

M, Rameau, un des plus célèbres artistes de nos jours, et à qui l'art musical est si redevable, a donné en 1760 une démonstration du principe de l'harmonie, fondée sur les expériences rapportées de la résonnance des corps sonores. Cet Auteur croit avoir ainsi découvert dans la natiire même les vrais fondements de l'harmonie, qu'on avait avant lui inutilement cherchés par d'autres voies; mais après tout ce que nous venons de démontrer, on voit évidemment que ce principe même tire son origine de celui de la concurrence des vibrations, principe dès longtemps reconnu pour la source des^consonnances et des dissonances, et sur lequel M. Euler a établi sa nouvelle théorie de musique dans le Traité cité (52). Ce célèbre Géomètre a donné en effet à ce principe toute l'étendue dont il parait capable, et il a tâché par là de ramener à des formules assez simples les principales règles de la composition. On ne doit donc plus regarder le principe de M. Rameau que comme une nouvelle