X IX

lesquelles s'accordent pour le fond avec celles que M. Kuler a données dans ses lleclierches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique iMiseellanea taurinensia, t. I, p. gj, oii il nomme // ce <jue nous avons appelé z' et V ce que nous avons nommé a\

22. La construction trouvée au commencement du n** 20 n'est bonne que pour les cas où x ± t\c n'est pas plus grand que a ni moindre que zéro, puisque les valeurs de Z et de U ne sont données que pour la simple étendue de l'axe AB = «. Il faut donc cbercher ici, comme on l'a fait dans le Problème 1, une manière de continuer les courbes ANB, AQB,... au delà des points A et B. Pour cela, ayant conseiTé la construction du n** 7 avec la même équation des courbes A'S'B', A"S"B", on examinera leur cours au delà des points B' et A", en supposant -19; la quantité \ — /• déterminée par l'équation

cos 1 a V — A' I

Pour ce qui regarde la branche A" 'S qiii est du côté des abscisses négatives, rien n'est d'abord plus facile que de la trouver; car faisant x négatif, sin(a:v — k) devient simplement négatif sans changer de valeur, d'où il s'ensuit que cette branche ne doit être que la branche même A" S' renversée de la manière qu'on l'a déjà fait (fig. 6, p. i68!. Ainsi on

prouvera de nouveau, par le même raisonnement du n** 7, que la partie des aires qui répond à Tabseisse AA" sera la même que celle qu'on pourrait former sur l'abscisse AA', en employant la courbe A' S' el la courbe AN continuée au-dessous de Taxe de la même manière que la courbe A" S"; d'où Ton voit que la continuation de la courbe ANB au delà de A sera aussi la même que celle qu'on a pratiquée dans la//g^. 7, p. iCic). Mais il n'en sera pas ainsi pour la continuation au delà de B, car sin(a^ V -— ^) n'ayant plus dans le cas présent des valeurs éj^ales et contraires autour du point B' qui répond à x = a, la branche B' S ne saurait non plus être la même que la B"S renversée. Il ne serait pas difficile de connaître la nature de cette branche W S, mais cela ne servirait de rien pour l'objet présent, puisque la méthode du n"* 7 demande que la branche B'S puisse être substituée à la place de la branche B"S", afin (|u'on ait la courbe entière A"S"B", qui soit la même que la courbe A'S'B' et (|ue la courbe ASB. Pour remplir cette condition il n'y a pas d'autre moyen que de transformer chaque portion d'aire qui répond à B'B en^une autre égale et dans laquelle la branche B'S soit semblable et diamétralement opposée à la branche B'S', comme dans Va Jig. 6, p. 168. Kxaminons |)our cela cette expression intégrale

Z'siii \(a -h z) y, — Il \dz.

laquelle étant prise depuis le point B' où 3 = 0 jusqu'au point B, exprime l'aire formée par les produits des ordonnées des deux courbes ANB, A'S'B' relativement à l'espace B'B, et voyons si l'on peut la changer en une autre de la forme de

- / iZ)siii [a — z)s-i^-:,dz

Zj désignant une quantité quelconque donnée en Z'. Je prends cette autre expression

/ R siii |(rt H- Z) v'— h ^dzy

20l> NUL \ ELLES UECHEUCHES SUH LA NATURE

et je la eliange dans son égale

/ Ksin (« y — 7» ) cos{ z \ — A'/ ^-3 -h I Hcosia^— k}sin(z \— kj dx.

Je substitue ensuite à la place de sin(av —A) la quantité av—i*cos(av—^)

tirée de Téquation qui détermine la valeur de \'— k, et je fais évanouir à

l'aide d'une intégration par parties le eoelfieient y — ^ introduit par eette

substitution; j'ai ainsi

I \\ sin a V — kj cos [z ^ — k dz —a y — A 1 H^cos [ a y — k) cos ' ^ \^— k dz

n\\('0^'a\ — k)^\nz\'—kj—a l vosla ^f— k) siti^ z ^f— k) dï{.

Le ternie algébrique de cette transformée s'évanouit de lui-même lorsque z = o; donc, si l'on suppose R = o lorsque z = B'B (nous verrons ci-après que cette supposition est possible), on pourra l'effacer entièrement; et la première transformée deviendra par la substitution

1 \{cos^ a\ — kjii'in^ z\ — k}dz ~ a l c()s{a\ — k} sii\( z \ — k} d\{ - j \{ s\n[(a f- z ) \ — k \ dz .

Développons à présent les produits des sinus et cosinus; on aura l'équation

- ~ j \{sin\(a-h z)\/ — k]dz — ~ j }\s\n[{a— z)\''^k}dz

- -al sïiïlia -h 2) y— A , r/K-h - « / sin[{«— z}\ — kjdïi

- / \{s\\\[a-^z)\—kjdz, H réduisant,

r ( R -h a ^) sin \{a -4- z)^~k\ dz = - (iW - «^ j sin \(a - zjy'^^Hf j dz.

Comparant donc les deux membres de cette équation avec les formules

[M'uposées

l 7J sin\({t -h z)\—lijfiz. — / (Z)siir (// — 5) V /t'idz, t. t

on riiira

(l'oii Ton déduira le rapport entre fZ) el Z'. Multipliant la première équation par e^'dz et intégrant, il vient

fTe%lz..a^e"

d'oii l'on tire, en substituant,

(Z)=^% ^ fz'e^ttz- Z.

Or, nous avons supposé que R était égal à zéro lorsque z — B'B; on satisfera donc à cette condition en prenant l'intégrale / 7Je"dz, telle qu'il

s'évanouisse dans ce cas; il ne faudra pour cela que poser B'B v au lieu de 3, et - dy au lieu de rfs, et commencer l'intégration avec lt»s abscisses V du point B en allant vers B'; on aura par ce moyen

;Zir -e'' / Z e %/y - Z\

Telle est la valeur de Z; qui, étant prise au lieu de Z', pour multiplier chaque ordonnée correspondante de la branche B"S, produira une aire égale à celle qui se formerait en multipliant la valeur de Z' par l'ordonnée correspondante non pas de la branche B"S, mais de celle (jui serait la vraie continuation de la courbe A' SB' dans notre cas. De là et du rai-

208 NOLVELLES KECHKKCHES SLR LA NATURE

sonnemenl du n'' 7, il n'est pas diffirile i\v conclure que la portion d'aire (jui répond naturellement à JVB dans la formule

I Z' sin f^^ \ -h / vV' j V — *'J ^^

peut être changée en une autre formée sur BB" par les ordonnées de la branche S'B" et par celles d'une autre branche, comme la BN" i/ig. 12 ,

Fig. 12.

qui serve, pour ainsi dire, de continuation à la courbe fondamentale ANB, et qui soit telle qu'en prenant de part et d'autre de B les abscisses égales BF, B'P = V, on ait toujours

P'N" = (Z)=-e" f7.'e~"dr^Z'

Voilà donc comment il faudra continuer la vourhe fondamentale ANB au delà de B, pour pouvoir faire usage de la construction donnée cidessus lorsque X a des valeurs plus grandes que a.

Tout ce que nous avons jusqu'ici enseigné sur la manière de continuer cette courbe d'un côté et de l'autre s'appliquera aussi à l'autre courbe fondamentale AQB et encore aux courbes déris^ées anb, Aqb, pourvu que dans ces dernières on ait soin de placer les deux branches de continuation au-dessus de l'axe par la raison qu'on a dite à la fin du n*" 7.

La construction qu'on vient de trouver n'est encore suffisante que pour les cas où X est contenu entre les limites — a et -h 2a. Pour lui donner toute la généralité possible, reprenons la formule

r7/sin!(fl

',)^;—k\dz.

qui a été changée en

- j {Z)^ïnl{a- z)s,'—k](iz;

posant a -\- z = .T, on aura

I Z' s\ï\{x^/—li jclx r.-. / (Z)sin|(x — ?.a) y— À-Jrfj?;

d'oii l'on voit que Tabscisse x peut être diminuée de 2a, pourvu qu'on change l'ordonnée Z' en (Z); de même; si (fZ)) est une fonction de (Z), telle que (Z) l'est de Z', on pourra diminuer de 2a l'abscisse qui se rapporte à (Z), en changeant (Z) en ((Zjj; donc on pourra aussi diminuer l'abscisse de Z' de 4« en changeant immédiatement Z' en ((Z)j, et ainsi de suite. De là il résulte que le reste de la continuation des courbes, soit fondamentales, soit dérivées, au delà du point B, pourra se déduire aisément de la branche qui répond à l'abscisse 2a; car on n'aura qu'à transformer successivement cette branche en d'autres, dont les ordonnées aux mêmes abscisses se répondent entre elles comme les expressions Z', (Z), ((Z )),..., et appliquer ensuite par ordre et suivant la direction AB toutes ces branches l'une à côté de l'autre' le long de l'axe AB prolongé à l'infini.

Par un raisonnement tout opposé, on prouvera que la continuation des mêmes courbes au delà de A se fera par un assemblage semblable de branches dérivées l'une après l'autre de la 3eule branche qui répond à l'abscisse 2a, mais avec des opérations contraires aux précédentes, savoir, de manière que les ordonnées qui répondent à une même abscisse ^r* dans chaque branche, à commencer du point A, soient entre elles comme les quantités (Zj et Z'.

Par là on trouvera sans difficulté que les courbes dont il s'agit auront autour du point A une figure semblable, avec cette seule différence que pour les couvhes fondamentales les deux branches infinies de part et d'autre de A seront diamétralement opposées, savoir, l'une au-dessus, l'autre au-dessous de Taxe, et (jue pour les courbes dérivées, les branches I. 27

seront Tune et l'autre du même côté de l'axe; d'où il s'ensuit qu'ayant exécuté la continuation du côté des abscisses positives à l'infini, suivant ce qu'on a dit ci-dessus, on n'aura plus qu'à renverser la même courbe au delà de A, et au-dessous ou au-dessus de l'axe, selon qu'elle appartiendra 9l\x\ fondamentales ou aux dérivées,

23. Par la méthode qui vient d'être expliquée, nous avons la manière de continuer de part et d'autre à l'infini les courbes qui dépendent des valeurs de Z et de U, données à volonté dans le premier instant du mouvement, sans s'embarrasser que lés différentes branches de ces courbes soient liées entre elles par la loi de continuité. Mais, si on voulait se borner à admettre cette loi, on pourrait obtenir les mêmes résultats avec beaucoup moins de peine par la simple considération des formules données à la fin du n*^ 20. Toute la difficulté se réduirait à chercher la nature des fonctions 9 et <f au delà des points Â et B, par la condition que z eiu soient égaux à zéro dans ces points, quelque valeur qu'on suppose à /.

Posons d'abord dans ces formules ^ = o, 5 = 0, w = o, on aura les é(|ualions