x ^C IX'^^C

De ces deux équations il suffira de vérifier la première, puisque la seconde n'en est que la différentielle divisée par dl; mais il se présente dans cette opération une difficulté, car les termes étant divisés les uns par X, les autres par x^, on peut être en doute si, en faisant à part égaux à zéro les numérateurs de x et de x^, toute la formule disparaîtra, à cause

que ar est déjà lui-même égal à zéro. Pour lever cette ditliculté, supposons que X, au lieu d'être tout à fait nul, soit seulement infiniment petit et égal à a, et développons chaque fonction ''(f{a±t\c), ''(^(a±:/ vc),... suivant la formule connue

en effaçant ce qui se détruit et en négligeant les termes qui se trouvent multipliés par des puissances de a, on aura l'équation

qui doit être vraie indépendamment de la quantité a; donc on aura

[9 (/ V^) + 9 (- / s/c)} + ['+ {i)/c)- '+ (- / V^)J = o, équations auxquelles on satisfera en posant

>(-/V^cj = -^>(/v^) et '^^{-t^) = -'^(iyfc). ou bien, en différentiant.

Or, / étant une variable qui peut croître à l'infini en commençant à zéro, t\c pourra représenter une abscisse quelconque positive; donc la nature des fonctions "9 et ""^ devra être telle que, faisant les abscisses négatives, ces fonctions deviennent simplement négatives sans changer de valeur. Il en sera de même des fonctions 9 et ^, puisque, en différentiant deux fois les équations précédentes, elles deviennent

d'où l'on voit que les deux courbes ANB, AQB, qui représentent ces

fonctions, devront avoir de part et d'autre du point A des branches égales et diamétralement opposées, ^insi qu'on l'a trouvé (22). Il n'en sera pas tout à fait ainsi pour les courbes anb et Xqb qui contiennent les fonctions '9 et '^, car on a pour ces fonctions

ce qui montre que les ordonnées doivent être exactement les mêmes à des abscisses égales, positives et négatives, et que par conséquent les branches autour de A seront semblablement situées sur l'axe, ce qui s'accorde avec ce qui a été enseigné dans le numéro cité.

Examinons maintenant les valeurs des mêmes fonctions* pour les abscisses qui surpassent l'axe donné a. Posant a? = a, 2 = o et w = o, on aura de nouveau deux équations; la première sera

> (g -f- f \/c) -f- > (g — / si'c) > [a -h tyc) -f- ^>(g— / sj&i ia 7.0^

''^ [a -4- / yë) — ''^{a— t yj'c) "^j; [a -f- /y'ë) — '"^(a — t^V}

la seconde ne sera que la différentielle de celle-ci divisée par rf/, et par conséquent nous pourrons nous dispenser d'y avoir égard. Or, afin (jue les fonctions 9 et tf ne dépendent pas l'une de l'autre, on fera séparément

rt '9 (a -h / yc) "~ ''9 (« H- ^ ^c) :=^a\{a— t yjc) -f- "9 (a — t yjCj

a "ij; [a — t yê) — '"^j; [a -f- 1 si'c) z=ia''^[a — t y/ë) — "»]; [a— t y'ëj.

Différentions deux fois la première et trois fois la seconde; on aura, en changeant les signes,

9 (a -f- / y/c ) — «9' [a-\- t s/c) =1 -^ r^{a — t y'cj -f- a(^' (a — t ^'cj et

^ {a-\- t \c) — a^' (a-f- t ^/c) = — ^(a^ t \c) -\- a^' {a— t ycj,

équations (|ui sont tout à fait semblables entre elles.

tyjc

Je multiplie par e " s;c dt et j'intègre ; j'ai

-- ars^ia-h t)/c)e " = -- a(^(a— i )/c}e ** — 9. j z^ia— t \'c) e " y'r^//,

où Ton voit que la valeur de l'intégrale du dernier terme doit être égale à zéro lorsque / = o, puisque dans ce cas les deux autres termes se détruisent d'eux-mêmes. On aura donc

-^ tyJc

(^(a-h i)/c) = oia — t \c) H \ ç^'a — tsjc)e " scdt.

Or, si l'on fait /v'C=.y» ^t que l'intégration soit supposée eomiuencer du point où y = o, on aura

ce qui nous tait connaître la manière dont les valeurs de la fonction 9, qui sont de part et d'autre à distances égales de l'extrémité B de l'axe, doivent être liées entre elles. Or il est aisé de voir, en relisant les n"' 20 et 22, qu^ 9 (a —y) dénote ici la même chose que Z', et ^fa^- vi la même chose que — (Z); donc l'équation précédente donne le même rapport entre Z'et (Z) qu'on a trouvé dans le dernier des numéros cités, et par conséquent aussi la même continuation de la courbe ANB au delà de B. Il est vrai que l'équation entre (Z j et Z' donnée dans l'endroit mentionné n'était d'abord censée appartenir qu'à la seule portion de l'axe comprise depuis l'abscisse a jusqu'à l'abscisse 2a, et que pour toutes les autres abscisses plus grandes à l'infini, on a donné une manière générale de continuer la courbe au moyen des branches déjà connues; mais il ne» faudra que considérer toutes les branches de continuation au delà de B, pour s'apercevoir qu'elles auront constamment avec celles qui sont en deçà de B le même rapport que la quantité — (Z) a avec la quantité Z'.

Cm qu'on vient de démontrer sur la fonction 9 doit se dire de même de l'autre fonction ^ qui appartient à la courbe AQB, et il ne sera pas difficile de l'appliquer aussi aux autres fonctions 9' et '^ pour les courbes aqb, ANB, et de faire voir le parfait accord qu'il y a entre les résultats de ces procédés et ceux qu'on a trouvés plus haut par une voie différente.

Cette matière aurait peut-être besoin d'être traitée avec un plus long détail que nous ne l'avons fait ici, mais ceux qui auront bien saisi l'esprit de nos méthodes n'auront pas de peine à suppléer d'eux-mêmes à ce qui peut manquer pour l'entière exactitude des démonstrations, sans qu'il soit nécessaire de nous étendre davantage là-dessus.

24. Il est à remarquer au reste que l'on abrégerait beaucoup la solution précédente, si, par le moyen de quelque substitution convenable, on parvenait à ramener tout d'un coup l'équation

= cl

à la forme

Or pour

cela il

aurait

qu'à

supposer fz'xdx

ce qui donne, en différentiant.

df x-"