Il est visible, par exemple, qu'on peut supposer

A, B, C, p, q, r étant des constantes à déterminer par la substitution et la comparaison des termes; pour cela, on trouvera les trois équations

A = c(A/>» 4- Bpg H- Cpr), B = c(B^' 4- kpq 4-Crg), C — c- ((]/?' -h \pr-h Bqr),

qui donne, en posant R pour \/A* H- B^ -h C* ,

ABC Rv/^ ^ Ryr Rv/e

mais les valeurs de L, M et N n'étant que particulières, on ne pourra s'en servir, suivant notre méthode, que dans l'hypothèse que les valeurs de x,y et z soient renfermées dans certaines conditions, car il est visible que L, M et N étant exprimées par une même fonction de />X-(-^Y-f-rZ, multipliée seulement par des constantes différentes, les valeurs de x, y, z devront être les mêmes pour tous les points dont la position est renfermée dans la formule

p\-\-q\ -\- rZ — ronstante,

et de plus ces valeurs devront garder entre elles un rapport constant. Supposé que ces conditions aient lieu, on pourra poursuivre le calcul en substituant les valeurs trouvées de L, M et N dans l'équation fD), et transformant ensuite le terme

y/k f\pK j (x')d\-^qB C(y')d\

et réduisant cosl/y — cit) et sin(/v' — cX-) en exponentielles imaginaires, on aura

^(Ax-t-R.,+Cz)e'"'^'^^'^'^*</XrfYrfZ

= - f\\{x)-hb{r)\i:(z)- -^pK f{x')d\- '^vB f{y)d\ -^- f\\{x)-hB{y)-hC{z)-h '^p\ f{T')d\+ -^qH f{r')d\

'.' L yC .' \C J '

yV ./ J

équation d'où Ton tirera, suivant notre méthode, V.r -♦- Bv-f- Cz

--:: - rA(x)-h B(>-)H-(:(3)-i- -~/;.\ / {x')(i\

-^ ^(/B / (r')rfv + -./(: / (z')dz

-^- - \\(x)-hB(r)-hi:(z)- -4/>A Ç[x')d\ - 4vB / (r-'lr/Y- 4r(: / {z')dZ

Les quantités mises en forme d'exposanls dénotent, connue dans le Problèuje I, les valeurs qu'il faut donner aux coordonnées; ainsi X. Y, Z étant les coordonnées qui répondent a .x-, v, s, et fX;, ''Yj, (Z étant supposées celles qui répondent aux expressions qui ont l'exposant p\ -¥- q\ -h r7. ±. t \c, les valeurs de ces dernières devront être telles,

(|ue

/i(\)H-V(V)H-rfZ) - ■7>\H-r/Y-4- rZ±ty^c.

Au reste, si Ton introduit dans cette solution les fonctions indéterminées, elh» reviendra au même que celle que M. Euler a donnée dans son Mémoin», car on aura

d'où l'on tirera les valeurs de j et de z en faisant, selon l'hypothèse,

substituant ensuite ces valeurs dans les équations différentielles du n" 10, on trouvera

eontbrmément aux formules données par M. Euler dans ses Recherches sur la propagation des ébranlements dans un milieu élastique ( Miscellanea Taurinensia, t. II).

Voilà le Problème résolu analytiquement pour une infinité de ras, mais il faut avouer qu'aucune de ces solutions ne sera applicable à la théorie de la propagation du son, dans laquelle les ébranlements primitifs doivent être supposés quelconques. Il en sera de même de toute autre solution qui se trouvera en intégrant les équations (A), (Bj, (C) dans des cas particuliers. C'est pourquoi nous renoncerons pour le présent à déterminer les valeurs exactes de x, y et z par les voies ordinaires de notre méthode, et nous nous bornerons à les trouver, s'il est possible, par approximation, en supposant que le temps / soit fort petit; nous verrons ensuite quelles conséquences on pourra tirer d'un tel calcul pour la connaissance des lois de la propagation du son en général.

i7. Je commence par développer l'expression vosityj— k) en poussant la série jusqu'aux quantités infiniment petites du quatrième ordre; j'ai

(:os(ts/—ck) — I -h -ktH'-{ l—ff^t*c'

ce qui changera le ternie de l'équation (D)

j^/^ZTTÎf) Ç[{x)L-hiy)M -4-(z)N]r/\rfYr/Z

ros

l^t^rlfL -h^/^cAL-h— ^ t^c'h'L \d\d\dZ

f(y) Fm 4- ^ tHkyi -h ^-^ /^c=A*M 1 d\ d\ d'L

■ f(z)[^ ^Lpck^-^ ^-^/*6''A-'NlrfXrfYrfZ.

â7U NOUVELLES RECHERCHES SUR LA NATURE

Or les équations t'A,, ^B^, ^C; donnent d'abord

rf'L rf'M rf=N

rfX' rfXrfY rfXrfZ'

, rf^ rf'L rf'N

- rfy, -»- rf YrfX "^ rfY rfZ '

rf'N rf'L d'M

</Z' dZd\ dZd\"

multipliant ces équations par k et substituant de nouveau au lieu de >t:L. kM, kS leurs valeurs, on aura ensuite

^.,^d^L d'L d'L rf'M d'M rf'M

d\' rfX'rfY' rfX'rfZ' rfX'rfY rfXrfY» d\d\d7r

d*'S rf'N rf'.N

"^ rf\'</Z "*" rfXrfZ' "^ rfXrfZrfY-'

,,„ rf*M rf'M rf'M d*h d'L d'L

d\> rfY'rfX' rfY'rfZ=' «/Y»rf\ «/Y«/X» d\d\dZ'

d'y, d'S rf^N

rfY'</Z "^ </Vrf7/ '^ rfX'rfYrfZ'

, ^. </*N d'^ J'.N rf'L </*L rf'L

rfZ' rfZ'rfX' rfZ'rfi' ^ rfZ'«/X rfZrfX' d\d\'d7. "^ rfZ'rfY "^ rfZrfV^ "^ dX'dYdz'

Par là, on pourra faire évanouir la lettre k de l'expression précédente; car on aura