EA

On remarquera que c est mise ici pour ^-jy? ainsi que nous I avons pra-

liqué partout ailleurs.

En suivant notre méthode, on prendra autant d'intégrales par parties

qu'il en faudra pour faire disparaître toutes les différences de x, y, z

suivant X, Y, Z; on aura d'onc

/rfï^ ^^''^''^''^ -/^ ra-z '^^''^ ''^ -/3I «-'^^ ''^- -/^ ^'^'^''^ '

/•^;^N^XrfY,// .fy^dXdYdZ -.f^NrfX^V- /V^rfXrfZ.

Dans ces Iransforniées, il y a, comme on le voit, deux sortes d'expressions intégrales : les unes, plus génmies, renferment trois intégrations, suivant la variabilité des trois coordonnées X, Y, Z, et expriment par conséquent la somme d*autant de valeurs particulières qu'il y a de particules dans la masse totale du fluide: les autres, au contraire, moins générales, ne renferment chacune que deux intégi*ations suivant la variabilité de deux des coordonnées X, Y et Z, et ne dénotent en conséquence que la somme d'autant de valeurs particulières qu'il y a de particule^ dans une seule tranche du fluide. Celles-ci pourront donc être regardées comme des constantes à l'égard de la troisième variable manquante, et l'on sera toujours le maître de les faire évanouir, en donnant certaine> limitations aux valeui*s des quantités L, M et N, selon la figure de l'espace «lans lequel on suppose que la masse de l'air est renfermée.

Ainsi, par exemple, si cette figure est celle d'un parallélipipède quel- «onque, on voit aisément que ,r est nul dans les deux plans opposes qui sont perpendiculaires à la ligne X: d'où il suit que les intégrales qui contiennent ,r seront aussi nulles dans toute leur étendue, à cause que les intégrales ne varient que suivant Y et Z: par une raison semblable, on verra que les intégrales conteiuint v et - s'évanouiront aussi d'ellesmêmes: donc, pour achever de faire évanouir les autres intégrales, un supposera L tel, qu'il devienne égal à zéro loi'sque X = o et lorsque X = fl, quels que soient Y et Z: ensuite, M devra devenir égal à zéro b>rsque Y = o et Y = />, X et Z étant quelconques: enfin. N devra disparaître de même en posant Z =o et Z =c, pour toute l'étendue des X f»l Y : fl, ^, c étant les trois dimensions du parallélipipède donne.

Si la masse du fluide avait une autre figure quelconque, ou trouvemu aussi, en ayant eganl à cette figure, les conditions qui |>ourrunt tain-

disparaitré toutes les expressions intégrales à deux seules changeantes; il est vrai que le plus souvent ces opérations ne pourront s'exécuter, faute de connaître les valeurs exactes et générales des quantités L, M et N; mais il suffira de les imaginer exécutées pour démontrer que Ton peut toujours omettre les expressions intégrales dont nous parlons. Ainsi Ton aura simplement après les substitutions

~ J \ \d\' d\d\ d\dz)

d\d\ ^ d\dl)

■'[dw^ dzd\ ^dzdYJr^'^^'*^"

On fera maintenant

d\dZ

rf'L

rf'N

rfYrfZ

rf'L dZdX

d'M rfZrfY

'^> :dz^^dzd\'^dzdY-^^'

équations par lesquelles on déterminera les valeurs des quantités L, M et N. Il faudra de plus que ces valeurs satisfassent aux conditions énoncées ci-dessus, et c'est par là qu'on déterminera toutes les constantes que l'intégration aura entraînées, comme aussi la constante k qui ne pourra manquer d'avoir autant de valeurs différentes qu'il y a de particules mobiles.

Cela fait, notre équation principale pourra se mettre sous la forme ordinarre

rf,, = *-^.

avant ici

IxL -i-.rM + zN)rfX rfVrfZ;

26(i NOUVELLES KECHKKCHES SUK LA NATLKE

(Foû Ton tirera, comme dan» le Problème I,

ij

y — ch

r — R rf>s 't V — cii" j — S V — ^Ar sin t ^— ck . Or, soieni

et que Xj, 'y^, ^Zj, ^x j, ' y\^ ' z\ désij^nent les valeurs de .2-, v, z, x\ V , :;', lorsque / == o; on aura done

/ (xL-4-rM-uzN)f/X^/\r/Z n . ^ ros /v-"7/ I ; x;L- )• M- z,y' tl\d\dZ

+ '*il?.''A=^ A' X' I. - )•' M - s' , N ! f/X rfYrfZ,

E =ros/v-r*- | -'x L -«- r' i M - r' N>/\ rfYrfZ

-^v^^^^îiin /^-TÂ I i.r L— v M n- (2 ,»N] </X rfVr/Z.

Voilà les équations d'où Ton tireraîL suivant notre méthode, les vailrurs exactes de .r, v, -, si Ton avait celles de L, M, N, et qu'on pût faire di^ paraître la quantité k, ainsi qu*on Ta tait dans les Problèmes prec^ liants.

Mais le premier de ces objets nous présente d*abord des difficultf^ insurmontables, soit qu'en etVet les équations A • B;, Xj ne soieni pa^ sus^vptibles d'intéjîralion, soit qu'elles demandent d'autres mètliorit^ que celles que nous connaissons. Si on voulait st* borner à des constriiiîii^s jKirliculièn^s, il serait aise d'en trouver, mais elles ne sduruteii* •*îre il'aucunc utilité dans la recherche des lois de la propagation du soi*