HT

(l'oii l'on tire réquation

cjiii, comparée avec l'équation en s trouvée dans le n® 45,

rf^s dr

(ionne

En raisonnant et opérant de même sur les autres tbrnmies inléjçrales qui doivent aussi être égales a zéro, on trouvera pour a?', j', z\ comme aussi pour (x), (/), {z) et {x), (y), (z'), des valeurs qui ne diiïéreront (le celles de x, y, z que dans la constante arbitraire par laquelle les fonctions y, '^, / peuvent être multipliées; on aura ainsi

X' = B9(«, \, V, Z), X' = Bi^a, X, Y, Z), z' = Byja, \, Y, Z);

(j:j^E9(a, X, Y, Z), (^rj^Ei^a, X, Y, Z), (2)^Ex(a, X, Y, Z); (.r')=:F9(a, X, Y,Z), (.r') = F^(a, X, Y, Z), (2')= FyJ^, X, Y, Z).

Maintenant, il faut observer que comme les équations (a y, [b), (c) ne rendent l'intégrale proposée égale à zéro que tant que a n'est pas égal à — X% et que d'ailleurs les équations (D) et (E) du n® 45 doivent avoir lieu en général pour toutes les valeurs de k, il restera encore à vérifier ces équations dans le cas de A= — a; or, substituant dans l'équation (D) les valeurs trouvées ci-dessus de x, y,.../\\ viendra

A /'[L9(a, X, Y, Zj -h m^(a, X, Y, Z)-hNx(a, X, Y, Z)\d\d\dZ

£ cos ' / V ca ; -I '-zzà

V'Ca J

X f[Lo{cz, X, Y, Z)-hMiK«, X, Y, Z)H- Nx(a, X, Y, Z)]d\d\dZ;

ce qui donnera

4 17 ^* / — > . Fsin(lv''^«)

On aura de même, par l'équation (Ej,

B = Fcos(/ v^j — Evcaesin^/v'eâ;; I. 3q

M rx

- l -n-» : j ? X =J ^ XL \- 1 Z .

- -- frinr^'rx ««.

*-- F*i- j'x — t^rx-iàii :^rxix-\-l-Z.

*" =r. F v*p* ' » -i X — £^ ! X jia r9fx;*^x.\.T. z. r ^ F •*» f#<x — £«rxaB r,rx7x.\-T.Z,

^T < X fc -

*' rfX= é\.é\ é\ml^^'

4T éZ4\ 4Z4\

f pL^^M-^ry 4\4\4Z= x-k I xL- rH — x> ^\«/Vi/Z.

Ihtw. partir «^ur rinUrgral*

f xL-.rM-iN J\J\JZ

â*^\funf nulle, il «offin de fiire

sans qu'il soit séparément /i = o, ^ = o, r = o, comme dans les équations (a), (é), (c).

Or, cette dernière formule étant semblable à la formule

(xL-h.rM-t-zN)rfXrfYrfZ,

qui a fourni les équations (a), (fc), (c), on trouvera par des procédés pareils les équations suivantes :

d'où l'on tirera les valeurs de p, y, r, qui, étant substituées ci-dessus, donneront des nouvelles valeurs de a?, j^, z,.... Il faut remarquer que dans la transformation de la formule

(y»L-4-gM-hrN)rfXrfYdZ,

on trouvera des intégrales à deux changeantes de même forme que celles qui résultent de la formule

(orL + rM -l-zN)rfX</YrfZ;

il faudra donc les faire évanouir, en supposant aux valeurs de p, q, r les mêmes conditions qu'à celles de x,y, z; d'où il s'ensuit que, comme les équations (p), (q), (r) sont d'ailleurs entièrement semblables aux équations (a), (b), (c), on aura de même

ei de plus que la quantité /S aura les mêmes valeurs que la quantité — i.

908 NOUVELLES BECHERCHES SUR LA NATCRE

MainU^nant, au lien de .suh^titoer ees valears de p^ f , r dans les équations en X, y^ z, je maUiplie ces mêmes équations telles quelles sont par un coefficient indéterminé H, et j'ajoute chacune d'elles avet! sa correspondante d'entre les trois antres '/>,, ^q , >;, ce qui me donne

HflcrH-'3 — H)ij-i- = •!.

Ha^-f- â— H)rH- = 0.

Soit donc fait

3 — H = at, savoir H = 3 — a,

et supposant pour abréger

on aura

^ rf^/i' rfV rf»r'

, rfV rf''-' ^V

'''"*' rfZ^ ^ rfZrfX "^^ SzrfY ""''•

d*où Ton tirera comme ci-dessus

/l'^Aola, X, V, Z), 9'=A^(a,X, Y,Z), r'=Ax(at, X, Y, Z),

A marquant une nouvelle constante arbitraire- Or, les conditions qui déterminent les constantes de p^ q^ r étant les mêmes que celles qui déterminent les constantes de x^ y^ z, par ce qui a été dit ci-dessus, elles seront encore les mêmes pour les constantes de pf q\ f^ d'où il s'ensuit qu'on aura aussi pour ol les mêmes valeurs que pour p, savoir les mêmes que celles de la quantité — k. Maintenant, comme

on aura, en substituant et prenant deux différentes constantes arbitraires A', A", et marquant par a', a" deux valeurs quelconques de — k,

JT = A>(a', X, Y, Z ) -h A'^ç (a^, X, Y, Z ), j= A'^l^Ca', X, Y, Z)H- A''l].(a^ X, Y, Z), z = A'x(«', X, Y, Z) + A"x(«", X, Y, Z),

formules qui serviront aussi pour les autres variables x', y\ z\ (or), f y)»...» en ne faisant que changer les constantes A\ A".

Or, pour trouver le rapport entre les quantités x, y, z, x\ y\ z' et (x), (j), (z), (a/), (y), [z!)^ dépendant du temps /, on remarquera qu*il y a ici deux cas où les équations f/>), {q), (r) ne remplissent point la condition proposée de

r(xL-hjM-K3N)rfXrfYrfZ = o,

savoir, celui où A = — a' et celui où * = — a". Il faudra donc, dans ces cas, recourir immédiatement aux équations (D) et (E), et substituant au lieu de x, j, 2,... les expressions trouvées, faire en sorte que ces équations deviennent possibles lorsque /fc = — a' et A = — a".

Soient désignées par B\ B", les constantes qui répondent aux quantités X, y, 2, et par E', E", F', F" celles qui répondent aux quantités [x), ^7)» (^) ^^ (^'}» (y )> (^0' ^^ posons d*abord k= — ol, il est clair que la formule

/ [Lcp(a%X, Y, Zl^-M + (a", X, Y, Z) -h Nxi^"» X» \,Z)\dlid\d^

évanouira par elle-même, suivant ce qui a été démontré dans le numéro précédent; donc l'équation f D) se réduira comme ci-dessus a

V r[L(p(«', X, Y, Z) -h M + (y, X, Y, Z) ^ Nx{«'. X, Y, Z)]rfXrfYrfZ

= E' cos ( / V ca' y H ^=^ — -

X /"[LcpCy, X, Y, Z) H- Mt]/(a', X, Y, Z) -H Nx(a', X, Y, Z)] dXd^dZ,

d'où Ton tire

A = E' cos / ^ c^ -^ ==

s ex

On tirf'n de même, de Téquation 'E.,

B' = F' cos 'i^c^j—E'^T^sin'i^T^,

Après cela, on supposera * = — ar' et Ton trouvera par des procédés semblables

A'-E-'cos^/,??^ ^P^in^^,

iin auni doni

X = j E' ros /\ esc' » -i z^z^sin /^ ca' ; 1 o(a\ \, V, Z

-*-rE'cos'/^c?^, -^ -=:sin'/^c^;l©(a', X. Y, Z}. >• =

x' = 'F cos''/ ^ ca' ; — E' ^ ca' sin ^ / v^^' J 9(«'^ ^' V. Z)

-h'F'^cos /^C3?; — E'^ cousin ^/^cfl?;' 9 (a^ X, Y, Z;, ,r' =

On voit par ces formules que le mouvement de chaque particule sera romposé de deux mouvements analogues chacun au mouvement représenté par les formules du numéro précédent; d'où îl est aisé de conclure que les vibrations ne seront jamais isochrones, à moins que les mouvements composants ne soient synchrones entre eux, ce qui ne pourra arriver que lorsque les quantités a et a" seront commensurables entre elles.

62. En suivant la méthode que nous venons d'expliquer, on pourra

supposer de nouveau, au lieu des équations {p)^ {q), (r),

et ensuite

d^p d^q d'r P'^^rfX» * rfXrfY ' d\dZ

^ d*Q d^r d*p ^^^d^^^dYdZ^dYdX

^'^dv^dzh-^dzdx

„ rf»P rf'Q rf'R ^*^"^rfX' ' dXd\ ' rfXrfZ

^ rf'O «/'R rf'P ''^'^rfY' ' dYdZ ' rfYrfX

„ rf'R rf'P rf'Q

r/Z' rfZrfX ûfZrfY

d'où, par des opérations analogues à celles qui ont été pi*atiquées ridessus, on parviendra aux formules suivantes :

X = \¥/ cos{t ^'cô!^ ) -h -^sin(/^W)l9(a', X, Y, Z)

L sjca! J

-h rE"cos(/ v'^) -+- -ELsinf/v'^jl <p(«^, X, Y, Z). L ylcoiT J

E"cos(/ ^caT) -^-'-^.smityjcar) U(ar, X, Y, Z),

ar' = [Fcos(/v'ël7)-EV^sin(/v/cfi7jJ?(aS X, Y, Z) -f- [F"oos(/ v/ê^) - EV^sin(/ v/^)j ?(a^, X, Y, Z) -4- [F^cosf/ vcfl^) - E-'v'^sinf/^c^)] (p(«*, X, Y, Z),

(|ui donnent les mouvements des particules composés de trois mouvements simples, analogues chacun à celui du n^ 60; d*où il s'ensuit que l'isochronisme n'y aura lieu que lorsque les quantités a', a", a", qui expriment trois valeurs quelconques de — it, seront toutes commensu» râbles entre elles.

En suivant encore ia même méthode, on trouvera pour les valeurs de .r, V, z, x\ y\ z des formules composées de 4. 5, 6,... termes semblables dont chacun répondra à une quelconque des valeurs de ii*; on poun-a donc par ce moyen avoir autant de solutions particulières qu'il y aura de combinaisons à faire, une à une, deux à deux, trois à trois,..., A^'^ valeurs deit, de sorte que, leur nombre étant m, celui de solutions particulières sera 2'"— 1 ; mais, si le nombre des valeurs commensurables est seulement éj^al à /i, il n'y aura que a^-h m — /i — i de ces solutions qui rendent les oscillations isochrones.

63. Remarque. — Si Ton poussait les expressions des valeurs de a;, V jusqu'à ce que le nombre de leurs termes fût égal à celui des valeurs de X-, on aurait alors une solution générale et applicable à tous les t*as possibles; quoique cette proposition ne soit pas un^ suite nécessaire de l'analyse précédente, il esl aisé de la démontrer en rigueur par le moyen des principes jusqu'ici établis.

Pour cela, je suppose.qu'on développe la formule 'D en autant de formules particulières qu'il y a de valeurs de il, et qu'on en tire par la combinaison la valeur de chacune des quantités x, v, 2,..., soit en se servant des règles ordinaires, soit en employant une méthode analogue a celle dont nous avons fait usage dans le Chapitre III des Recherches précédentes XXI\\; il est facile de voir que ces valeurs seront exprimées de la manière suivante :

j: = P' S'cos / yco' -* — =^sin i\cx' , 1 L \^^ J

-j-F' S^'cos /\câ^; -»- -=sin /icô^l ^ L ^^^ J

-f-P* S* los /^ca- ^ -« — sin Z^ca"-; U

L \ca- J

>• z= Q' I S' cos / ^ ca' -I — ^^= sin " / ^ râT 1 1 L \^^ J

Q''rS''

cos / \ ex" , H — =zr sin ■ / ^ ca" )

ET LA PROPAGATION DU SON. M?i

z — K' S' oos • / V <^â^) -4- :^r-r sln (/ ^ cV ) L \ra' I

L sca'^ I H-

Vca""^ I

posant a^'"^ pour la dernière des valeurs de — k.

Les quantités S', S",..., S^*"^ et V\ IJ',..., IJ-'" sont mises pour dénoter les valeurs des expressions

j [(x)L-h(j)M-f-(2jN]rf\^/YrfZ et /^[(.r'jL -^ (r')M -^ (s'jN)],

lorsqu'on fait successivement — k égal à «', </" a""'. L^»s antres ((nantîtes P', F,...., P'" , Q', Q",..., Q'" , R', R",..., R'^ sont différentes pour chaque particule, cVst-à-dire sont des fonctions variables de X, Y, Z.

Or, si Ton regarde ces fonctions comme indéterminées, on ponrra en connaître la valeur par le moyen de la substitution et de la comparaison, ainsi qu'on le pratique dans la méthode connue des indéterminées. Substituons donc au lieu de x, y, z, dans Téquation 'D,, les expressions ci-dessus, et supposant pour abréger que S, V. dénotent en général les

valeurs de S', S" U', ('',..., lorsqu'il y a encore — >t au lieu de y!,

a on aura

fs'cos/vêi^ -h -£^sin;/v"ci' 1 / ÎP* L -h Q' M -k R' N ,^X f/Yf//

-^fs^^Vos/v'"^'"'; ^ ^^ -^^^ 1 / (P"''L^Q''"^M-+-R<'"^N)r/Xf/Yr//

= S cos / V - ^•/'* -^ ! .--sîn^/ V— c/r;,

(M]uation (|ui doit être identicpie en faisant — ^égdl » y, •,..., of^. I. 4«

Soit donc posé en général —i = (x^'^\ le second membre de l'équation deviendra

et le ternie fi''"" du premier membre étant

I S-'"' cos(/ V i^) ■+. -~-L sin(/ \^-^) I (p^''^L+Q^''^M-i-R'-"'N)rfX«/YrfZ,

pour identifier les deux membres, on supposera que

C i P' ''' L + q'"^ m + R^''^ N ) rf X rf y rfZ

soit égal à I , et que toutes les autres formules exprimées généralement par

Apl -h QM + RN ) <f X </ y </Z

soient nulles, — & étant égal à a^''^ dans les valeurs de L, M, N; d'où l'on voit que les valeurs de P, Q, R devront être telles, que la formule générale

/* ( P' '" L + Q^'') M + r'-"^ n) rf X rf y rfZ

soil toujours égale à i , lorsque k= — a'''\ et qu'elle soit toujours égale à zéro, lorsque k a une autre valeur quelconque.

Or, par ce qui a été démontré dans le n*' 60, on trouvera d'abord, pour remplir cette dernière condition, les équations suivantes :

.» ,» rf^ ^ d^ ^ d^ "" " rfX» dXrfY rfXrfZ'

^ " (IV d\d'l d\d\'

(,«;„(„) </'R^-"^ rf'P^'"' ^'Q^^' ' </Z' '^ dZdX'^ d'IdY'

d*où il résultera, comme dans le numéro cité,

r^^^ = Ax(«('*U;y,z).

Soit maintenant la valeur de f{L(f{a^f'\ X, Y, Z)-l-Mv|; («(.«), X, Y, Z) ^-N/W'^^ X, Y, Z)\dXdY(fZ,

en y posant —k = a^^\ exprimée par D^'*^; on aura, pour satisfaire k la première condition ,

et par conséquent