ESSAI D'UNE NOUVELLE MÉTHODE

FORMULES INTEGRALES INDEFINIES.

(Mi scella nea Taurinemia, t. II, *! 760-1 761 .)

Pour peu qu'on soit au fait des principes du Calcul différentiel , on connaît la méthode de déterminer les plus grandes et les moindres ordonnées des courbes; mais il est des questions de maxinds et minimis d'un genre plus élevé et qui, quoique dépendantes de la même méthode, ne s'y appliquent pas si aisément. Ce sont celles où il s'agit de trouver les courbes mêmes, dans lesquelles une expression intégrale donnée soit un maximum ou un minimum par rapport à toutes les autres courbes.

Le premier Problème de ce genre, que les Géomètres aient résolu, est celui de la Brachistochrone, ou ligne de la plus vite descente, que M. Jean Bernoulli proposa vers la fin du siècle passé. On n'y parvint alors que par des voies particulières, et ce ne fut que quelque temps après, et à l'occasion des recherches sur les Isopérimètres, que le grand Géomètre dont nous venons de parler et son illustre frère M. Jacques Bernoulli, donnèrent quelques règles générales pour résoudre plusieurs autres questions de même nature. Mais ces règles n'ayant pas assez d'étendue, le célèbre M. Euler a entrepris de réduire toutes les recherches de ce genre à une méthode générale, dans l'ouvrage intitulé : Methodus inveniendi Uneas curvas maxind, minimise proprieteOe gaudenies : sive solutio

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ou, ee qui en est Téquivalent,

CèZ = o.

Or, soit Z tel que

dZ = nèx -h pddx -h q dd^x -+- r dd*x -h . . .

-h Ndr-+- PddTr-h Qdrf'jr -h Rdrf'jr -+-. . .

-h vdz -h mèdz -h x ^d^^ -h p dd^z -h . . . , il en viendra l'équation

l nèx -h l pddx -h j q 6d^x -h l r 6d^x-h. . .

-h fNdjr-h jVàdx-h JQdd'X'h f^èdy-h...

-h j V èz -h I mèdz -h / x^^*^ -^ j pàd^z -+-... =0;

mais on comprend aisément que

$dx = dèx, 6d^x=:d^dx,

et ainsi des autres; de plus, on trouve, par la méthode des intégrations par parties,

/ pddx = pàx — j dpdx,

I qd^dx = qdàx — dqox -\- j d^qdx,

j rd*dx = rd^àx^drdàx-hd^rdx— j d*rèx,

el ainsi du reste; donc l*équation précédente se changera en celle-ci :

1 {n — dp -h d^q — d^r -h. , .)ix

-h ^(N — rfP-+-rf»Q-rf^R-h...)o.r -^- / V — dxs -^ d^x^ d^p -h. . .)èz

-h{p— dq ■+-d^r—...)dx-h [q — dr-h...)ddx-\-{r —...)d'èx -h...

-h(P~rfQ-hrf>R— ...)ôr-h(Q — rfR-i-...)rf3r-+-(R-...)rf'3.r-h...

-h(cy— dx -hd^p — ...)dz -^{y^^dp '^...)ddz -h{p^...)d^dz -f-...==o; 1. 43

d'où Ton tirera premièrement TéquatioD indéfinie

'i ( n — dp -h d^ q — d* r -^ . , ,) 0 X (B) ) -H(N-rfP-hrf^Q — rf»R-h...)^r

et ensuite Téquation déterminée

!p— dq -hrf=r — ...)«5a:-h(^ — rfr -»-...) rf8x -h ( r — ...)</' oo: -H... H-(P-rfQ-hrf^R-...)or-h Q-rfR-h...)rfoV-h(R-...)rf'<3rH-... -»-(©— ^X -f-rf-p— ...)'î>2 -»- :■/ — rfp -h../ rfoz -+-(/! — ....J'«3z -»-... =o.

dette équation se rapporte au dernier point de l'intégrale | Z; mais il

faut observer que, comme chacun de ses termes comme pnx dépend

d'une intégration partielle de la formule \ pdix, on peut lui ajouter ou

en retrancher une quantité constante. Or, la condition par laquelle cette constante doit se délerminer*est qu'elle fasse évanouir le terme p S ao au

point où commence l'intégrale / pdrixi il faudra donc retrancher de /lix

sa valeur en ce point; d'où résulte la règle suivante. Soit le premier membre de l'équation C;, exprimé généralement par M, et soit la valeur

de M, au point où commence l'intégrale / Z, désignée par 'M, et au

point où cette intégrale tinit, désignée par M', on aura M' — 'M = o pour l'expression complète de Téquation (li.

Maintenant, pour se défaire dans les équations trouvées des ditlerences indéterminées ^x, 5j, 5s, dix, rfo v,..., on examinera d'abord si, par la nature du Problème, il y a entre elles quelque rapport donné, et les ayant réduites au plus petit nombre possible, on fera ensuite le coefficient de chacune de celles qui resteront égales à zéro. Si elles sont absolument indépendantes les unes des autres, l'équation B; nous donnera sur-lechamp les trois suivantes :

n— dp-^ d^q — d^r -h. . . = 0, N — rf P -+. rf ' Q — rf ^ R -4- . . . =r o , V — dus -f- rf^ X ~ ^*P "•"••• = ^'

Exemple. — Soit cherchée la courbe brachistochrone dans le vide. Nommant x Tabscisse verticale, et j et z les deux ordonnées horizontales et perpendiculaires l'une à l'autre, la formule qui exprime le temps sera

laquelle étant comparée à / Z, on a

\jx et difl'érentiant par î, suivant les règles ordinaires des différentiations.

. „ hx Jdx^ -h rfr' -^ dz^ dxèdx