dx '}. dx
multipliant par dx et réduisant, on aura
adx--- {x H — dx\dx -4- (>*-»- -dx\dx=^ -d(x*} -4- -d(x*r^ et intégrant de nouveau,
équation d'un cercle dont le centre est dans Taxe des x: donc on %'oit
que le polygone cherché doit être tel, \\u'\\ puisse être inscrit dans la
demi-circonférence d'un cercle.
Si la hase du polygone était donnée, alors il faudrait que le dernier $cc
fut égal à zéro; or,
rdrddy
dx
il faudrait donc que la valeur totale de / '^, ^^ fût égale à zéro en même temps que celle de
est aussi égale à zéro. Pour cela, soit la première formule multipliée par un coefficient indéterminé X-, et ensuite ajoutée à la seconde, on aura
donc, faisant
, dy I , rdy i dy^dx 2 dx 2 dx
on parviendra comme ci-dessus à l'équation
a X -^ dx — z,
qui se réduit, en multipliant par doL\ i\ l'équation
ndx -/idy-h -d{x^)-h -rf(r'),
dont l'intégrale esl
ax -h />' = h y H — }'^ -\ — x-,
équation d'un cercle en général ; d'où résulte ce théorème, que le plus grand polygone quon puisse former avec des côtes donnés est celui qui peut être inscrit dans un cercle.
M. Oamer a démontré ce théorème synthétiquement dans un Mémoire imprimé parmi c(;ux de l'Académie de Berlin, année 1752.
Si l'on veut que les côtés du polygone ne soient pas donnés chacun en
particulier, mais seulement leur somme, c'est-à-dire le périmètre du polygone, on fera simplement égale à zéro la différence de l'intégrale / yldx^ -h dy^ , ce qui donnera Téquation
- C rj-T-7~i-. rdxddx-hdx»dr J ^ ' J s'd^'-hdr'
laquelle devra avoir lieu en même temps que l'équation du maximum
/ rfjrô.rH — dxàdy -\- [y -¥- -dy\àdx\z=o.
Multipliant donc une de ces équations par un coefficient indéterminé k. e( les ajoutant ensemble, on aura en général
/ dxèy-hl^dx H- -^zz=^=\ddr-^(r -h -dr-h -=zzz^=\ddx\=zo. J L * V^ ^dx^-hdy'J V ' y/dx'-^dy^) J
Soit suppOvSé
1 J kdy I , kdx
-dx -\ -^ = z et y-^'-dr-\ — • = Uy
2 yjdx^ -¥- dy^ ^ ' sldx^-{-dy^
on aura
1 (dxoy -f- zddy -^ uàdx) = o,
équation qui se transforme par la même méthode que ci-dessus en
zdy-h uèx — j [(dx — d'z)dy— d'udx)]=o,
dx — d^z = o eid^u = o;
on aura donc, en intégrant,
X — 'z = rt, savoir x -^ dx — s = « , et
'u =z b, savoir u^b,
c'est-a-dire, en substituant pour z et m leurs valeurs,
1 , kdr I , kdx , X -i — dx — = a, r -< — dy H — = o.
2 ^'dx'-hd}' ' 2 ^ ^dx'-hdy'
Qu*on multiplie la première par dx et la seconde par dy^ et qu'ensuite on les ajoute ensemble, il viendra
(^H — rfxjrfr-4-fjH — dy\dy=^adx -^hdy;
et, en intégrant,
'équation d'un cercle en général. Qu'on reprenne les mêmes équations et qu'on les carre, après avoir transposé les termes x-\- - dœ e\ y-^-dy, on aura
k^dy
— — . , = ( a — j: dx] t -, -r— = 1 6 — >• dy\ ;
r» -4- dy^ \ 1 ] dx^ -^ dy^ \ ' ?. " I
ces équations étant ajoutées ensemble donnent
A'=: (fl — JT— -dx\ -+- (ft —)•-»- ^dy\
=za- -^ b^ — 7.ax — -xby -h x* -r- >' — {a — x)dx — {b— y)dy -h -j dx^ -h y dy-
— a^-hb^^r^^j dx^ — 7 dy\ 4 4
à cause de
X' -hy- — 2flx ~ 2^= r* el {a — x)dx -h (ft — y)dy^= -dx^ H — //r'; donc
^ dx^ -h fi(>'* — 2 Y «' -f- ^' 4- r' — A » ,
ce qui montre que tous les côtés du polygone doivent être égaux entre eux, et que par conséquent le polygone doit être régulier.
A l'égard des termes z^y, u^x il est clair que ces termes disparaîtront d'eux-mêmes, si l'on suppose les premiers et derniers x et y donnés; mais si, la base du polygone étant donnée et étant égale à c, l'ordonnée j" qui y répond ne l'était pas, il faudrait faire u = o et 5 = 0, lorsque j? = c; on aurait donc ft = o, c = a, et la base c deviendrait le diamètre du cercle circonscrit au polygone.
