EXPOSÉE DANS LE MÉMOIRE PRÉCÉDENT

A LA SOLCTION DE

[ MisveUanen Taitrinensia , t . Il , 1 7G1)- 1 7G i . j

M. Euler, dans une Addition à son excellent ouvrage qui a pour tifre : Methodus inveniendi Uneas curvas ntaxirni minimwe proprietate gaudentés : swe solutio Problematis isoperimetrici lalissimo sensu accepti. a démontré ce principe que, dans les trajectoires que des corps décrivent par des forces centrales, l'intégrale de la vitesse, multipliée par l'élément de la courbe, fait toujours un maximum ou un minimum.

Je me propose ici de généraliser ce même principe, et d'en faire voir l'usage pour résoudre avec facilité toutes les questions <le Dynamique.

Principe général. — Soient tant de corps qiîon voudra M, M', M",..., qui agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque, et qui soient de plus, si l'on veut, animés par des /orves centrales proportionnelles à ,des /onctions quelconques des distances; que s, s\ s'\ . . . , dénotent les espaces

parcourus par ces corps dans le temps ty et que w, u\ u" soient leurs

vitesses à lajin de ce temps ; la formule

M Ç uds -4- M' Çu'ds' -h M" Cu^ds" ^ . . .

sera toujours un maximum ou un mininwm.

Problême 1. — Trouer le mouvemeni d'un corps M aiiiré vers tant de

centres fixes qu'on voudra par des forets P. Q. R exprimées par des

fimctions quelconques des distaruxs.

, SoLiTios. — Cooime il D*y a ici qu'un seul corps M, la formule qui

doit être ud maximum ou ud minimum sera simplement M I ii<£r: on

aura donc, suivant la méthode expliquée dans le Mémoire précédent, Téquation

o (M \uds\ =o.

ou. en divisant par M qui est constante.

0 ( I uds] =o.

Or.

G uds =i uods -i^ouds:

donc, changeant Texpression d| j uds] en son équivalente l 9 uds , comme on Ta enseigné Article l. Mémoire précédent . on aura l'équation

I uods ^ ouds =ro.

Soient p.q.r,... les distances du corps M aux centres des forces P, Q. R on aura, comme tous les Géomètres le savent,

— — const — I Vdp — î^dq — Rrfr — ... ;

donc

-•■• aoa=— o| Pdp^Qdq ^hdr^...

=: — I ^Pdp^P'idp^^iidif^Qodq ^oKdr^Kàdr-^-..,]

• »u en •hafi^eaiit 'idp. ^dq. o</r.... en dip. doq^ </dr,..., et intégrant

par parties les termes Vd^p, Qd$q, RrfJr,..., udu= — Vdp — Qdq — R*r — .. .

-f- f{à?dp — rfP^p 4- dQdq — dQdq -h dRdr^ dRdr-h . , .).

Or, par hypothèse,

P = fonct. p, Q = fond, q, R = fond, r, . . . ; on trouvera donc, en différentiant,

dP^çnP ÔQ rfQ aR rfR àp'^ dp^ Sq '^ dq^ dr dr

et par conséquent

àVdp — dVèp = o, èQdq — dQdq = o, aRrfr— rfR (5/r=o,. . . ; donc uàu = —Pèp — Qdq — Hdr—,,. et 6uds=r — Vdtop — Qdtdq — Hdtor—...,

en mettant au lieu de — son égale dt; donc Téquation ci-dessus se changera en celle-ci

( \ ) C{u6ds — Pdtdp — Qdtdq — ^dtdr — . . .) z^o.

Il faut maintenant chercher le rapport que les ditlérences àp, d^, dr, . . . ,

Sds ont entre elles, ce qui se fera différemment selon les ditférentes

sortes de coordonnées qu'on emploiera pour représenter la trajectoire.

Et, premièrement, soient prises trois coordonnées rectangles .r, j, z:

on aura

ds = ^dx^ ■+- dy^ -h dz';

par conséquent,

^, dxddx -^ dyddy -h dzèdz dxddx -h d^ddy-^ dzdSz ~ ds ds ^

en changeant àdx,... en d$Xy.,.; donc

mS %PPLIC%TiO> DE LA METHODE PB£CEDE!ITE

Qu'on hèàir «iisp^^nùtre dan» eette erpression les diilMeiilîelles de Sjt, ^r. iz pr b méthode des ÎDtëgntioos par parties* pratiquée dans ie M*>moiri^ pn^'éd**nl, ôd aura la transformée soÎTante :

<i!s «il ' ds "

Il n*- s';igit plus que d'eiprimer les différences o/», 09, 9r par les

o.r. ^ V. ^ j. Pour eela. on eberebera les Taleors analytiques des lignes/», -y. r rapportées aux c«>ordonnées j. v. -. et on prendra leurs différentielles en mettant o p«>ur </. Soit supposé, en général.

dp^= L djT^^^ / dr — >. rfj.

dq ^r M i/r — m dy — 'j.dz.

dr = y dr — n dy — -^dzi

il f^t rhir «|u'on dur^i aussi

ip = L'ijr — / ô»* — /ô-z.

-5 r = N ox ^ « o r — > -5 •.

D*yn« . SI on fait, pour abréger.

PL - QM - RN = n.

P/— Qm — Rii=®.

«>n Hur;4

Po/> — Qog-.-Ror— ...^tDox — ®o ï — 4'or.

Faisant toutes tes différentes substitutions dans IVquation ;A;. elle deviendra

équation qui doit avoir lieu, quelques valeurs qu'on suppose aux difl'érences 5a:, 8y, Jz; c'est pourquoi Ton fera les trois équations suivantes : «

d—, hnrf/ = o,

as

, udy ,^

a — r — h BJ a/ = o, • as

, udz „. ,

d -n h ^fdl = G.

ds

Ce sont ces équations qui serviront a déterminer la courbe décrite par le corps M et sa vitesse à chaque instant.

ds Si on met dt au lieu de — » qu'on multiplie la première équatioai par

-^-t la seconde par ^^ la troisième par ^i et qu'ensuite on les intèf<rc,

on aura

d'où l'on tire, en chasvsant dt et extrayant la racine carrée,

dx dr

dx dz

équations où les indéterminées seront séparées si n=l'onct..r, zs = fonct. y, W = fonct. s.

Remarque. — Quant aux ternies

udx . udy ^ udz ;

ds ds " ds

on pourra se dispenser d'y avoir égard, en supposant que les deux extrémités de la trajectoire soient données de position, car cette supposition

••îîv ^\,rfii«#iir H* V"5nw»f«î ^ #*?* iHïmrfT» ir- t-^ n^ -•

ir.

»«»•**-, 5^1. *or •mamur (k- '•^ ni«»i»^Mr -sir im* -î^iriaer -t^ir^ < î = /** r — t' • MUiwnauâar -^m* vai^ir d* ▼- eau* '^^uiacûia § , rt

/ — H ff* — c ^ it i - t.

f — TT c — t V rr t — «.

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•Nllfii» '.tir' |*»l* «^^ ii#C** »* P'^^'iM*-!!!*-

j. M f^t^r¥i$u^ y^î go «ii|d^ -- «>>ftVTT*Di b trMsM«ie< ^% p^-^ffi 'V r^f.^'U s. il *^ i^* il^ d^ ir^'UTtr ^iw IVk^inrat ^ de la cmirW

I X </ i — Jx^ — Wj- :

x-d'^id-^ — x^i=ox ^ dridjr ^^ dz9dts

Mtz^

ds rd'^ d^z ^ x#I^Mx ^ /rtf«x -4- jMéiz

Mettant donc cette valeur dans la formule intégrale i uids, et faisant

disparaître les différentielles de $9, J.r, ^z par la voie ordinaire des intégrations par parties, on aura

Après la substitution de cette valeur de I ii$^^. dans l'équation (Aj

de l'Article I, il n'y aura plus qu'à réduire les différences 8p, 8q, Jr,... aux différences fix, $j, 8z. Pour cela soit supposé, en général,

dp - Ldx -h l d(^ -h Idz, dq =^ Mrfj: -f- wrf^ -f- u.dz, dr—^dx-¥ n do -h V dz, on aura de même

ùp . Ldx -\- / 6(^ -\- Idz, 6q := Mdx H- md(^ -h uèz, ôr= N5j:-h 71094- vdz.

Donc, si on t'ait les mêmes suppositions que dans la solution précédente, on aura aussi

P^;; -^Qàq -h Rd/-h. . .--- IIox -h mocp -f ^àz.

et l'équation^ A) deviendra enfin

J^'f/ .ux-do , \ , I ,udx uxdo' ,, .\ .

ux^do ^ udx ^ udz ^

as ^' as ds

Maintenant, si on suppose, comme dans l'Article II, que le premier et le dernier point de la trajectoire sont donnés, il est clair que les $9, $.r, Sz qui y répondent seront nulles d'elles-mêmes, et que par conséquent

les trois premiers termes de cette équation ie seront ausiû. Dtmv. pour s;itîsfaire au reste de réquation, indépeadamment des différeoces indéterminées oç, 5j, 9z, on fera chacun de leurs coefficients égal à léro. et Tim ikurd pour les équations générales du mouvement du corps

fi i — -^ mat ^z o.

as

*u as

.udz ... .

as

Quon mette «lans ces équations dt pour — et qu*«m intègre la première, après l'avoir multipliée par —^- on aura

d'oii Ton tire

Xd'.

dt =z ; :

si a- — yfmx-dz

substituant retle valeur dans la seconde équation et faisant, pour abréger.

on aura

%, ?.a'—2 j 5TX-</-=l,

, Vdx Idz, UxUiz.

itu. m niettiint v pour -•

ce qui donnera par la ditlerentiation. en regardant dz comme constante et multipliant par -^-

.. c/L . . . Udz,^

savoir, a cause de -7,- = — • ,., ^ = ~ 7^—^,9 U U' U*j'

équation constructible dans plusieurs cas particuliers

Enfin, la troii grée, deviendra

dz Enfin, la troisième équation étant multipliée par ^1 et ensuite inté-

2dz IF

-=ft'- Cwdz,

d'où Ton tirera la valeur de dt, laquelle étant comparée à celle qu'on a trouvée plus haut fournira l'équation

dz

Corollaire. — Si le corps était obligé de se mouvoir vsur une surface courbe donnée, alors rapportant cette surface aux trois variables or, ^, z, et la supposant exprimée par l'équation

dz =^ pd(f -h q dx,

on mettrait dans l'équation (C) pS^p-hq^x au lieu de 8z, ensuite on égalerait à zéro les coefficients de Hx et de Jy, et l'on aurait

jux^d^ù . l i^dz «f.A

.udx uxdo^ __ . l judz „<• , A

IIemarqde 1. — Nous avons supposé que les forces P, Q, R,... étaient comme des fonctions quelconques des distances p,q,r,...; cependant il

-i tiij?»r.riL.iûr >«^Jir '. -r -* «^ «rir* ^.iirTr». An

iii "iGT)*'*^ t- ni»-

r^**r^li r»'li- ? ^ i Itr* ^'O-t-l»'!!* ITIc^» ■'♦l«Illr*î- It- J. i. "". ■?• T^fV

f 1 = i.£o — 3 fci — [ f r — - -* — kiJ - J':*! — : - —

4 DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. im

savoir

tiVdQ dPd^ dQim

dq ~ dp dr ~~ dp dr '" dq

c'est-à-dire que Vdp-^Q^dq-^Vidr'^ ... devra être une différentielle complète. Si cette condition a lieu, la valeur de u^u sera simplement

- Pa/> — Q(5^- Ro/ -...;

autrement, il faudra encore tenir compte de l'intégrale

I {d?dp-d9dp-h...]

pour rendre la formule / uds un vrai maximum ou minimum; mais les

équations qu'on trouverait alors ne seraient plus les véritables équations du mouvement du corps.

Remarque II. — Ce Problème est le seul auquel M. Euler ait appliqué son principe. Il l'a aussi résolu pour les deux cas des coordonnées rectangles et des rayons partant d'un centre fixe. Mais pour pouvoir comparer ses solutions avec les nôtres, il faut remarquer:

i*" Que M. Euler n'a considéré que des courbes à simple courbure: 2"* Qu'il n'a cherché le maximum ou le minimum de la formule

uds qu'eu égard à la variabilité de l'ordonnée y dans le premier cas,

et à celle de l'angle que nous avons nommé 9 dans le second, i Voyez l'Addition citée au commencement de ce Mémoire.;

Au reste, il est clair que par notre méthode on pourra encore varier la solution de ce Problème en plusieurs autres manières, selon les différentes sortes de coordonnées qu*on choisira pour représenter la trajectoire cherchée.

Problkme II GÉNÉRAL. — SoU UH svstème quelconquc de plusicurs corps, M, M', M", . . . , qui soient sollicités par tant de^ forces centrales qu'on voudra, savoir: M par les forces P, Q, R, . . . ; W par les forces P', Q', R' :

M" par les forces P'^, Q", R" et qui agissent de plus les uns sur les

autres par des forces quelconques d'attraction mutuelle ; trouver le mouvement de chacun de ces corps.

SoLi Tio\. — Tout se réduit à rendre la formule

M / uds -K M' ^ u' ds' -h M" Ç u" ds" -h . . . un maximum ou un minimum. On fera donc, suivant notre méthode,

o^M ^ uds] -+-o(M' Ç u'ds) -ho[M" i\"ds''] -^-...r:=0. Or, à eause que M est constant 'Article I,, o [\\ j uds\ =2Mo 1 uds^M l (uods -*- u6udt)= i M[u6iids -i- uôu di .

On trouvera de même, en substituant toujoui*s dt pour —j-t — tt? • • • ?

0 (M' / u'ds'\ = j (uods -^li ou'dt).

o[W \ u^ds") = / Wiii^'ods" ^u"ou"dt).

et ainsi de suite: on aura donc Téquation

S i Muods^ M' u 6 ds -^ M" u" 6 ds'' -- . . .

' -^ M u6u -^ M' Itou -^ M'i/" om' -^...)df:^o.

Maintenant, soient />, q, r les distances du corps M aux centres des

forces P, Q, R ei p . q . r /^ • 9 • ^ celles des autres corps

M\ M',... aux centres de leurs forces F, Q', R',..., F', Q", R ',....

Soient, outre cela, / la distance entre le corps M et le corps M', et F la force avec laquelle chaque point de l'un attire chaque point de l'autre: de même/' la distance entre les corps M' et M", et F' leur force d'attraction, et ainsi de suite. Soient encore g la distance entre le corps M' et le corps M", et G leur attraction, et ainsi pour tous les autres corps; on aura, par le principe général de la conservation des forces vives, l'équation

Mw -h M' m'' -h M^'u"' -h . . . = MU' -H M' U'' -h M'^U'" -f- . . .

-?M f{}^dp-hÊQdq'\-Rdr'h..,)

- iM' C(?'dp'-hQ'dg'-hWdr'-h..,)

- -y. W f{ P"rf/?"H- Q'^dy'^- R'^dr". . . )

-2MM' fvdf- 2MM" rFV//'-...-?M'M" fodg-...,

U, U', U",... étant les vitesses primitives des corps M, M', M",.... Or, soient supposés

P — fond. /?, Q = fond. 7, R = fond. /*,...,

P' — fond. p\ Q' — fond. q\ R' = fond, r'

F -- fond./, . . . , G ~ fond, gr, . . . ,

on trouvera, par un calcul analogue a celui qu'on a fait dans le Problème I, l'équation différentielle

Mmow -4- Mu' ou' -h Wu'^iu" -^.. . - - M(Po/?-+-Q6^-hRa/ -4-...)

- M'(P'o^'-^-Q'o7'H-R'(5r'-h...j • *- < - M"( P'o/>"-+- Q"o7"-4- R^or^-h . . . )

- MM'FÔ/- MM'Po/ - . . .

-WWQi^g-,...

Il faut maintenant trouver les valeurs des différences Seb^ $ds\ Hd^,..., et cette recherche dépend, comme on le voit, de la nature des coordonnées qu'on emploie pour représenter les courbes décrites par chaque corps.

Premier cas. — Soient, comme dans l'Article I, a;, v, z trois coordonnées rectangles qui déterminent la position du corps M dans un temps quelconque, et soient de même a:',y\ z\ af,y\ -"...., d'autres coordonnées rectangles et parallèles à celles-là pour la position des autres corps M', M",..., dans le même temps; on aura, «omme dans l'Article cité,

^ , dxd^x -¥■ drdàr -¥■ dzdoz ods -

et de même

ods' =.

djfdojf-^-d}

et ainsi de suite.

Qu'on substitue ces valeurs dans l'équation ( Dj, et qu'on fasse disparaître, comme à l'ordinaire, les différentielles de Jj?, Jj, Ja, ix\ dy',...,

on aura, en négligeant tous les termes hors du signe i ? qui peuvent être supposés nuls par la remarque de l'Article II,

, I \ Md -j— ox -h M rf — j^ or -h M d —=— 6 z I ' L "* as ' as

I %.. j u' dx' ^ , .,, jW'rfy' ^ , •,, j u' dz' , ,

? ds' ds " ds'

\ vif^^^dx'' ^ ^ ^^jU^dr"^ „ ^,^ jU^dz" . ^ I ds" ds" ds"

dx'dox" ■+•</>

'ddr

-+- dz' diz'

ds'

dx'dix'-^-dr

'dàr'

'-hdz'diz'

-(Muou-^M'u'ou' -^M^u'on" '^...]dt^=o,

Il ne s'iigira plus maintenant que de substituer dans cette équation, au lieu de

sa valeur tirée de l'équation (U), et de réduire ensuite les différences

dp, 6q, dr,. . ,, op'^èq',.,., ô/, ô/',..., àg,,..,

aux différences

oxy (5r, àzy dx\ ôr',-..,

par une méthode analogue à celle que Ton a pratiquée dans le Problème précédent; après quoi, si chaque corps est entièrement libre, en sorte que toutes les différences 8x, 3j, $z, 8x\ ôy',..., demeurent indéterminées, on fera chacun de leurs coefficients égal à zéro, et l'on aura trois fois autant d'équations qu'il y a de corps, lesquelles, prises ensemble, suffiront pour déterminer toutes les vitesses et les courbes cherchées; mais si un ou plusieurs de ces corps sont forcés de se mouvoir sur des courbes ou des surfaces données, et qu'ils agissent de plus les uns sur les autres, soit en se poussant, soit en se tirant par des tils ou des verges inflexibles, ou de quelque autre manière que ce soit, alors on cherchera les rapports qui devront nécessairement se trouver entre les différences J.r, Jy, 5 s, 8x\ $y',.... On réduira par là ces différences au plus petit nombre possible, et on fera ensuite chacun de leurs coefficients égal a zéro, ce qui donnera toutes les équations nécessaires pour la solution du Problème.

Corollaire. — Supposons le système entièrement libre, et que les corps agissent les uns sur les autres d'une manière quelconque; supposons outre cela que tous les corps soient sollicités par trois forces P, Q, R dirigées parallèlement aux coordonnées x,y, z et qui soient les mêmes pour chacun d'eux; on mettra dans l'équation {{]) x,y, z k h place de/>, q, r, et l'on aura

Mudu -h M'n'àu' ^ M''«"oii" ^-. . .

= - M ( Pôx H- Qdy -+- Kàz) — M'{?èx' -hQàr' -hHàz')

- MM'Fd/- MM-'F'â/' -^ . . . - M'M-'Gd^- . . . .

Cette valeur de Mmîi/h- MmJm -h... étant substituée dans Inéquation (Ki, soit fait

x' z= X -h \, y' = >• -^- Y, z' = 2 -f- Z, x" = x-^\\ r'^^jH-Y', z" = z-hZ\

ft par conséquent

ox' —àx-ho\, 'îr' ^a^-hoY, Sz' = àZ'^6Z, ^x"=dx-^d\\ dy" = èy^-¥-d\\ èz'' = oz -hdZ\

il est clair que les lignes/,/', g^,..., qui marquent les distances des corps entre eux, dépendront uniquement des lignes X, Y,Z, X',Y',Z',..., (jui déterminent leur position respective, et qu'ainsi les expressions des différences 5/ 5/, 8g,.., ne renfermeront aucunement les différences Sx, ôj, ôs; on remarquera de plus que ces mêmes différences Ja?, 5v, o;; seront absolument indépendantes de toutes les autres différences ôX, ôY',.... Car il est évident que, l'action mutuelle des corps ne dépendant que de leur position respective, savoir des lignes X, Y, Z, X', Y Z\ X",..., il n'y aura que les seules différences $X, JY, îZ, $X\ JY', ^Z',... de ces mêmes lignes qui soient liées entre elles par des rapports donnés par la nature du Problème; d'où il suit que les termes affectés des différences Sx, 5v, Sz dans l'équation Ej devront être chacun en particulier égal à zéro; ce qui donnera les trois équations générales

- ,udx -„ . u'dx'

Md --^ h Md —j-r-

ds ds'

m.// I ft"dx"

. .)Prf/i=rO,

Md —j^ -h \V d —f-rds ds'

. .-h(M-KM' + >r-*-..

.)Qdi=o,

Md \-M'd — rr-

ds ds

..-hiM + M'-^ir-f-..

,.)Rdt = o.

Or.

t/s ds' ds"

• = ,..=dt.

donc, ces équations deviendront celles-ci : Mdx -f- ^'dx' -f- W'dx" '^.. .

dt

[}A-^W -^W -\-..,)Vdt^o,

d — ^ ^^—j '-^ h ( M -h M' H- M" H- . . . )Qdt — o,

d ^ h ( M -f- M' -+- M" -+- . . . ) K rf/ ~ o ;

d'où l'on voit que si l'on prend à chaque instant dans le système un point tel que sa position soit déterminée par trois coordonnées, l'une parallèle à a: et égale a

Mx-\-Wx' -\-Wx" -^,..

l'autre parallèle àj et égale k

Mr -^ M>^ -4- W'x" -4- . . .

' M-f-M'-hM'^'-t-"... '

et la troisième parallèle à z et égale à

Mz -^ M^ z' -\-Wz" -f- . ^ " M -+- M' ^ M" -4-". .T '

ce point se mouvra comme ferait un corps sollicité simplement par les trois forces P, Q, R. Or il est évident que ce point ne sera autre chose que le centre de gravité du système, savoir, de tous les corps .M, .M',..., qui le composent.

Second cas, — Soit pris, comme dans l'Article IV, au lieu des deux coordonnées rectangles x et r, un rayon vecteur x avec un angle 9, et soient de même substitués aux autres coordonnées x\y\ x\y'\,,,, les

rayons vecteurs a?', x" partant du même point fixe que le rayon x,

avec les angles correspondants y', 9",..., pris dans le même plan de l'angle y; on trouvera, comme dans l'Article cité,

. j x*d(i>ddo -h xdo^àx 4- dxdix -^ dzddz

àas :=: ■ i ,

as

IM \l»PLii: vTînM' DE LA VlËTHnOE PRRIKUUITM

•r .tu» \rs ,*iifrps. On -iilisritiieni -ks vaJtMir» ti;àUft TAquatioa D iIp

mIp •tpviKnilri

a u is fis

- M' / :-i - M' / — - — — — ijT — W'rf — i — Tr

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- \I/IO/l -M''l 3/1 -«"«'-iii ^... «//]=.

si^rip I • [)arrf .jiip i-s îerme> levuMuietii r^vitiemineiH nuls Jaus la

Hiippoffitioii .jiip le premier *^\ ie ilernier ptiint «le chaque U'ajeetiûr»* -luent •Iniiues. Or. inerte t^f(ua(liin '^Tailt ulalti^ue ;i IV4|uaduD E de rXi-Tirle vni. rie ilemauileri plus .jue de> 'iperitioiis semblables pimr rrmiwr le moiiveineiii «le i*iia(|iie .••»rp>. <>n -mi verni «les exemples «ians les PTMhièmes -.invtHiis.

XU.

',tïHi)Lr.AiRK. — Si ie svsteme est .Mitièretneiit libre «m qu'il SiHt siuiplemenf iissiijerti ^ se mouvoir .niloiir li'iin ptiiut tixe. et que Uiutes les t'on-es solliritatrires des «*orp> ••«»uriiareni .\ re point, prenant ce point pMiir le «'entre des rayons veeteiirs r. r . r et fais;int

.1 '*>ii rïteile de voir que 'iz >erd absidumeiit imiepeudante «les autres

diflerences ôO, $0\..., ^œ, 8x\ iœ'\..., quelle que soit raetion réciproque des corps les uns sur les autres; il est de plus évident que toutes les différences ip, ôy, 3/,..., qui entrent dans la valeur de Mttda-h M'm'ôm',..., seront aussi indépendantes de la différence d(p; d'où il suit que tous les termes de l'équation (F) qui se trouveront affectés de la différence 8<p après les substitutions de $(p -f- J4>, 89 -*- J*',..., à la place de 8(p\ Ô9",..., devront être égaux a zéro séparément du reste de l'équation; on aura donc en général, après avoir effacé le Î9, l'équation

„ . ux-do -,, , u' x'^do' ^.,, . u" x'"^d^" \\d - ^-"-hM'rf —fT-- -^^i d .„^ ^... ■ <), ds ds' ds,"

dont l'intégrale est

Wiix^do M'tt'^'^dœ' Wu"x''Ul^''

it II' iC* ou, en mettant dt pour ^^ -r-,-» -y-r-»" cl en nommant H la constante,

yiix^d^ -h Wx'-" do' -h M^x'^do" -4- . . . = H £//,

et intégrant de nouveau, il vient

M r^v/9 -+- M' r^"rf9' H- \r ^ ^'"^9" -+-. . . ^ H/.

Il est visible que l'intégrale

ï x^dç^

exprime l'aire que la projection du corps M décrit autour du centre des forces, et que les autres intégrales

Ja:'»rf(p', j"x-»rfcp',...,

expriment de même les aires décrites par les projections des autres corps M\ M'',..., autour du même centre; donc la somme de chacune de

:^k 4PPLli:\TI0N DE LA MÉTHODE PRÉCÉDENTE

reh airi^s. inultipii(*e pr la niasse du corps qui la décrit, est toajoorf |>ru|M)rtioiiiielle au temps.

Le lecteur qui sera curieux de voir une démonstration de ce the«»ïTUïi' tirce des principes de Mécani(|ue, la trouvera dans un Mémoire df M. le chevalier dWrcy, imprimé parmi ceux de TAcadémie royale d» S<i<>ines de Paris, année 17^17: il y trouvera aussi Tusage de ce menu* tlieorènie pour résoudre plusieurs (juestions de Dynamique.

Au reste, nous remarquerons (jue Téqnation ''Gj renferme le principe qu4' .MM. Daniel Bernoulli et Euler ont appelé la conservéUion dumomaii du rrunisrement circulatoire, et qui consiste en ce que la somme des

produits de chaque corps M par sa vitesse circulrftoire — -j-^ et par sa

distance au r(»ntre de x est constante pendant le mouvement du système. Voyez les Mémoires de l Académie royale des Sciences de Berlin, année 17/1."), et les Opuscules de M. Kuler imprimés à Berlin en 1746-

La même équation G rent'erme aussi le principe de M. le chevalier d'Arey, (jue la sonnne des produits de cha(|ue corps M par sa vitesse «, et

par la perpendiculaire -f- menée du centre sur la direction du corps.

t'ait toujours une quantité constante. Voyez les Mémoires de l'Académie de l^nris, années 1740» i7>2.

xm.

RuMXHoi K. — Il est aise <le trouvt»r, par la méthode que j'ai donnée dans la Remarque de l'Article VI, (|ue ré(|uation -Ui sera exacte en ;çeneral toutes les lois que la formule

M (!>///> -t- 0^/7 - Hr// - . . - \V{V'tip ^-i)'dq' ^ R'rfr' -^-. ..)-.. ..

qui exprime la \alenr de

M n du -Mu du' - M u" du" - . . . ,

>era nue dilferentielle rom|dëte. Dans tous les autres cas, cette équation ne pourra plus servir à trouver les conditions de la maximité ou de la

f:-^c -^ ?lr îlIWi,

T - IL J • r-'Z iiJ^ ••'■r' rîiîi TZL t^ —

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k DIFFÉRENTS PROBLÈMES DE DYNAMIQUE. 387

valent d8; celle opération donnera les transformées suivantes :

/c/xd6(rcosQ) dxà(rcosQ) CjI^^^X^i dr^= dt ^'-Jd[-^)^irooscf)

= -T- (cos(^dr— rsin(^d(^)— j </( -i-j (coscpôr— r 5109^9) = — 1 d \-jj) (cosç^r— rsinodcp)

f en rejetant les termes qui sont hors du signe d'intégration et qui s'évanouissent toujours dans l'hypothèse de l'Article II), et de même

rdrdè{r sinc^) Cj(dr\,, . . .,