ARTICLE IV

Sur la manière de trouver les racines imaginaires d'une équation.

40. Nous avons vu, dans l'Art. II, que chaque couple de racines

imaginaires correspondantes a -+- p ^— i, a — p \/— i donne nécessairement dans l'équation des différences une racine réelle négative — 4P 2 ; d'où il s'ensuit qu'en cherchant les racines réelles négatives de

cette équation on trouvera nécessairement les valeurs de —4P 2 » d'où l'on aura celles de p à l'aide desquelles on pourra ensuite trouver les valeurs correspondantes de a, comme nous lavons enseigné dans le n° 17; de sorte qu'on aura, par ce moyen., l'expression de chaque racine imaginaire de l'équation proposée; ce qui est souvent nécessaire, surtout dans le Calcul intégral. Voici seulement une observation qui peut servir à répandre un plus grand jour sur cette théorie, et à dissiper en même temps les doutes qu'on pourrait se former sur' son exactitude et sa généralité.

41 . Lorsque les parties réelles a , y, ... des racines imaginaires

sont inégales, tant entre elles qu'avec les racines réelles a, b 9 c, . . . , il est évident, par la Table de l'Art. II, que l'équation des différences n'aura absolument d'autres racines réelles négatives que celles-ci — 4P 2 » — 4& 2 > ...» de sorte que le nombre de ces racines sera le même que celui des couples de racines imaginaires dans l'équation proposée.

Mais s'il arrive que, parmi les quantités a, y, . .., il s'en trouve d'égales entre elles ou d'égales aux quantités a, b,c, ..., alors l'équation des différences aura nécessairement plus de racines négatives que la proposée n'aura de couples de racines imaginaires.

En effet, soit a = * % les deux racines imaginaires

deviendront — p a et — p 2 , et par conséquent réelles négatives.

De sorte que, si l'équation proposée ne contient, par exemple, que les deux imaginaires

a + (3 v^— i et a — (3 ^— ' ,

l'équation des différences contiendra, dans le cas de a = a, outre la

racine réelle négative —4P 2 » encore ces deux-ci — p 2 , — p 2 , égales entre elles.

D'où l'on voit que, lorsque l'équation des différences a trois racines réelles négatives, dont deux sont égales entre elles, alors la proposée peut avoir ou trois couples de racines imaginaires, ou un seulement.

Si la proposée contient quatre racines imaginaires

a + Pv^» a — p V e - "»» y + dv^, y — a*/ 17 ^

alors l'équation des différences contiendra d'abord les deux racines réelles négatives —4P 2 » — 4^ 2 î ensuite, si a = a, elle aura encore ces deux-ci — p 2 , — p 2 ; si y = b 9 elle aura de même ces deux autres-ci — S 2 , — S 2 ; enfin, si l'on avait a = y, alors les quatre racines imaginaires

[«-y + tP-ô)*/—] 2 , [oc-y-(p-$) s —i]\ [a-y+tP + a^IZl] 2 , [«-y-tf + i^—ty

deviendraient

c'est-à-dire réelles négatives, ou égales deux à deux.