De là il est facile de conclure

i° Que, lorsque toutes les racines réelles négatives de l'équation des différences sont inégales entre elles , alors la proposée aura nécessairement autant de couples de racines imaginaires qu'il y aura de ces racines.

Et, dans ce cas, nommant — - w une quelconque de ces racines, on

aura d'abord (3 = — : cette valeur étant ensuite substituée dans les

deux équations (H) du n° 17, on cherchera leur plus grand commun diviseur, en poussant la division jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où a ne se trouve plus qu'à la première dimension ; et, faisant ce reste égal à zéro , on aura la valeur de a correspondante à celle de p ;

par ce moyen , chaque racine négative — w donnera deux racines imaginaires

a -+- (3 ^~ï et a — (3 ^-^ •

2° Que si, parmi les racines réelles négatives de l'équation des différences, il y en a d'égales entre elles, alors chaque racine inégale, s'il y en a, donnera toujours, comme dans le cas précédent, une couple de racines imaginaires; mais chaque couple de racines égales pourra donner aussi deux couples de racines imaginaires, ou n'en donner aucune; ainsi deux racines égales donneront ou quatre racines imaginaires ou aucune; trois racines égales donneront ou six ou deux racines; quatre racines égales donneront ou huit ou quatre racines imaginaires, et ainsi de suite.

4à. Or soient, par exemple, — w et — w deux racines égales négatives de l'équation des différences; on fera p = — comme ci-dessus,

et, substituant cette valeur de p dans les équations (H) du numéro cité , on cherchera leur commun diviseur en ne poussant la division que jusqu'à ce que l'on parvienne à un reste où a ne se trouve qu'à la seconde dimension, à cause que la valeur de p est douhle, comme nous l'avons déjà remarqué dans l'endroit cité.

Ainsi, faisant ce reste égal à zéro, on aura pour la détermination de x une équation du second degré, laquelle aura, par conséquent , ou deux racines réelles ou deux imaginaires.

Dans le premier cas, nommant ces deux racines a' et a", on aura les quatre racines imaginaires

a'-+-(3 v /~, a'-pv/^T, a'-t-Pv^, a"-(3 v Cr îî

dans le second cas, les valeurs de a étant imaginaires contre l'hypothèse , ce sera une marque que les deux racines égales — w, — w ne donneront point de racines imaginaires de la proposée.

44. S'il y avait dans l'équation des différences trois racines égales et

négatives — w, — w, —w, alors, faisant {J = — > on poussera seule-

ment la division des équations jusqu'à ce que Ton parvienne à un reste où a se trouve à la troisième dimension; de sorte que, ce reste étant fait égal à zéro, on aura une équation du troisième degré en a, d'où l'on tirera ou trois valeurs réelles de a, ou une réelle et deux imaginaires; dans le premier cas, on aura six racines imaginaires; dans le second , on n'en aura que deux , les valeurs imaginaires de a devant toujours être rejetées comme contraires à l'hypothèse , et ainsi de suite.