ARTICLE PREMIER

Sur les fractions continues périodiques.

45. Nous avons déjà remarqué dans le n° 18 que, lorsque la racine cherchée est égale à un nombre commensurable, la fraction continue doit nécessairement se terminer, de sorte que Ton pourra avoir l'expression exacte de la racine; mais il y a encore un autre cas où l'on peut aussi avoir l'expression exacte de la racine, quoique la fraction continue qui la représente aille a l'infini. Ce cas a lieu lorsque la fraction continue est périodique , c'est-à-dire telle que les mêmes dénominateurs reviennent toujours dans le même ordre à l'infini; par exemple, si l'on avait la fraction

1k DE LA RÉSOLUTION

il est clair qu'en nommant x la valeur de cette fraction , on aurait

ce qui donne cette équation

qx 2 —pqx — p — o,

par laquelle on pourra déterminera; il en serait de même si la période était d'un plus grand nombre de termes, et l'on trouverait toujours pour la détermination de aune équation du second degré. Il peut aussi arriver que la fraction continue soit irrégulière dans ses premiers termes, et qu'elle ne commence à devenir périodique qu'après un certain nombre de termes: dans ces cas, on pourra trouver de la même manière la valeur de la fraction , et elle dépendra pareillement toujours d'une équation du second degré ; car soit, par exemple, la fraction

Nommons toute la fraction x, et y la partie qui est périodique, savoir

on aura

ir — n -4-

d'où l'on tire

mais on a

ce qui donne

*/ 2 — rsjr ~r=o;

donc, substituant pour y sa valeur en #, on aura

#(*-/>)»- rs[x -p) [i -q[x-.p)]- r [i- q [x -/>)]* = o,

équation qui, étant développée et ordonnée par rapport à x % montera au second degré.

46. On voit, par ce que nous venons de dire, que le cas dont il s'agit doit avoir lieu toutes les fois que, dans la suite des équations transformées (a), (b), (c), (rf), ... du n° 18, il s'en trouvera deux qui auront les mêmes racines; car, si la racine z, par exemple, de l'équation (c) était la même que la racine x de l'équation (a), on aurait

ce qui est le cas que nous avons examiné ci-dessus, et ainsi des autres. Donc , quand on voit que dans une fraction continue certains nombres reviennent dans le même ordre, alors, pour s'assurer si la fraction doit être réellement périodique à l'infini, il n'y aura qu'à examiner si les racines des deux équations, qui ont la même valeur entière approchée, sont parfaitement égales, c'est-à-dire si ces deux équations ont une racine commune ; ce qu'on reconnaîtra aisément en cherchant leur plus grand commun diviseur, lequel doit nécessairement renfermer toutes les racines communes aux deux équations, s'il y en a; or, comme nous avons vu que toute fraction continue périodique se réduit à la racine d'une équation du second degré, il s'ensuit que le plus grand diviseur commun dont nous parlons sera nécessairement du second degré.