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47. Supposons donc qu'on ait reconnu que, parmi les différentes équations transformées, il s'en trouve deux qui aient la même racine; alors la fraction continue sera nécessairement périodique à l'infini , de sorte qu'on pourra la continuer aussi loin qu'on voudra, en répétant seulement les mêmes nombres; mais voyons comment on pourra dans ce cas continuer aussi la suite des fractions convergentes du n° 23, sans être obligé de les calculer toutes l'une après l'autre par les formules données.

Pour cet effet, nous supposerons que l'on ait en général

X = Ai -+- — j Xi =■ Aa 4- — ? X2 = A3 H » • • • ?

Xi Xi Xz

en sorte que, x étant la racine cherchée, x i9 x 2 , x % , . .. soient celles des équations transformées que nous avons désignées ailleurs par y, z f u, ..., et l'on aura

Aa-f-..

Donc, faisant, comme dans le numéro cité,

( t — A| , Lf = 1,

. . , /2 = Xa/|4-/, La = XaL|,

«3 r= A3 / 2 H- / 1 , L3 =■ A3 La -4" L 1 ,

l\ = Ai 13 ■+• 12 » L| = A|La -4- La ,

on aura ces fractions convergentes vers x

i 9 ZL f A, ^1, 'i, L L| La L3 L*

Maintenant , l'équation

X = "ki H

donnera

XX x —X\\\ -+- l = Xi l\ ■+■ 1;

mettons, au lieu de x { dans le second membre de cette équation, sa

valeur X> h > et, multipliant parvr 2 , on aura

xx k x<l = (X2/1 -+- l)x 2 4-/i = Aj-r-i-t- /§;

on trouvera de même, en substituant dans le second membre de cette équation X 3 -h a la place de x> ,

XX\ X2&3 = 1% Xi -+- 1 2 ,

et ainsi de suite.

Pareillement l'équation

donnera

jp i j?2 rzz Aj X2 -+- i ^^ L2 x% -h L i ;

ensuite, substituant dans le second membre X 3 H a la place de x. 2 ,

et multipliant par x. A , on aura

et ainsi de suite.

D'où il s'ensuit qu'on aura en général , quelle que soit la fraction continue, soit périodique ou non,

IX X 1 X2 X 3 . . . Xg — /p Xp -+- f p— | , X I X% X^ . . . Xn =^ Map Xp "+- •up— I •