VIII. i

on trouvera de même

L|i = i , Fji = s »

Ensuite on calculera les valeurs de H, H,, . . ., jusqu'à H v = H,, par les formules (C) du n° 48, et Ton trouvera

II = o, H, = i,

H2 = A3 Ht = 10,

H 4 =%sH 3 + H s = 3ti 9

d'où

et de là

H v = Si f Hy i = u f

Maintenant :

i° Soit cy = o, on aura

H CT = et Hci-i = 1,

car il est facile de voir, par la nature des formules (C), que le terme

qui précéderait H serait nécessairement = 1 ; en effet, on doit avoir

par l'analogie

H,=V+iH + n-,;

on prouverait de même que le terme qui précéderait h serait = o. Donc

Go = E|i4-i = 8, 2 Soit gj = 1 ; on aura

Ho = i f Hni-i = o; donc

Gci = £{ju-i — £2 — 5.

3° Soit ct = 2; donc

H CT = io, Hcj-i = i, G CT = ioej*+2 -+- 1> Epn-3 = ioe 3 -+- Et = 58.

4° Soit u = 3; donc

Hct = ii> Hbj-i^io, ei Go = net-h ioEj = 63,

Donc, substituant ces valeurs dans les expressions de / p et L p du n° 60, et multipliant ensemble, pour plus de simplicité, les deux facteurs

/Ji dt — 9 Gu db H CT v ^ »

comme aussi les deux

ce qui donne ces facteurs simples

/,G CT +- / !^Ll±(/,H +-^-)vB l

on aura les formules suivantes

(n -h 2 y/33) (^3 -h 4 y/33 ) / '~ (ii — a y/33) (*3 — 4 y/M)"

__ (121 + ai v/33) (i3 -4- 4 v/33)"-- ( 1*1 — 21 v/33) (a3 — 4 v/33)"

la/i+J 1 ^ = » ?

1 (fy + ■* \/33) (^3 h- 4 v/33)"- (6q - 12 v/33) (23 - 4 v/33) 11

au moyen desquelles on pourra trouver la valeur de chacune des fractions j^-y f -> —> ••• convergentes vers la racine de -5-

Ainsi, faisant d'abord n = o, on aura les quatre premières fractions; faisant ensuite n = 1, on aura les quatre suivantes, et ainsi de suite; et ces fractions seront

1 9. ?.i 9.1 67 qo 967 1057

1 1 ii 1*2 35 47 5°' J ° 32

Si Ton voulait avoir, par exemple, le cinquantième terme de cette série, c'est-à-dire la fraction —i il n'y aurait qu'à diviser 5o par 4»

ce qui donne 12 de quotient et 2 de reste, et l'on ferait fi = 12; de

sorte qu'en développant la puissance douzième de 23 + 4V33, et faisant, pour abréger,

M = (!i3)«*-»-66.33(4)*(!i3)«« + 495(33)»(4)*(a3)« + 9a4(33)'(4)«(îi3)« + 4 9 5(33)» (4)» (9.3)» -h 66(33) 5 (4)'° (^3)2+ (33)« (4)^,

on aura

donc, substituant cette valeur dans les expressions de / 4/f+ . 2 et L 4/l ^ 2 , on aura, pour la fraction cherchée,