VIII
gy-h y /B e~-M-4-^B
et, comme
B = £y H- Ey Ey+| = fy +i -+■ Ey+| Ey+2 = • • • »
on aura
*-y-h yB— e y Ey+* vB — e
et ainsi des autres ; donc aussi
VB — e T v B — e r-*-«
Or, comme s Y , e Y <,, ... sont plus petits que y'B, il est clair que, quel que soit le signe de ces nombres e Y , e Y4 ,, ..., les dénominateurs ^B — e Y , \/B — e Y+ M ... seront nécessairement de même signe que y^B; donc il faudra que les numérateurs E Y , E Y+ .,, ... soient tous aussi du même signe que y^B.
Maintenant supposons, pour plus de simplicité, \/B positif, en sorte que E T , E T ^ f , ... doivent être aussi tous positifs; je dis que e T , i T<M , e Y < 2 , ... le seront aussi. Car soit, s'il est possible, e Y = — n (n étant un nombre positif); comme E Y <\/B (hypothèse), on aura, à plus
forte raison, Ey < y/B h- m; donc -=- Y — = -=-*■ — sera < i, au lieu
que cette quantité doit être > i ; donc e Y doit être positif. Soit ensuite, s'il est possible, e Y>1 = — y), ; comme on a, par les formules du n° 52,
e Y4 . 1 = X Y ^, E Y+ ., — ty, on aura ^ Y+ , E Y4H = e Y — ti, ; donc, à cause que e Y
et t) i sont des nombres positifs moindres que y/B, et que * YM est aussi un nombre entier positif, il est clair que E Y4H devra être moindre
que >JB; et, dans ce cas, on prouvera, comme ci-devant, que e Y ^ 1 devra être positif, et ainsi de suite.
Si y B était pris négativement, on prouverait de la même manière que e Y , e Y ^,, ... devraient être négatifs; et même, sans faire un nouveau calcul, il n'y aura qu'à remarquer que les formules du numéro
cité demeurent les mêmes en y changeant les signes de toutes les quantités E, E |t E 2 , . . ., t, e |f e 2 , ... et du radical y B ; de sorte qu'on pourra toujours regarder ce radical comme positif, en prenant les quantités E, E,, E 2 , ... 9 e, e,, e 2 , ... avec des signes contraires.
57. Cela posé, je dis que, si deux termes correspondants quelconques des suites E Y , E YM , E Y< 2 , . .., c Y , i TgHf e Y ^ 2 , ... sont donnés, tous les précédents dans les mêmes suites seront nécessairement donnés aussi.
Supposons, par exemple, que E Y ^ S et e Y4 , soient donnés (on verra aisément que la démonstration est générale, quels que soient les termes donnés), et voyons quels doivent être les termes qui précèdent ceux-ci, en vertu des formules du n° 52 et des conditions du numéro précédent. On aura d'abord
£f-»-3 == Ay+3 Ey+3 — Êy+2 î
donc
£y+2 = ^Y-*-3 Ey+3 — Cy+3,
mais on doit avoir e Y4 . 2 < y B; donc il faudra que Ton ait
Ay+3 <>. p "
JC-/-4-3
On aura de même
d'où, à cause de e yM < VB, on tirera
mais il faut, par la nature de la fraction continue, que \^ 2 soit un nombre entier positif; donc il faudra qu'on ait
6 >H .2-+-v / ^>E Y 4.2; or on a aussi
Ev+2 E r +3 = B — ej+ a = (^B -+- £y + 2 ) ( V ' B — ey-HS ) ;
donc __
\/B — e r+2 <Ey+ 3 ,
savoir, en mettant pour s Y4 2 sa valeur ci-dessus,
^ B — Xy n3 Ey+3 -h E;+3 <C Ey+3,
d'où
Ay+3 ^> r; I .
Donc, puisque le nombre * Y ^ 3 doit être entier, il est clair qu'il ne pourra être égal qu'au nombre entier qui sera immédiatement plus
petit que ^^ — — \ ainsi ^ 3 sera donné, et de là £ Y < 2 le sera aussi, et comme
B — £*+2 ii*y+-3
il est clair que E Y < 2 sera aussi donné. Maintenant on aura
6y = Ay+| Ey^l £y+| ,
et par conséquent, à cause de e Y < \>B,
. ^ gy-4-l -*■' y/B
iî-y-f-i
Donc, pour que * Y+ , soit entier positif tel qu'il doit être, il faudra que
e r M 4- y/B>Ey +l ;
par conséquent, à cause de
Ey M Ey^2 = B — 6y+| ,
il faudra que
ou bien, en mettant pour e Y+ ., sa valeur ci-dessus,
y' B — /y+2 Ey4-2 4- £y-»-2 <C Ey^-2 j
d'où Ton tire
Ay + 2 ^> p I •
"fcy-f-2
De sorte que le nombre * Yf 2 ne pourra être que le nombre entier qui
sera immédiatement plus petit que la quantité donnée gT4 "* -, donc
ce nombre sera donné, et par là les nombres t yirt et E Y+ ., le seront aussi. Enfin, puisque E Y est (hypothèse) < y y B, on aura à plus forte raison
6 r +/B>Ev;
et de là» à cause de E Y E Y+ ., = B — e Y , on aura
V^B — 6y <Ey-M,
ou bien, en substituant pour e T sa valeur trouvée ci-dessus,
y B ày+ 1 Ey+| -f- 6y-M <C Ey+ 1 ,
ce qui donne
Donc le nombre * Y <, ne pourra être que le nombre entier qui est immédiatement moindre que la quantité donnée — — — » et par conséquent
ce nombre sera entièrement donné, et par conséquent les nombres e Y et E Y le seront aussi.
Or nous avons vu (n° 53) qu'en continuant les séries E Y , E yM , ..., «y» «y m» •••» il arrivera nécessairement que deux termes correspondants, comme E Y+ 8,c Yt $, reparaîtront après un certain nombre d'autres termes, en sorte que Ton aura, par exemple,
«y+v-no
8 — Ey+4, £y+-v+-3 — ÊY4-55
donc, par ce que nous venons de démontrer, on aura aussi en remontant
Ey+v *Z— i = Ev+5- 1 f 6y +-v+ *,— i = -y+5— 1 1
Ey+-V+£— 2 = Ey^-5—2, 6y+v+5— 2 = £y4-£2f
ky+v — Jty, Êy+v — €y.
58. De là je conclus en général que, lorsque dans la série des nombres E, E,, E 2 , ... on en trouvera deux consécutifs de même
signe, celui des deux qui sera moindre que VB sera déjà nécessairement périodique.
Ainsi, si dans l'équation proposée
Ejx 2 — *e.r — E = o,
les coefficients E et E, étaient de même signe, alors la série serait périodique dès le premier ou le second terme.
Si Ton a i = o, en sorte que x = i/=- * alors on aura B = EE, ;
d'où Ton voit que, des deux nombres E, E,, le plus petit sera moindre que y B, et le plus grand sera nécessairement plus grand que y B;
donc, dans ce cas, si le nombre =r- dont il s'agit d'extraire la racine
carrée est plus petit que l'unité, la série sera périodique dès le premier terme E; et s'il est plus grand que l'unité, la période ne pourra pas commencer plus bas qu'au second terme.
59. On avait remarqué depuis longtemps que toute fraction continue périodique pouvait toujours se ramener à une équation du second degré, mais personne, que je sache, n'avait encore démontré l'inverse de cette proposition, savoir que toute racine d'une équation du second degré se réduit toujours nécessairement en une fraction continue périodique. Il est vrai que M. Euler, dans un excellent Mémoire imprimé au tome XI des Nouveaux Commentaires de Pétersbourg, a observé que la racine carrée d'un nombre entier se réduisait toujours en une fraction continue périodique ; mais ce théorème, qui n'est qu'un cas particulier du nôtre, n'a pas été démontré par M. Euler, et ne peut l'être, ce me semble, que par le moyen des principes que nous avons établis
plus haut.
60. Nous avons donné plus haut des formules générales pour trouver aisément tous les termes des fractions convergentes vers la racine d'une équation donnée, lorsqu'on a reconnu que la fraction continue qui exprime cette racine est périodique.
Or, dans le cas où l'équation est du second degré, et où Ton se sert de la méthode du n° 52, on pourra, si l'on veut, simplifier beaucoup les calculs des n 08 48 et suivants pour trouver les termes / p et L p de chacune des fractions convergentes vers x.
En effet, ayant
Xy. — — = ei arpu-cx — — « '
OÙ
£\Lf ÊJX+-CJ» Ejn-I Cl EpL4-C7+l
sont connus (gj étant < v), il n'y aura qu'à substituer ces valeurs dans les deux équations du n° 48, et faisant, pour abréger,
-I- Hv— i — Kv,
on aura
♦-ci -f- «p-i Ejn-BT-M 4- /p y^B,
(f»+ ^^) (G +H oS /B) ^K v -h|^y= Lpt^ + Lp, ^«,+i -+- L p y/B, d'où , à cause de l'ambiguïté du signe du radical V B, on tire sur-le-champ
(/»+ feg) (0.+ H. ^1) (». + %g)'- ( A - fe ?) (G-H^B) (■.-%£)'
( Ff + «g!) (fc + Ho ,B, ( K , + |£)\. (,, fc£) («.„.,« (k,- ££)'
p étant, comme plus haut, égal à ;x H- nv h- u.
61 . On peut aussi remarquer que la valeur de L p peut se déterminer par le moyen de celles de / p et / p , , sans avoir besoin d'un nouveau calcul. En effet, ayant
et de même
JTp — — = »
vB-e,
on aura, par l'équation (G) du n° 51,
E /pE ? + /p-,(/B — c P ) \/B — e""LpE P 4-Lp-i(^B — e p )* savoir
E [LpEp -+- L p , ( v B — e ? )] = /pE P ( v /B — e) H- /p, [B -h « P — (e p -+- e) y/b],
de sorte qu'en comparant la partie rationnelle avec la rationnelle, et l'irrationnelle avec l'irrationnelle, on aura
i 'pE? — /p i(ep-t-g)
Lp Lp — Lp — | £p ~ —
d'où, à cause de B — c p = EpE p4 ,, on aura
Lp E -
Or, p étant égal à p. + nv + cy, on aura
de sorte que c p et E pvl seront connus, quel que soit le quantième p.
62. Supposons, pour donner un exemple de l'application des for-
mules précédentes, qu'on demande la racine carrée de -~- par une frac-
/ii
tion continue.
Faisant x=k/ —^ on aura l'équation
donc (n° 52)
E = ii, Ei = 3, 6 = 0;
ainsi l'on fera (n° 53) le calcul suivant, en prenant B = 33,
E = ii y e =0,
El = = 3, Ai < - — , = i, £| = i.3 — o = 3,
E a =-^p- = 8, 1 2< ^±1= ., fl = i.8-3 = 5, , 33—^5 . i/^3 ■+■ 5 * *
Ej = û =l » *» < = IO, 63 = 10.1—5 = 5,
Je m'arrête ici parce que je vois que E 5 = E, et e 5 = e, ; de sorte que j'aurai dans ce cas ^ = 1 et v = 4» et par conséquent
63. Telle est donc la fraction continue qui exprime la valeur de \/^r\
mais, si l'on veut trouver les fractions convergentes vers cette valeur, on fera, dans les formules du n° 60, (/. = 1 , v = 4 f et comme g* doit être < 4f on fera successivement u = o, 1, 2, 3.
On aura donc [formule (A), n°47]
/|i= li = il = I9 «|i-i=/=i, 6ji = Ê|=3, E| A+ i=E2 = 8;
donc (n° 60)
