ARTICLE III

Généralisation de la théorie des fractions continues.

65. Nous avons supposé, dans le Chapitre III, que les nombres p, q 9 r 9 ... étaient les valeurs entières approchées des racines x 9 y, z, . . . , mais plus petites que ces racines; c'est-à-dire que/*, q 9 r, ... étaient les nombres entiers immédiatement plus petits que les valeurs de x 9 y 9 z 9 ...; cependant il est clair que rien n'empêcherait qu'on ne prit pour/?, q 9 r, ... les nombres entiers qui seraient immédiatement plus grands que les racines x, y 9 z, . . . .

66. Imaginons donc qu'on prenne pour/? le nombre entier qui est immédiatement plus grand que x 9 en sorte que p > x etp — i < x 9 il

est clair qu'il faudra faire, dans ce cas, x =p ? c'est-à-dire qu'il

faudra prendre y négativement, et comme x <p et >p — i, on aura

- > o et < i, et par conséquent j> i, comme dans le cas où l'on

aurait pris p < x (n° 18). Ainsi l'on pourra prendre de nouveau pour q le nombre entier qui serait immédiatement plus petit que j, ou celui qui serait immédiatement plus grand, et l'on fera, dans le premier cas,

y = q -h - * et, dans le second, y=q » et ainsi de suite.

De cette manière, on aurait donc

ce qui donnerait la fraction continue

x =pzn

où il est bon de remarquer que chacun des dénominateurs q, r, . . . , qui sera suivi d'un signe —, devra nécessairement être = 2 ou > 2 ; car

puisque j> i,si l'on fait y = q » on aura q > i,donc^> 1 -h-;

donc q devant être un nombre entier sera nécessairement = 2 ou > 2, et ainsi des autres.

67. J'observe maintenant que ces sortes de fractions qui procèdent ainsi par addition et par soustraction peuvent toujours facilement se changer en d'autres qui ne soient formées que par la simple addition.

En effet, supposons en général

a et A devant être des nombres entiers, et t, Tdes nombres plus grands que l'unité; on aura donc

donc, puisque - < 1 et ^ < 1 ,

y + 7jr sera. <•*;

donc on ne pourra supposer que a — A = 1, ce qui donne A = a — 1; on aura donc

donc

7Ï7 = 1 ~ T» Cl T = =I+"

de sorte qu'on aura en général

et cette formule servira pour faire disparaître tous les signes — dans une fraction continue quelconque.

Soit, par exemple, la fraction

elle deviendra, en faisant a =p et t = q -+- -> ■••

et si Ton avait la fraction

elle se changerait d'abord en

et ensuite en

et ainsi des autres fractions semblables. Il est bon de remarquer qu'il peut arriver que dans ces sortes de transformations quelqu'un des dénominateurs devienne nul, auquel cas la fraction deviendra plus simple. En effet, supposons que la fraction à réduire soit

la transformée sera

c'est-à-dire

De même, si Ton avait la fraction

elle se réduirait à celle-ci

savoir

et ainsi du reste.

68. La formule que nous avons trouvée ci-dessus, et qu'on peut mettre sous cette forme

fait voir qu'une fraction continue dont tous les termes ont le signe 4peut quelquefois être simplifiée en y introduisant des signes — ; c'est ce qui a lieu lorsqu'il y a des dénominateurs égaux à l'unité; car soit, par exemple, la fraction

elle pourra se réduire, par la formule précédente, à celle-ci,

qui a, comme on voit, un terme de moins; donc, si l'on avait la fraction

elle se réduirait à celle-ci

et si l'on avait celle-ci

elle se réduirait d'abord à

vin. ,4

et ensuite à

D'où il est facile de conclure en général que, si l'on a une fraction continue qui n'ait que des signes 4-, et où il y ait des dénominateurs égaux à l'unité, on pourra toujours la changer en une autre qui ait autant de termes de moins qu'il y aura de pareils dénominateurs, pourvu qu'ils ne se suivent pas immédiatement; car, lorsqu'il y en aura deux de suite, on ne pourra faire disparaître qu'un seul terme; lorsqu'il y en aura trois de suite, on pourra faire disparaître deux termes; et en général, s'il y en a 2n ou 2/n- i de suite, on ne pourra faire disparaître que n ou n -h î termes.

Ainsi, la fraction continue qui exprime le rapport de la circonférence au diamètre étant, comme on sait,

elle peut se réduire à une autre qui ait déjà trois termes de moins,

et qui sera

69. Pour pouvoir comprendre sous une même forme générale les fractions continues où les signes sont tous positifs et celles où il y a

des signes négatifs, il est bon de transformer ces dernières en sorte que les signes négatifs n'affectent que les dénominateurs, ce qui est très-facile ; car ayant, par exemple, la fraction

il est clair qu'elle peut d'abord se changer en

ensuite en celle-ci

et ainsi des autres.

De cette manière, la forme générale des fractions continues dont nous venons de parler ci-dessus sera

les nombres/?, q 9 r, ... étant tous entiers, mais pouvant être positifs ou négatifs, au lieu que jusqu'ici nous les avions toujours supposés positifs. Il faut cependant remarquer que, si quelqu'un des dénominateurs q, r, ... se trouve égal à l'unité prise positivement ou négativement, alors le dénominateur suivant devra être de même signe; c'est ce qui suit de ce qu'un dénominateur positif et égal à l'unité ne saurait jamais être suivi du signe — (n° 68).

70. Il s'ensuit de là que la méthode d'approximation donnée dans le Chapitre III peut être généralisée en cette sorte :

Soit x la racine cherchée; on prendra d'abord pour/? la valeur entière approchée de x, c'est-à-dire qu'on fera/? égal à l'un des deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de x, et qu'on peut toujours trouver par la méthode du Chapitre I er ; et l'on supposera ensuite

ce qui donnera une transformée en y qui aura nécessairement une racine positive ou négative plus grande que l'unité; on prendra de même pour q la valeur entière approchée de y % soit plus grande ou plus petite quej, et l'on fera

et ainsi de suite.

Si l'équation en x avait plusieurs racines, on ferait sur les transformées en y, en z, . . . , des remarques analogues à celles du n° 19.

Ayant donc

on aura

JC = p H

où les dénominateurs q, r, ... pourront être positifs ou négatifs, comme nous l'avons supposé ci-dessus, et cette fraction pourra ensuite se réduire, si Ton veut, à une autre dont les dénominateurs soient tous positifs, et qui ne contiennent d'ailleurs que des signes -h (n° 67).

L'avantage de la méthode que nous proposons ici consiste en ce qu'on est libre de prendre pour les nombres p, q f r, ... les nombres entiers qui sont immédiatement plus grands ou plus petits que les

racines œ, y 9 z % . . ., ce qui pourra souvent donner lieu a des abrégés de calcul dont nous parlerons plus bas.

Au reste, si l'on veut avoir la fraction continue la plus courte et par conséquent la plus convergente qu'il soit possible, il faudra prendre toujours les nombres p 9 q, r, ... plus petits que les racines x, y 9 z 9 ..., tant que ces nombres seront différents de l'unité; mais, dès qu'on en trouvera un égal à l'unité, alors il faudra augmenter le précédent d'une unité, c'est-à-dire qu'on le prendra plus grand que la racine correspondante : cela suit évidemment de ce que nous avons démontré sur ce sujet (n° 68).