Maintenant, si l'on fait, comme dans le n
oc = p 9 a'=i f
on aura, en ajoutant au commencement la fraction -* qui est plus grande que toute quantité donnée, les fractions
lesquelles seront nécessairement convergentes vers la valeur de x.
Et, pour pouvoir juger de la nature de ces fractions, nous remarquerons :
i° Que l'on aura toujours
«o-ia' = -i
d'où Ton voit que les nombres a, a', p f p', ... n'auront aucun diviseur
commun, et que par conséquent les fractions — > ^> •• • seront déjà réduites à leurs moindres termes ;
a° Que les nombres <x, p, y, . . . et <x' , p', y', ... pourront être positifs ou négatifs (lorsque la valeur de x est positive, les deux termes de chaque fraction seront de même signe, mais ils seront de signes différents lorsque la valeur de x sera négative), et qu'abstraction faite de leurs signes ces nombres iront en augmentant;
3° Que Ton aura, à cause de x=p -f- -» y = q -4- -> •••»
72. Donc, en général, si gj, p, g sont trois termes consécutifs quelconques de la série a, p, y, . . ., et u\ p', <?' les termes correspondants de
la série a, û\ y, ..., en sorte que — > -4* ? ••• soient trois fractions
1 J TD p 0"
GJ p <7
consécutives convergentes vers la valeur de x, on aura
pro— nyp' = ± 1, et *p' — po-' = qp 1 ,
les signes supérieurs étant pour le cas où le quantième de la fraction ^7
est impair, et les inférieurs pour celui où ce quantième est pair, à
compter depuis la première fraction -; de plus, on aura (abstraction faite des signes)
p>ro, <7>p, p'>ro', et *'>?';
enfin, si Ton dénote par t le terme correspondant dans la série x 9 y, z, ..., on aura rigoureusement
pt -h TS
Pt "h ©'
Et si k est la valeur entière approchée de ;, soit plus grande ou plus petite que /, on aura
o- = pk -h gj, <t' = p'/r -+- gj\
73. Cela posé, considérons la fraction £p et voyons combien elle diffère de la vraie valeur de x\ pour cela, nous aurons
p p/4-W p p'cj — pro I
x ~ j? ~~ p'/ -+- cj' ~~ p 7 " : p'vp'/ -+-©') ~ ~*~ fïp'T+rf)' donc
p'^pV + sO
Ainsi l'erreur sera
pV -+-*>')
or, si et 9 -f- 1 sont les deux nombres entiers entre lesquels tombe la vraie valeur de /, il est clair que la quantité p'/ -h u tombera entre ces
deux p'Oh-ct' et p'(9-:- i) -f- gj', et qu'ainsi l'erreur de la fraction ^ sera renfermée entre ces deux limites
+ p (p'e + o') el " f "p / [p'i&-M)H-5j']'
Or on peut prendre £ = 6ou£ = 6-hi; de sorte qu'on aura
<j z=p'Q -Mj' OU =p'(0 -4- i) -hGï\
d'où je conclus que si, pour distinguer les deux cas, on nomme c' le dénominateur de la fraction qui suit -, lorsqu'on prend la valeur appro-
chée de / en défaut, et 1' le dénominateur de la même fraction lorsqu'on prend la valeur approchée de t en excès, l'erreur de la fraction % sera nécessairement renfermée entre ces deux limites
et
D'où l'on voit que l'erreur ira toujours en diminuant d'une fraction
à l'autre, à cause que les dénominateurs p\ <?' ou 2\ ... vont nécessairement en augmentant. On voit aussi, à cause de g > p' et I' > p',
que l'erreur sera toujours moindre que q: -7^; c'est-à-dire que l'erreur de chaque fraction sera moindre que l'unité divisée parle carré du dénominateur de cette fraction. D'où il est facile de conclure que la fraction %
approchera plus de la valeur de x que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui serait conçue en termes plus simples; car supposons que la fraction — approche plus de x que la fraction ^75 n étant
< p', et comme la valeur de x est contenue entre ^ et ~ -h -7^ ou entre
£7 et ^7 — 7-5 il faudra que la valeur de — soit pareillement contenue entre
ces limites; donc la différence entre -, et— devra être <-tt; mais cette
différence est 9 — m 9 9 dont le numérateur ne peut jamais être moindre
que l'unité, et dont le dénominateur sera nécessairement plus grand que p' 2 , à cause de p' >/i; donc, etc.
74. On doit remarquer au reste que, si les dénominateurs <x', p', y', ... sont tous de même signe ou de signes alternatifs, les erreurs seront alternativement positives ou négatives, de sorte que les fractions -,i%^i •••
seront alternativement plus petites et plus grandes que la véritable valeur de x, comme nous l'avons dit dans le n° 23; mais cela cessera d'avoir lieu lorsque les nombres a', £', y', ... ne seront pas deux à deux de même signe ou de signes différents; c'est ce qui arrivera nécessairement lorsque, parmi les dénominateurs q, r, s, ... de la fraction continue, il y en aura de positifs et de négatifs, c'est-à-dire lorsqu'on prendra les valeurs approchées de x,y 9 z, ..., tantôt plus grandes, tantôt plus petites que les véritables.
75. Si, au lieu des fractions convergentes ~? j^> ^> • ••) on aimait
mieux avoir une suite de termes décroissants, on remarquerait que
et, de même,
et ainsi de suite; d'où Ton tire, à cause de a' = i ,
3 V ^^^"""py "^/à 7 '
et en général
Ainsi Ton aura, pour la valeur de x, la série
laquelle en approchera d'autant plus qu'elle sera poussée plus loin ; et si, après avoir continué cette série jusqu'à un terme quelconque ± — r-,> on veut savoir de combien elle diffère encore de la véritable valeur de x>
on sera assuré que l'erreur se trouvera entre ces deux limites
et zp -Tyj (n°73), de sorte qu'elle sera nécessairement moindre que -^ 76. Il est à remarquer que chaque terme de la série
«'P' py
répond à chaque terme de la fraction continue
d'où elle dérive; de sorte que la série dont nous parlons sera plus ou moins convergente, suivant que cette fraction le sera. Or, nous avons donné plus haut (n° 68) le moyen de rendre une fraction continue la plus convergente qu'il est possible ; donc on pourra avoir aussi la suite la plus convergente qu'il soit possible.
Ainsi, pour avoir une suite qui soit la plus convergente de toutes vers le rapport de la circonférence au diamètre, on prendra la fraction continue qui exprime ce rapport, et, après l'avoir simplifiée comme nous l'avons fait (n° 68), on la mettra sous la forme suivante
de sorte qu'on aura
donc on trouvera (n°71)
a'=i, P'=7, / = 7Xi6-hi = n3, <î'=u3x(-294) + 7 = -33*i5, •= — 332i5x3-+-ii3 = — 99532, Ç'= — 9953'2X(— 3) — 332i5 = *6538i, ...,
de sorte que la série cherchée sera
7 7Xn3 u3x332i5 33215X99^32 99532X265381
