ARTICLE IV

Où l'on propose différents moyens pour simplifier le calcul des racines

par les fractions continues.

77. Nous avons trouvé en général (n° 72) que, si ~ et ^ sont deux fractions consécutives convergentes vers la valeur de x, on aura

pt -h 73

donc si Ton substitue cette expression de x 9 dans l'équation en x dont on cherche la racine, on aura une transformée en t qui sera nécessairement la même que celle qu'on aurait eue par les substitutions successives de p -h - à la place de x f de q -+- - à la place de y, ... ; et pour

avoir la fraction suivante -7» il faudra trouver la valeur entière approchée de /, laquelle étant nommée k 9 on aura

a- =z kp ■+- gj, o-' = kp' -+- m'.

De cette manière, connaissant les deux premières fractions ~ et~y qui

sont toujours - et £ (n°71), on pourra trouver successivement toutes les autres à l'aide de la seule équation en x.

78. Au reste, soit qu'on emploie les substitutions successives de p -h - à la place de x, de q -+- - à la place de y 9 . . . , soit qu'on fasse

usage de la substitution générale de -?- — ^7 à la place de x, la difficulté

se réduira toujours à trouver, dans chaque équation transformée, la valeur entière approchée de la racine positive ou négative, au-dessus de l'unité , que cette équation contiendra nécessairement (n° 70). Or, si la première valeur approchée p ne convient qu'à une seule racine, alors toutes les équations transformées en y, en z, . . . n'auront chacune

qu'une seule racine plus grande que l'unité» de sorte qu'on pourra trouver les valeurs entières approchées de ces racines par la simple substitution des nombres naturels (n° 19). Mais, si la même valeur appartient à plusieurs racines, alors les transformées auront nécessairement plusieurs racines plus grandes que l'unité, soit positives ou négatives, jusqu'à ce que l'on arrive à une de ces transformées qui n'ait plus qu'une pareille racine ; car alors toutes les suivantes n'en auront plus qu'une seule au-dessus de l'unité, comme nous l'avons démontré dans le numéro cité.

Avant d'être parvenu à cette transformée, il arrivera souvent que la simple substitution des nombres naturels ne suffira pas pour faire trouver les valeurs entières approchées dont on aura besoin, parce que l'équation aura des racines qui différeront entre elles par des quantités moindres que l'unité. Dans ce cas donc il semble qu'il faudrait avoir recours à la méthode générale que nous avons donnée dans le Chapitre I; mais, ayant déjà employé cette méthode pour trouver les premières valeurs approchées des racines x de l'équation primitive, on pourra se dispenser de faire un nouveau calcul à chaque équation transformée; c'est ce qu'il est bon de développer.

79. En faisant usage de la méthode dont nous parlons, on trouvera d'abord les limites entre lesquelles chaque racine réelle de l'équation proposée sera renfermée, en sorte qu'entre deux limites trouvées il n'y ait qu'une seule racine (n° 13).

Soient X et A les limites de la racine cherchée ; l'expression

p't -H GJ'

donne