La formule
peut être aussi très-utile pour réduire en fraction continue toute quantité x qui sera renfermée entre les limites données, au moins pour trouver les termes de cette fraction qui pourront être donnés par ces limites; car, nommant comme ci-dessus \ et A les deux limites de x, on aura
gj'X — gj . vs/ A — xs rr el 'T
pour celles de t; de sorte que, tant que la différence entre ces dernières limites ne sera pas plus grande que l'unité, on pourra trouver exactement la valeur entière de t; ainsi, prenant - et ^ (p étant la valeur entière approchée de x) pour les deux premières fractions, on pourra pousser la suite des fractions convergentes et par conséquent la fraction continue jusqu'à ce que les limites dont nous parlons diffèrent entre elles d'une quantité plus grande que l'unité; alors il faudra s'arrêter, parce que les limites données \ et A ne comporteront pas une plus grande exactitude dans la valeur de x.
Par ce moyen, on n'aura jamais à craindre de se tromper en poussant la fraction continue plus loin qu'on ne doit, comme cela arriverait facilement si, pour avoir cette fraction, on se contentait de prendre l'un des nombres X ou A, et d'y pratiquer la même opération dont on se sert
pour trouver la plus grande commune mesure, conformément à la manière usitée de réduire les fractions ordinaires en fractions continues. Pour pouvoir employer cette méthode en toute sûreté, il faudrait faire la même opération sur les deux nombres \ et A, et n'admettre ensuite que la partie de la fraction continue qui proviendrait également des deux opérations; mais la méthode précédente parait plus commode et plus simple.
81. Voyons maintenant d'autres moyens pour simplifier encore la recherche des valeurs entières approchées dans les différentes équations transformées. Soit
/« __ a tn-\ 4. b t n-2 __ . . , =
une quelconque de ces équations, dans laquelle il s'agit de trouver la valeur entière approchée de /, que nous désignerons en général par k\ cette équation, étant dérivée de l'équation proposée en x, sera du même degré que celle-ci, et aura par conséquent le même nombre de racines, que nous supposons égal à n.
Nous avons trouvé en général (n° 79)
xîs x — gj
ce qui se réduit à
GT GJ GT GJ
mais
P CT --L- f
P GJ p GJ
le signe supérieur étant pour le cas où le quantième de la fraction -, est
pair, et l'inférieur pour celui où ce quantième est impair; donc on aura
Donc» si l'on dénote par x la racine cherchée, et par x\ x", ... les autres racines de l'équation en x qui sont au nombre de n, et qu'on dénote de même par /, /', t\ ... les valeurs correspondantes de t> on aura
Mais l'équation en t donne
donc, substituant les valeurs de t\ t", . . . que nous venons de trouver, et qui sont au nombre de n — i, on aura
( n — i ^ ot' . i / i i i
Or nous avons trouvé (n° 73)
ou bien, en faisant p't -+• 1/ = i|/p',
où l'on remarquera que, p' * -h u' étant renfermé entre les limites <r' et 2' qui sont Tune et l'autre plus grandes que p' (n° 72), la quantité <|* sera nécessairement plus grande que l'unité. Donc, faisant cette substitution dans la formule précédente, on aura
Mais les quantités a? — a?', x — dd\ ... sont données, et la quantité p'
va toujours en augmentant; donc, puisque la fraction -r est toujours moindre que l'unité, il est clair que chacune des quantités
ira nécessairement en diminuant; et que par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de n — i ira en diminuant aussi, de
sorte qu'elle deviendra nécessairement moindre que —
Donc on parviendra nécessairement à une équation transformée telle
que sa racine t sera, à - près, égale à
tf-f- - j 1
(a étant le coefficient du second terme pris négativement), c'est-à-dire que cette racine sera contenue entre les limites
fl + - -r 1 h- et a -h- -^ >
et la même chose aura lieu à plus forte raison pour toutes les transformées suivantes.
Donc, dès qu'on sera parvenu à une pareille transformée, il n'y aura qu'a prendre le nombre entier qui approchera le plus de la quantité
c'est-à-dire celui qui sera contenu entre les mêmes limites
pi pi
et ce nombre sera nécessairement un des deux consécutifs entre lesquels
se trouvera la vraie valeur de /; de sorte qu'il pourra être pris en toute sûreté pour la valeur approchée k (n°77). Ainsi Ton pourra continuer l'approximation aussi loin qu'on voudra sans le moindre tâtonnement,
