Si l'on avait

A~=7 + ÏÏ < i'

alors la condition requise aurait lieu dès le commencement de la série; de sorte qu'on pourrait approcher de la valeur de x sans aucun tâtonnement; voici le procédé du calcul.

Ayant trouvé la première valeur entière approchée de x, qu'on pourra prendre plus petite ou plus grande que x à volonté, et nommant cette

valeur/?, on aura les deux premières fractions -* £•

i° On fera donc

UJ = I , Gj' •= O, P=p f p' = '

et, substituant ces valeurs dans l'expression de R (n° 82), on prendra le nombre entier qui approchera le plus de

-R-to'

c'est-à-dire de — R, lequel étant nommé k, on aura la fraction

kp-\-ts kp -h i

kp' -+- cj' ~~ k

2° On fera

JBizzp, d , = i f p-=kp + t t p' = k 9

et, substituant dans R, on prendra le nombre entier qui approchera le

plus de — - — » c'est-à-dire de —. — > et, ce nombre étant nommé k\

on aura la fraction

h'p-\~TB k'[f t p -4- l) -h p

kp' + cj' "~ A'A -+-i 3° On fera

cj^=/rp-f-i, ro' — /r, p = Ar ' ( Ar/> -4- 1) -h/?, p' = /r'Af-t-i,

et Ton prendra la valeur entière la plus approchée de

p kk -t- 1

laquelle étant nommée £", on aura la fraction

/r'p-hnr

#1 P -h BJ

et ainsi de suite.

De cette manière, la valeur dex sera exprimée par la fraction continue

ou par les fractions convergentes

i p kp -h i k'[ kp -+- ii -+- w

O I h lï II -+■ I