VIII

la quantité dont il s'agit sera

ztR-nr'

par conséquent les limites dont nous avons parlé dans le numéro précédent seront

±R-m' i ± R — gj' i

; h - Cl ;

Ainsi l'on pourra trouver ces limites indépendamment de l'équation transformée en t, et par le seul moyen de l'équation proposée en x, ce qui pourra servir à abréger le calcul.

83. Il reste maintenant à voir comment on pourra reconnaître si la racine * est renfermée entre les limites dont il s'agit; or cela est facile dès qu'on connaît les deux nombres entiers consécutifs 0, 8 -+- 1 entre

lesquels se trouve cette racine : car, soient \ -+- - et \ les deux

limites données, il est clair que, pour que / se trouve entre ces limites, il faudra que \ tombe entre les mêmes nombres 0, 0-hi, et même plus près de celui de ces deux nombres dont t approchera davantage. On examinera donc : i° si \ tombe entre et h- i; 2° cela étant, on prendra celui de ces deux nombres dont \ approche davantage pour

la valeur approchée de t, que nous nommerons k, et faisant * = k h — ,

on verra si l'équation transformée en w a une racine positive ou négative plus grande que 2 ; si cette seconde condition a lieu, on sera assuré

que la racine t tombera réellement entre les limites \ -+- - et \ » et

l'on pourra poursuivre le calcul comme nous l'avons dit dans le n° 81.

84. On pourrait s'y prendre encore de la manière suivante, pour

s'assurer si la racine t tombe entre les limites \ -+- - et \ Il est

facile de voir par le n° 81 que la difficulté se réduit à savoir si la somme des quantités

divisée par p'*, est moindre que -; ainsi il ne s'agira que de trouver

une quantité qui soit plus grande que cette somme, et de voir ensuite

si cette quantité est moindre que - —

Or soient x, x\ x'\ ... les racines réelles de l'équation proposée, que nous supposerons au nombre de p, et

les racines imaginaires, que nous supposerons au nombre de 2v, en sorte

que pt + av = n; comme la fraction— diffère de la racine x d'une quan-

tité moindre que -^ (n° 73), il est clair que si A est une quantité égale

ou moindre que la plus petite des différences entre les racines réelles de la même équation, chacune des quantités réelles

sera nécessairement moindre que

et par conséquent la somme de ces quantités qui sont au nombre de jx — î sera moindre que

Considérons ensuite les quantités imaginaires, lesquelles seront deux à deux de la forme

de sorte qu'on aura v quantités de la forme

or je remarque que, quels que soient les nombres ^t l et '}, là quantité

sera toujours moindre que -r; en effet, si Ton considère la quantité

et qu'on fasse, ce qui est toujours possible, y= <|* tangç, elle deviendra

2 sinç C0S9 sin2 9

or, la plus grande valeur de sin2? est l'unité; donc, etc.

Donc, si Ton dénote par n une quantité égale ou moindre que la

plus petite des quantités ty, <]/, . . . , la quantité •= sera nécessairement

plus grande que la somme des quantités imaginaires dont nous parlons. Donc, en général, la quantité

sera plus grande que la somme de toutes les quantités

Donc, si Ton a

+ -nr7ï = OU <-,

p 2 A-i pHl ^2

A et n étant prises positivement, on sera sûr que la racine / tombera entre les limites proposées.

Or, pour avoir les nombres A et n, lorsqu'on ne connaît pas d'avance les racines de l'équation proposée, il n'y aura qu'à chercher dans l'équation des différences (D) du n° 8 la limite / des racines positives et la limite — h des racines négatives, et l'on pourra prendre pour A un

nombre quelconque = ou < — -> et pour H un nombre quelconque = ou <-p; cela suit évidemment de ce que nous avons démontré dans l'endroit cité.