OU

»^A-i sin^Xv^

donc elle aura lieu sûrement toutes les fois qu'on aura

\ sin ^rJ

2° Soit n impair et = im -h i : l'équation n'aura qu'une seule racine réelle v A, et elle en aura im imaginaires de la forme

/ SC , . SC \ nr-r

cos — ± sin — v — ' 1 v A ,

en faisant successivement 5 = 1,2, ... jusqu'à m; donc on aura dans ce cas ;jl = 1, v = m, et, comme le plus petit des sin— est sin — ou sin- — ? à cause de n = im H- 1, on pourra prendre

„ . l8o° nrr

11 = sin x y A;

de sorte que la condition du numéro cité aura lieu si

ou < -1

sin x y/ A

c'est-à-dire si l'on a

A = ou >

. 180° sin — n

Donc, lorsque le nombre A ne sera pas au-dessous des limites que nous venons de trouver, on pourra toujours, en faisant usage de la méthode du n° 85, trouver directement et sans tâtonnement la racine n ihne de ce nombre; et, s'il est plus petit que ces limites, on pourra toujours le rendre plus grand en le multipliant par un nombre quelconque qui soit une puissance exacte du même exposant n; en sorte qu'après avoir trouvé la racine de ce nombre composé, il n'y aura plus qu'à la diviser par celle de son multiplicateur pour avoir la racine cherchée de A. Quant à la valeur de R (n°83), elle sera, pour l'équation af— X = o,

p" — Ap'"

88. Puisque le cas de n = a peut se résoudre par la méthode de l'article II ci-dessus, nous en ferons abstraction ici. Soient donc

donc

n = 4> on aura sm — y— = i f

A = ou > 4* ;

/ir=6, on aura sin -77- = — »

A= ou >3 3 .4 6 ;

n = 8, on aura sin-rr- =— »

A= ou >* 4 .4 8 ï

et ainsi de suite.

De même, si l'on fait

donc

n = 3, on aura sm — T - = — .»

4 3 A = ou >-U-,

i° n = 5, on aura sin — ^- = sin 3b%

et, faisant le calcul par les logarithmes, on trouvera

A- ou > i4%5> et ainsi de suite.

89. Supposons, parexemple, qu'on demande la racine cubique de 17; puisque 17 est > -^> à cause de3^3>4> on poum* employer

3 \/3 d'abord la méthode du n" 85. On aura donc ici, à cause de n = 3 et A= 17 (n°87),

Or, le nombre entier le plus proche de V*7 est 2 ou 3, de sorte qu'on pourra faire à volonté p = 2 ou p = 3.

Faisons o = 2, et les premières fractions seront -» -; donc :

1° GJ=I, G3— O, p = 2, p'=i;

donc

et le nombre entier qui approche le plus de