En effet, soit l'équation proposée en x

- x m — \x m ~ l -4- Bx"'- 2 — Cr m " 3 -+-. . .— o,

que je représenterai, pour plus de simplicité, par

qu'on en déduise cette équation en u du degré m — i (n° 8) dans laquelle

Y=nix m -* — (m — i) \x m ~ 2 -h(m — 2) Bx™-* — .. . ,

Z = x m ~*- — '-+ Ax m -*-h.. .,

. m[m — il (/?? — 2)

savoir,

Y = X', Z^— , V=Aj, ....

X', X", X'", . . . étant les fonctions dérivées de X ou les coefficients dif-

ferentiels^,^-,^-, ....

On a vu dans le problème du n° 8 que, si Ton substitue dans cette équation en m, à la place de x, une quelconque des racines de l'équation X = o, elle aura alors pour racines les différences entre cette racine et toutes les autres racines de la même équation. Donc, si Ton y substitue successivement les m racines de l'équation X = o, on aura m équations en u dont les racines seront toutes les différences possibles entre les racines de l'équation proposée; par conséquent, il ne s'agira que de trouver une quantité plus petite que la plus petite racine de chacune de ces m équations.

Donc, si l'on fait u = -n ce qui changera l'équation en u en celle-ci

ou bien, en multipliant par i m ~ { et divisant par Y,

tout se réduira à trouver une limite plus grande que la plus grande des racines de cette dernière équation, en supposant qu'on y substitue successivement pour x chacune des m racines de l'équation proposée ; car, cette limite étant trouvée, si on la nomme L, il est visible que

Y sera la limite cherchée plus petite que chacune des m racines.

2. Or on sait (n° 12) que le plus grand coefficient des termes négatifs d'une équation, pris positivement et augmenté d'une unité, est plus grand que la plus grande de ses racines positives. Ainsi, pour avoir la limite L, il n'y aurait qu'à trouver la plus grande valeur négative qui pourrait résulter de la substitution des racines de l'équation

X = o à la place de x dans les coefficients ^ ^ •" Je l'équation

en i, ou une quantité plus grande que cette valeur.

Si ces coefficients ne contenaient que des puissances de x sans dénominateur, on pourrait résoudre la question en substituant à la place de x f dans les termes positifs, une limite plus petite que la plus petite des valeurs positives de x, et, dans les termes négatifs, une limite plus grande que la plus grande de ces valeurs; car il est visible qu'on aurait, par ce moyen, des quantités négatives plus grandes que les valeurs négatives que chaque coefficient pourrait recevoir par la substitution de chacune des racines positives de la proposée en x; et, pour avoir égard aux racines négatives de la même équation, il n'y aurait qu'à changer dans les expressions des mêmes coefficients x en — x, et substituer ensuite dans les termes positifs une valeur de x plus petite que la plus petite racine négative de cette équation, prise positivement, et dans les termes négatifs une valeur de x plus grande que la plus grande de ces racines.

La plus grande des quantités négatives trouvées de cette manière, prise positivement et augmentée de l'unité, pourrait sans scrupule être employée pour la limite cherchée L.

Toute la difficulté vient donc du dénominateur Y, qui contient aussi l'inconnue x. J'avais proposé autrefois de prendre pour Y une valeur

plus petite que chacune de celles qui pourraient résulter de la substitution des racines de l'équation X = o à la place de x; mais la difficulté était d'avoir cette limite, et il ne parait pas possible de la trouver autrement que par l'équation même dont les différentes valeurs de Y seraient racines. Pour avoir cette équation, on ferait Y=y, et Ton éliminerait x au moyen de l'équation X = o et de celle-ci, y — Y = o ; l'équation résultante en y serait du m ii,me degré, et la limite plus petite que la plus petite de ses racines serait la quantité qu'on pourrait prendre pour Y; mais cette équation en y peut encore être fort longue à calculer, soit qu'on la déduise de l'élimination, soit qu'on veuille la chercher directement par la nature même de ses racines.

3. J'ai fait réflexion, depuis, qu'on pouvait toujours éliminer l'inconnue x du polynôme Y en le multipliant par un polynôme convenable du même degré m — i, et en faisant disparaître, au moyen de l'équation X = o, toutes les puissances de a? plus hautes que x™-* .

En effet, si Ton prend un polynôme tel que

x m-t ax m ~ 2 ■+■ bx m -* — cx m ~ s -+-...,

que nous nommerons \ pour abréger, et dans lequel les coefficients a, b 9 c, ... soient arbitraires, et qu'on multiplie le polynôme Y par celui-ci, on aura un polynôme du degré 2m — 2. Or, l'équation X = o donne d'abord la valeur de x m , et avec cette valeur on pourra former, en multipliant successivement par x et substituant à mesure la valeur de a;"*, toutes les puissances de x supérieures à x" 1 '* jusqu'à x 2m ~ 2 . On substituera donc ces valeurs dans le polynôme Y;, et il s'abaissera à la puissance m — 1 ; on fera alors disparaître tous les termes qui contiennent x, en égalant à zéro chacun de leurs coefficients, ce qui donnera m — 1 équations linéaires en a, b f c, ... , lesquelles serviront à déterminer ces inconnues dont le nombre est aussi m — 1 ; nommant K le terme ou les termes restants et tout connus, on aura YE = K, et

par conséquent Y = -•

ISO NOTES SU 11 LA TIIÉOHIE

L'équation en i deviendra, par cette substitution,

' ,4-1 "+■ T7 2 '"'~ 2 -+" -Î7 2 ' Wl ~ 3 -h ... -i- £ — ° 5

et, comme les coefficients -^> TT' " # ne contiennent plus que des

puissances de x sans dénominateur, on pourra y appliquer la méthode proposée ci-dessus et trouver une limite L plus grande que la plus grande des valeurs de i.

On pourra réduire aussi les polynômes ZE, VÇ, ... à ne contenir que des puissances de x moindres que x m ~ % par les mêmes substitutions des valeurs de x m et des puissances supérieures à x" 1 . Cette réduction n'est pas absolument nécessaire, et l'on peut sans inconvénient employer les polynômes tels qu'ils résultent de la multiplication de Z, V, ... par £; mais elle est utile pour simplifier le calcul et avoir une limite L plus approchée.

4. Il est bon de remarquer encore que, comme les valeurs de u qui représentent les différences entre les racines de l'équation proposée peuvent être également positives et négatives, les valeurs de i pourront l'être aussi, puisque nous avons fait u = -; d'où il s'ensuit que la

limite des valeurs positives de i le sera aussi des valeurs négatives prises positivement, et réciproquement celle des plus grandes valeurs négatives prises positivement le deviendra des plus grandes positives. On pourra donc, dans l'équation en i, prendre également i positif ou négatif, et par conséquent prendre le second, le quatrième, le sixième, etc. termes de l'équation en i avec des signes contraires, si, de cette manière, il en résulte pour L une limite moindre.

5. Ayant ainsi trouvé la limite L, on aura j- pour la limite plus petite que la plus petite différence entre les racines de l'équation proposée, et l'on pourra faire A = j (n° 6) pour avoir la suite A, 2 A, 3 A, ... des nombres dont la substitution successive fera connaître sûrement

toutes les racines réelles de la même équation et donnera leurs premières limites.

Si la quantité K était nulle, on aurait pour L une quantité infinie,

et la limite ~ deviendrait zéro , ce qui indiquerait l'égalité de deux

Là

ou plusieurs racines dans l'équation proposée. En effet, s'il y a deux racines égales, il est clair qu'il y aura une des valeurs de u qui sera nulle ; donc le dernier terme Y de l'équation en u deviendra nul en y substituant pour x une des racines de l'équation X = o ; donc cette équation aura lieu en même temps que l'équation Y = o, c'est-à-dire

X' = oou -t^-"= o , ce qui revient à ce que l'on sait depuis longtemps.

Donc l'équation résultante de celle-ci par l'élimination de x aura lieu aussi. Or, il est facile de voir que cette équation n'est autre chose que l'équation K = o ; car, puisque le produit Y; devient = K par le moyen

de 1 équation X = o, on aura Y = y» et, par conséquent, l'équation

Y = o donnera K = o.

Lorsqu'on sera assuré par là que l'équation en x a des racines égales, on les trouvera en cherchant le commun diviseur des équations X = o et Y = o (n° 15); ensuite l'équation en i donnée ci-dessus, étant multipliée par K et divisée par Zç, deviendra, à cause de K=o,

à laquelle on pourra appliquer la même méthode pour trouver une limite plus grande que les valeurs de i, et ainsi de suite.

Au reste, comme, avant d'entreprendre la résolution d'une équation par quelque méthode que ce soit, il est toujours nécessaire de s'assurer si elle a des racines égales, parce que ces racines peuvent se déterminer à part d'une manière rigoureuse, on voit que le calcul de la quantité K est indispensable lorsqu'on ne calcule pas l'équation des différences, car l'équation K = o est proprement celle que l'on trouve par les méthodes ordinaires lorsqu'on cherche les conditions de l'cga-

lité des racines. Ainsi, à cet égard, la méthode que nous proposons n'allonge point le calcul nécessaire pour la résolution des équations.

6. La quantité K étant connue, tout se réduit à chercher une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative des

quantités -£> |/> •••> ^> coefficients de l'équation en i; pour cela, on

substituera à la place de x une quantité plus petite que la plus petite des racines positives de l'équation X = o dans les termes positifs de ces coefficients, et une quantité plus grande que la plus grande de ces racines dans les termes négatifs; ensuite, ayant changé dans ces mêmes coefficients x en — x, on substituera de même dans les termes positifs une quantité plus petite que la plus petite des racines négatives, et dans les termes négatifs une quantité plus grande que la plus grande des racines négatives de la même équation, en prenant ces racines positivement. Le plus grand résultat négatif qu'on aura de cette manière, étant pris positivement et augmenté de l'unité, donnera la valeur de la limite L que l'on cherche.

Pour avoir ces quantités plus grandes et plus petites que les racines de l'équation X = o, on pourrait prendre tout de suite le plus grand coefficient des termes négatifs de cette équation, augmenté de l'unité, pour la quantité plus grande que ses racines positives; ensuite, après

avoir échangé dans la même équation x en - et fait disparaître par la

multiplication les puissances négatives de x, on prendrait de même le plus grand coefficient des termes qui seraient de signe différent du premier, et l'unité divisée par ce coefficient augmenté de l'unité serait la quantité plus petite que les mêmes racines. A l'égard des racines négatives, on changerait dans l'équation x en — x pour les rendre positives, et l'on trouverait de la même manière les quantités plus grandes et plus petites que ces racines.

Mais, quoique les limites qu'on trouvera par cette méthode soient toujours exactes, elles peuvent néanmoins être trop éloignées entre elles, ce qui aurait l'inconvénient de donner pour la limite L une quan-

tité trop grande, et par conséquent pour la différence A des termes de la suite une quantité trop petite : d'où résulterait un trop grand nombre de substitutions successives à faire dans l'équation proposée pour en découvrir toutes les racines (n° 6).

7. II est donc utile d'avoir des limites plus resserrées, et Ton pourra les trouver par la méthode exposée dans le n° t2. Suivant l'esprit de cette méthode, il ne s'agira que de chercher d'abord une valeur dç x qui rende positives les valeurs des fonctions X, X', X", . . . , ce qui n'est pas difficile en commençant par la dernière, où x n'est qu'à la première dimension, et remontant successivement à celles qui précèdent. Cette valeur sera la limite plus grande que toutes les racines positives de l'équation X = o. Pour avoir ensuite une limite plus petite

que ces racines, on transformera la fonction X en y substituant - à

la place de x, et la multipliant par x m pour faire disparaître les puissances négatives; et, si le terme où est x m se trouve négatif, on changera tous les signes pour le rendre positif. On prendra cette nouvelle fonction pour X, et, en ayant déduit les fonctions X', X", . . . , on cherchera de nouveau la valeur de x qui rendra toutes ces fonctions positives. L'unité divisée par cette valeur donnera une limite plus petite que toutes les racines positives de la même équation X = o. Enfin on changera dans ces deux séries les fonctions x en — x, en changeant en même temps tous les signes, si la plus haute puissance de x se trouve affectée du signe — ; et les valeurs de x qui les rendront toutes positives seront les limites plus grandes et plus petites que les racines négatives de la même équation prises positivement.

8. Pour donner un exemple de la méthode que nous venons d'exposer, nous l'appliquerons à l'équation

que nous avons résolue dans le n° 27.