VIII

15i NOTES SUR LA THÉORIE

On aura donc ici

et les fondions dérivées seront

X' = 3*2 7 , X"=z6x, X w -=6, X" = o; donc

et l'équation en u sera du second degré.

On prendra pour \ le polynôme indéterminé du second degré

et, en le multipliant par le polynôme Y, on aura

Y; = 3x* -f-3ax'+ (36 — 7) x 2 — -]ax—-jb.

Mais l'équation X = o donne

donc

— — j •*» J tMf t

Faisant ces substitutions, on aura

Y; = (36-M4)jr 2 -f-(i4 a — îi).r-2i«- 76.

On fera donc

d'où l'on tire

* = -> 6 = ^ el K = ~

Ainsi, puisque la quantité K n'est pas nulle, on en conclura d'abord que l'équation n'a pas de racines égales.

Maintenant on aura

et de là, en multipliant par Z = Zx et substituant pour x* sa valeur,

Zc= *- h nx — 2i ; ;

de sorte que les deux coefficients de l'équation en /seront

27 X' -4- $9.X — I 26 Gx 2 -f- Ç)X — 28

et il ne s'agira plus que de trouver une quantité égale ou plus grande que la plus grande valeur négative que ces coefficients puissent avoir sans connaître les valeurs de x; or c'est à quoi on peut parvenir par le moven des limites de ces valeurs.

9. Pour cela, on commencera par chercher des limites plus grandes et plus petites que les valeurs de x, tant positives que négatives. Je remarque d'abord que, le plus grand coefficient des termes négatifs dans l'équation en x étant 7, on pourrait prendre 8 pour la limite plus grande que les racines positives; mais on peut trouver une limite moindre par la considération des fonctions X, X', X", savoir,

x* — *jx -+-7, 3x 2 — 7, 6.r,

en cherchant une valeur de x qui les rende toutes positives; on trouve que x = 2 satisfait à ces conditions, de sorte que 2 sera une limite plus grande que les racines positives.

Si l'on change dans ces mêmes fonctions x en — x, en changeant en même temps les signes, s'il est nécessaire, pour que le premier terme soit toujours positif, on a celles-ci

et l'on voit que, pour les rendre toutes positives, il faut faire en nombres entiers a? = 4; mais, en nombres fractionnaires, il suffit de

x = 3h : ainsi — sera une limite plus grande que les racines négatives prises positivement.

On transformera maintenant la fonction x par la substitution de -

à la place de x 9 et, l'ayant multipliée para; 3 pour faire disparaître les puissances négatives, on aura, après avoir divisé par 7, coefficient du premier terme, cette fonction transformée

dont les deux fonctions dérivées seront

3x 2 — ix, 6x — 2,

qu'il faudra rendre positives pour une valeur supposée de x. Or on

trouve que 1 satisfait à ces conditions; mais on peut y satisfaire par

3.4 un nombre moindre, comme y* Ainsi | sera une limite plus petite que

les racines positives.

Enfin, en changeant dans ces mêmes fonctions x en — .r et changeant en même temps tous les signes de la première et de la troisième pour rendre les premiers termes positifs, on a celles-ci

x* + x* 1 3jc 2 -i-2x, 6x~hi,

et l'on trouvera aisément qu'elles deviennent toutes positives en faisant x — -\ d'où il s'ensuit que 3 sera une limite moindre que les

racines négatives prises positivement.

On a donc, pour les limites des racines positives, les nombres |

et 2, et, pour celles des racines négatives prises positivement, les

nombres 3 et —

On substituera donc d'abord, à la place de x, | dans les termes positifs et 2 dans les termes négatifs des deux quantités

2ix 2 -\- fax — 19.6 6x 2 -hqx — 28

et Ton trouvera les résultats et ; comme le premier de ces

deux résultats est le plus grand, il est bon de voir si, en changeant

tous les signes de la première quantité, ce qui la réduit à

et substituant de même ~ dans les termes positifs et 2 dans les termes négatifs, au lieu de x, on aurait un résultat moindre; mais on trouve

celui-ci — > qui est au contraire plus grand, et par conséquent

inutile.

On changera maintenant dans ces mêmes quantités x en — x, ce qui les changera en celles-ci