Nous avons développé plus haut l'équation identique

suivant les puissances négatives de x; développons-la maintenant suivant les puissances positives. Pour cela, soient

a — bx h- ex 2 — dx* -+- . . .

les derniers termes du polynôme

x m -Ajr«-' + Bx m 2 — ... ; on mettra le premier membre de l'équation identique sous la forme

— b -\- icx — 3 dx* -h 4 rx 2 — • • • a — b x -+- ex 1 — dx* -h t x* — . . .

et le développement de cette fraction suivant les puissances croissantes de x sera de la forme

- P - Qx -Kx* - S'* 3 - ... ;

en multipliant par le dénominateur et comparant les termes, on trouvera

a($'=bV-ic> aR'=bQ'-cP' + 3d, aS / ^6R-cQ'4-(/P'-4c,

ce qui donne une série récurrente dont l'échelle est

Le second membre de la même équation, étant développé pareillement suivant les puissances croissantes de x y donnera la série

de sorte qu'on aura par la comparaison

m NOTES SUR LA THEORIE

Ces formules renferment la loi des sommes des puissances réciproques des racines.

Il est évident que, si a est la plus petite racine, soit positive ou négative, les puissances — surpasseront d'autant plus la somme des pareilles puissances des autres racines, que a sera plus petite que chacune des autres racines p, y, . . .'. Par conséquent, si T' et V sont deux

termes consécutifs de la série P', Q', R', . . . , le quotient ^7 approchera

d'autant plus de la valeur de la plus petite racine réelle de l'équation, que ces termes seront plus éloignés du commencement de la série. Ainsi cette série servira à trouver la plus petite racine, comme la première P, Q, R, ... sert à trouver la plus grande; et, à l'égard des racines imaginaires, on prouvera de la même manière qu'elles n empêcheront pas l'approximation vers la plus petite racine réelle, pourvu que le carré de cette racine soit en même temps plus petit que chacun des produits réels des racines imaginaires correspondantes.

7. On pourrait donc employer cette méthode d'approximation pour chacune des racines réelles d'une équation quelconque si l'on connaissait d'avance une valeur approchée a de cette racine, telle que la différence entre cette valeur et la vraie valeur de la racine fût moindre en quantité, c'est-à-dire abstraction faite des signes, que la différence entre la même valeur et chacune des autres racines réelles, et en même temps moindre que la racine carrée de chacun des produits des racines imaginaires correspondantes, s'il y en a, diminuées de la même valeur; car alors, en nommant a la valeur approchée de la racine cherchée et faisant x = a-\-p, on aura une transformée en />, dont la plus petite racine pourra se déterminer par la méthode précédente, et cette racine, jointe à la première valeur approchée, donnera la racine cherchée. Mais on ne saurait trouver les premières valeurs qu'en faisant usage des méthodes que nous avons données, et, ces valeurs étant une fois connues, il est bien plus exact d'employer la méthode d'approximation du Chapitre III; aussi ne suis-je entré dans

ce détail sur la méthode d'approximation tirée des séries récurrentes que pour ne rien laisser à désirer sur le sujet dont il s'agit.

8. Si Ton veut appliquer la méthode précédente à l'exemple de Newton, on prendra d'abord la transformée (Note précédente)

p* -+- 6p 2 -h i op — i ;

et, comme on sait que la racine réelle est moindre que 0,1, il s'ensuit que le produit des deux autres racines, qu'on sait être imaginaires,

sera > — > io, puisque le dernier terme i est le produit des trois

racines; ainsi Ton est assuré que le carré de la racine cherchée est beaucoup moindre que le produit des deux racines imaginaires. On formera

donc la série récurrente par le moyen de la fraction — — P L . ., p « »

r J i — \op — bp 2 — p*

et l'on aura les termes

io, ii2, ii 83, ii5ii, i3^33o, ...,

qu'on peut continuer aussi loin qu'on veut par l'échelle de relation

10, 6, i; chacun de ces termes, divisé par le suivant, donnera les

fractions

i o ni î 1 83