VIII

On a par là la démonstration la plus simple de la loi donnée par Newton pour la somme des puissances des racines. Mais les formules précédentes sont surtout utiles pour approcher de la valeur de la plus

grande des racines a, £, y En effet, il est clair que, si toutes ces

racines sont réelles et que a soit par exemple la plus grande des racines, soit qu'elle soit positive ou négative, la puissance a** surpassera d'autant plus les puissances semblables des autres racines, et même la somme de ces puissances, que l'exposant [/. sera plus grand; d'où il s'ensuit que, si T et V sont des termes consécutifs de la série P, Q,

R, . . . , on aura à très-peu près a = 7p» et cette valeur de la racine x

sera d'autant plus approchée que les termes dont il s'agit seront plus éloignés du commencement de la série.

3. Si parmi les racines jî t y, ... il y en avait d'imaginaires, on aurait, par exemple,

alors, faisant \n' J -\- p 2 = n et *- = tang?, on aurait

(3 = Il (coso -h sin<p f— 0» y = II (cos9 — sinç y — 0» donc, par le théorème connu,

et par conséquent

(3^n= n^cos/jup-hsinf/.? y'— »),

y^ z= Il^COS/Jup — sinucp y— i), (P -+- y^ = i B? COS/Z9.

Ainsi, pourvu que la racine a soit en même temps plus grande que II

ou y'ct 2 h- p% c'est-à-dire plus grande que \/[*y, la puissance 0^ surpassera aussi la somme de pareilles puissances de (î et y.

Donc la méthode ne sera en défaut, à cause des racines imaginaires, qu'autant qu'il s'en trouvera dans lesquelles le produit réel des deux racines correspondantes sera plus grand que le carré de la plus grande

des racines réelles; et, dans ce cas, la série, au lieu de s'approcher et de se confondre à la fin avec une série géométrique, s'en éloignera continuellement.

4. Cette méthode rentre évidemment dans celle que Daniel Bernoulli a déduite de la considération des suites récurrentes, et qu'Euler a exposée en détail dans son Introduction. Dans celle-ci, on donne à la fraction génératrice de la série, pour numérateur, un polynôme quelconque d'un degré moindre que le dénominateur, ce qui rend les m premiers termes de la série entièrement arbitraires. Cette fraction se décompose dans les fractions simples

d'où résulte, pour les termes de la série, cette expression générale

az\ L + b*>P + cyV'

laquelle donne également, lorsque la racine a est beaucoup plus grande

que chacune des autres, ^ pour la valeur approchée de a, quelle que

soit la valeur du coefficient a. Mais l'indétermination des premiers termes de la série, au lieu d'être un avantage de cette méthode, est plutôt un inconvénient; car s'il arrive que les deux racines a, p soient égales, alors les deux termes a^ h- b<p prennent en général la forme

et, si les trois racines a, p, y sont égales, les trois termes ac/P-h b r ^-\- cf prennent la forme

et ainsi de suite; d'où il est aisé de voir que, lorsque la plus grande racine a est une racine double ou triple, etc., la série converge bien moins rapidement vers une série géométrique. En prenant pour numérateur la fonction prime du dénominateur, ainsi que nous l'avons fait ci-dessus, tous les coefficients a, b, c, ... deviennent égaux k l'unité,

et, dans le cas des racines égales a et [J, les deux termes a^ -+- jy* deviennent simplement 2%^ 9 et ainsi des autres; de sorte que les racines égales n'influent en rien sur la convergence de la série.

5. Pour donner un exemple de ce que nous venons de dire, je prendrai celui de l'article 346 de V Introduction d'Euler. L'équation à résoudre est

Euler prend o, î et 3 pour les trois premiers termes, et il forme par l'échelle de relation, 3, o, — 4» la série récurrente

dans laquelle il observe que le quotient de chaque terme, divisé par le précédent, est toujours plus grand que 2, racine double, et en même temps la plus grande.

Si l'on emploie les formules données ci-dessus, en faisant

tous les termes P, Q, R, ... se trouvent multiples de 3; de sorlc que, rejetant ce facteur pour plus de simplicité, on trouve par la même échelle de relation, mais en partant des termes 1, 1, 3, la série

où l'on voit que le quotient de chaque terme, divisé par celui qui le précède, converge très-rapidement vers la racine double 2.