Soit l'équation

[a) Ax m -hBx m ~* H- Car"*- 2 -♦-... -t-K = o,

et supposons qu'on ait déjà trouvé, par la méthode précédente ou autrement» la valeur entière et approchée d'une de ses racines réelles et positives; soit cette première valeur/?, en sorte que l'on ait

x>p et x<ip + i> on fera

et substituant cette valeur dans l'équation proposée, à la place de x, on aura, après avoir multiplié toute l'équation par y" 1 et ordonné les termes par rapport à y, une équation de cette forme

(b) A'y m -+-B'y>»--* -hC'y m -*-\ -hK'=o.

Or, comme (hypothèse) ->o et < i, on aura j>o; donc l'équa-

tion (b) aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l'unité.

On cherchera donc, par les méthodes du Chapitre I er , la valeur entière approchée de cette racine; et comme cette racine doit être nécessairement positive, il suffira de considérer y comme positif (n° 4).

Ayant trouvé la valeur entière approchée de y, que je nommerai q, on fera ensuite

fc2 DE LA RÉSOLUTION

et substituant cette valeur de y dans l'équation (b), on aura une troisième équation en z de cette forme

(c) k'z™ -h B"z>"-* +■ Vz m -* -h . . .-t- K" = o,

laquelle aura nécessairement au moins une racine réelle plus grande que l'unité, dont on pourra trouver de même la valeur entière approchée. Cette valeur approchée de z étant nommée r, on fera

z = rn — ; u

et, substituant, on aura une équation en u % qui aura au moins une racine réelle plus grande que l'unité, et ainsi de suite.

En continuant de la même manière, on approchera toujours de plus en plus de la valeur de la racine cherchée; mais, s'il arrive que quelqu'un des nombres p, q % ... soit une racine exacte, alors on aura x =p 9 ou y = q, . . . , et l'opération sera terminée ; ainsi, dans ce cas, on trouvera pour x une valeur commensurable.

Dans tous les autres cas, la valeur de la racine sera nécessairement incommensurable, et l'on pourra seulement en approcher aussi près qu'on voudra.

19. Si l'équation proposée a plusieurs racines réelles positives, on pourra trouver, par les méthodes exposées dans le Chapitre I er , la valeur entière approchée de chacune de ces racines; et nommant ces valeurs p, p\ p", . . . , on les emploiera successivement pour approcher davantage de la vraie valeur de chaque racine. Il faudra seulement remarquer :

i° Que si les nombres /?, p\ p'\ . . . sont tous différents l'un de l'autre, alors les transformées (6), (c), ... du numéro précédent n'auront chacune qu'une seule racine réelle et plus grande que l'unité; car si, par exemple, l'équation (b) avait deux racines réelles plus grandes que l'unité, telles que y et y, on aurait donc

*=P + y el *=/>-hp;

de sorte que ces deux valeurs de x auraient la même valeur entière approchée/?, contre l'hypothèse : il en serait de même si l'équation (c) ou quelqu'une des suivantes avait deux racines réelles plus grandes que l'unité.

De là il s'ensuit que, pour trouver dans ce cas les valeurs entières approchées q, r, ... des racines des équations (b), {c), ..., il suffira de substituer successivement à la place dey, z, . . . les nombres naturels positifs i, 2, 3, ... jusqu'à ce que l'on trouve deux substitutions consécutives qui donnent des résultats de signe contraire (n°6).

2° Que, s'il y a deux valeurs de x qui aient la même valeur entière approchée p 9 en employant cette valeur, l'équation (b) aura aussi deux racines plus grandes que l'unité, et si leur valeur entière approchée est la même, l'équation (c) aura encore deux racines plus grandes que l'unité, et ainsi de suite jusqu'à ce que l'on arrive à une équation dont les deux racines, plus grandes que l'unité, aient des valeurs entières approchées différentes; alors chacune de ces deux valeurs donnera une suite particulière d'équations qui n'auront plus qu'une seule racine réelle plus grande que l'unité.

En effet, puisqu'il y a deux valeurs différentes de x qui ont la même valeur entière approchée p $ ces deux valeurs seront représentées par p -+- - ; de sorte qu'il faudra que y ait nécessairement deux

valeurs réelles plus grandes que l'unité; et si ces deux valeurs dey ont la même valeur approchée q> il faudra de nouveau qu'en faisant

y=iq-h-9 z ait deux valeurs différentes plus grandes que l'unité,

et ainsi de suite.

Mais, si les valeurs entières approchées de y étaient différentes,

alors, nommant ces valeurs q et q\ on ferait successivement y = q+ -

et y = <f+ -» et il est clair que z, dans l'une et l'autre de ces deux

suppositions, n'aurait plus qu'une seule valeur réelle plus grande que l'unité; autrement, les valeurs de y, au lieu d'être seulement doubles, seraient triples ou quadruples, etc.

Donc, quand on sera parvenu à une transformée dont les deux racines plus grandes que l'unité auront des valeurs entières différentes, on sera assuré que les autres transformées résultant de chacune de ces deux valeurs n'auront plus qu'une seule racine plus grande que l'unité. Quant à la manière de trouver les valeurs entières approchées p, q, . . . , lorsqu'elles répondent à plus d'une racine, voir ci-après, Chap. VI, art. IV.

On peut faire des remarques analogues sur le cas où il y aurait dans l'équation (a) trois racines, ou davantage, qui auraient la même valeur entière approchée.

20. Nous avons supposé dans le n° 18 que les racines cherchées étaient positives; pour trouver les négatives, il n'y aura qu'à mettre — x à la place de x dans l'équation proposée, et l'on cherchera de même les racines positives de cette dernière équation : ce seront les racines négatives de la proposée (n° 4).

Quant aux racines imaginaires, qui sont toujours exprimées par a -h p \/— i, nous avons donné, dans le Chapitre II, le moyen de trouver les équations dont a et p sont les racines; ainsi il n'y aura qu'à chercher les racines réelles de ces équations, et l'on aura la valeur de toutes les racines imaginaires de l'équation proposée.

21. Pour faciliter les substitutions (n° 18) de/>4- - au lieu de x, de q 4- - au lieu de j, etc., il est bon de remarquer que les coefficients de la transformée (b) peuvent se déduire immédiatement de ceux de l'équation (a) en cette sorte

A'= kp m -h Bp m ~* 4- Cp'"-* 4- Vp m * -+-...,

B' = mAp m -* 4- (m — i)Bp m -* + (m — 2)C/> m " 3 -h...,

C = — * '- Ap m ~ 2 4- v — Bp m ~* 4- . . . ,

On aura de même ceux de la transformée (c) par ceux de la transfor-

mée (6), en mettant, dans les formules précédentes, q à la place de/?, A", B", C, . . . à la place de A', B', C, . . . , et A', B', C, ... à la place de A, B, C, . . . , et ainsi de suite.

De là il est évident que le premier coefficient A', ou A", ... ne sera jamais nul, à moins que le nombre p, ou q, ... ne soit une racine exacte, auquel cas nous avons vu que la fraction continue se termine à ce nombre (n°18). En effet, si A'= o, ou A"= o, ..., on auray— » , ou z = ao ; donc x = p, ou y = q, ....

22. Soient donc p, q, r, s, t, ... les valeurs entières approchées des racines des équations (a), (b), (c), ..., en sorte que Ton ait

Substituant successivement ces valeurs dans celle de x, on aura

Ainsi la valeur de x, c'est-à-dire de la racine cherchée, sera exprimée par une fraction continue. Or on sait que ces sortes de fractions donnent toujours l'expression la plus simple, et en même temps la plus exacte qu'il est possible, d'un nombre quelconque, rationnel ou irrationnel.

Huyghens parait être le premier qui ait remarqué cette propriété des fractions continues, et qui en ait fait usage pour trouver les fractions les plus simples et en même temps les plus approchantes d'une fraction quelconque donnée. (Voir son Traité De Automate planetario. )

Plusieurs habiles géomètres ont ensuite développé davantage cette théorie et en ont fait différentes applications ingénieuses et utiles; mais on n'avait pas encore pensé, ce me semble, à s'en servir dans la résolution des équations.