Maintenant, si Ton réduit les fractions continues

en fractions ordinaires, on aura, en faisant

Ç>z=qcc-hi, ^=q<£—q,

3 = sy +p, 4'= j/ -f-p',

on aura, dis-je, cette suite de fractions particulières

lesquelles seront nécessairement convergentes vers la vraie valeur de x, et dont la première sera plus petite que cette valeur, la deuxième sera plus grande, la troisième plus petite, et ainsi de suite; de sorte que la valeur cherchée se trouvera toujours entre deux fractions consécutives quelconques. C'est ce qu'il est aisé de déduire de la nature même de la fraction continue d'où celles-ci sont tirées. Or il est facile de voir que les valeurs de

a, p, y, ... et a', p\ y', ...

sont toujours telles que

(3a'-«P' = i, p/-yp' = i, 3/— yâ' = i, ...,

d'où il s'ensuit :

i° Que ces fractions sont déjà réduites à leurs moindres termes; car si y et y', par exemple, avaient un commun diviseur autre que l'unité, il faudrait, en vertu de l'équation

P/-yP' = i f

que l'unité fût aussi divisible par ce même diviseur;

2° Qu'on aura

de sorte que les fractions

ne peuvent jamais différer de la vraie valeur de x que d'une quantité respectivement moindre que

d'où il sera facile de juger de la quantité de l'approximation. En général, puisque fi' > a', y' > [J\ . . . , on aura

d'où l'on voit que l'erreur de chaque fraction sera toujours moindre que l'unité divisée par le carré du dénominateur de la même fraction. -

3° Que chaque fraction approchera de la valeur de x 9 non-seulement plus que ne fait aucune des fractions précédentes, mais aussi plus que ne pourrait faire aucune autre fraction quelconque qui aurait un

moindre dénominateur. En effet, si la fraction ^7» par exemple, approchait plus que la fraction ^-> y' étant > [//, il faudrait que la quantité

^7 se trouvât entre ces deux h et -57; donc

f*' y r< d' y'^y'à' el >0 '

ii-u' — „'-u^

w'-fX^o el >°;

ce qui ne se peut, puisque y, Y' (*» f*' sont ^ es nombres entiers.

tô DE LA RÉSOLUTION

24. Les fractions "j^j ^) ••• peuvent être appelées fractions principales, parce qu'elles convergent le plus qu'il est possible vers la valeur cherchée ; mais, quand les nombres p f q, r, ... diffèrent de l'unité, on peut encore trouver d'autres fractions convergentes vers la même valeur, et qu'on appellera, si l'on veut, fractions secondaires.

Par exemple, si rest >i, on peut, entre les fractions % et ^> qui

sont toutes deux moindres que la valeur de x> insérer autant de fractions secondaires qu'il y a d'unités dans r— i, en mettant successivement i, 2, 3, ..., r— r, au lieu de r. De cette manière, à cause de

y = rjî -h a et y' = r$ + a', on aura cette suite de fractions

?"' fiT^' ïp r +V f 3(3'+ a' ' '"' rp'-ha''

dont les deux extrêmes sont les deux fractions principales — ,» — ,> et dont les intermédiaires sont des fractions secondaires.

Or, si l'on prend la différence entre deux fractions consécutives

quelconques de cette suite, comme entre a £,"*"* et „% — * on trou-

^ ^ ip -f- cl >3p'-b a

vera —r, rr-^n rr; de sorte que cette différence sera toujours

positive et ira en diminuant d'une fraction à l'autre ; d'où il s'ensuit

que, comme la dernière fraction —, est moindre que la vraie valeur de

la fraction continue, les fractions dont il s'agit seront toutes plus petites que cette valeur, et seront en même temps convergentes vers cette même valeur.

On fera le même raisonnement par rapport à toutes les autres fractions principales; et si l'on ajoute à ces fractions les deux fractions 7 et £, dont la première est toujours plus petite et dont la seconde est plus grande que toute quantité donnée, on pourra former deux séries de fractions convergentes vers la valeur cherchée, dont l'une contiendra toutes les fractions plus petites que cette valeur, et dont l'autre contiendra toutes les fractions plus grandes que la même valeur.

Fractions plus petites.

P -f-g aP-4-q 3(3 -4-g r(3-4-a

P'+«' f ap'+a'* Sp'-f-a'' "' r(3'-ha''

d'-h/' sd'-t-y'' 30'4-y' 1 "' , *«'-*- /*

GO

Fractions plus grandes.

i a+i q«+i 3a-f-i ça -f- 1

o a -H i i<x -+- 1 ia-f i qct-\-\

y -»- P 2y-4-(3 3y-i-P sy -f- p

y'+P' 2/+p" 3yVP' T */ + P'

Quant à la nature de ces fractions, il est facile de prouver, comme nous l'avons fait par rapport aux fractions principales : i° que chacune de ces fractions sera déjà réduite à ses moindres termes; d'où il s'ensuit que, comme les numérateurs et lès dénominateurs vont en augmentant, ces fractions se trouveront toujours exprimées par des termes plus grands à mesure qu'elles s'éloigneront du commencement de la série; 2° que chaque fraction de la première série approchera de la valeur de x plus qu'aucune autre fraction quelconque qui serait moindre que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus, petit que celui de la même fraction; et que, de même, chaque fraction de la seconde série approchera plus de la valeur de x que ne pourrait faire toute autre fraction qui serait plus grande que cette valeur et qui aurait un dénominateur plus petit que celui de la même fraction.

En effet, s'il y avait une fraction comme —, plus petite que la valeur de x et en même temps plus approchante de cette valeur que la fraction Tftï'-^A' P ar exemple, en supposant 3p'-f- a'>f*\ il faudrait,

à cause que la fraction ^ est plus grande que la valeur dont il s'agit, que la quantité —, se trouvât entre les deux quantités

donc la quantité

\ pi L •

W+at P' 1

ap'-ha'

devrait être

^ P' 3P'+ ce' ^ p' ( 3p'-*- a! ) ^ p' (3p' + <*')'

donc il faudrait que pL(3p'-h a') — jjl'(3jî 4- a) fût < gr< i, ce qui ne se peut.

Au reste, il peut arriver qu'une fraction d'une série n'approche pas si près qu'une autre de l'autre série, quoique conçue en termes moins simples; mais cela n'arrive jamais quand la fraction qui a le plus grand dénominateur est une fraction principale (n°23).