SUR LA MÉTHODE DE FONTAINE, POUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS

Comme on ne fait point usage de cette méthode, qui est d'ailleurs peu connue, je pourrais me dispenser d'en parler ici; mais le nom de l'Auteur et la manière dont il l'a annoncée m'engagent à en donner une idée abrégée et à examiner les principes sur lesquels elle est fondée. Je la donne, dit-il, pour l'analyse en entier que l'on cherche si inutilement depuis l'origine de l'Algèbre. [Voir les Mémoires de l'Académie des Sciences pour l'année 1747» P- 665.)

1. Cette méthode a deux parties. Dans la première, l'Auteur considère les équations comme composées de facteurs simples, réels ou imaginaires de la forme x±a, x±:a±b\/— 1, et contenant un certain nombre de quantités réelles positives et inégales, a, b, c, H parcourt toutes les combinaisons possibles des différents facteurs qu'on peut former de cette manière, et il cherche, pour chaque système de facteurs, dans les coefficients de l'équation, les conditions qui sont propres à ce système et qui peuvent le distinguer de tous les autres. H forme ainsi des Tables qui contiennent tous les différents systèmes de facteurs et les conditions qui leur appartiennent, de manière qu'une équation quelconque étant proposée, dont les coefficients sont donnés en nombres, on puisse tout de suite reconnaître quel est le système de facteurs dont elle peut être composée. Ainsi Ton saura sur-le-champ combien elle a de racines réelles inégales ou égales, positives ou négatives, et combien elle en a d'imaginaires, avec la forme de chacune des imaginaires.

2. Pour donner une idée plus nette de ce que je viens de dire à ceux qui ne sont pas à portée de consulter le Recueil des Mémoires de Fontaine, je vais rapporter ici la Table des équations du second degré, avec un précis de la méthode par laquelle l'Auteur Ta construite ; ensuite je ferai quelques remarques sur cette méthode.

Dans les formules suivantes, les lettres m> n et a 9 b désignent des nombres ou des quantités quelconques positives, et Ton suppose que a est toujours une quantité plus grande que b.

(a? H- a -h a ^— 1) (x -+- a — a yj— i). . m 2 -an=o

5l , J (x-ha) Ix-hb) m 2 — 4 /l >°

, w im 2 - 4 /l <°

[x-{-a-hbi/— i)[x-h a — bJ—i). . \ ^

(i+4 + a v/~~~î) {x-h b — a^— i). . m 2 -în<o, x 2 -\-mx — n= (jr + fl)(jr-4),

( jt — a) [x — a) m 2 — ^n = o

(j-a + a^-ijfx'-fl-fly'-i).. m 2 — a/i = o I (# — a) (x — ft) m 2 — 4**> o

[x — a-+- 6 V~ ij(* — a — bJ— i). . {

(# — 6 -+- a y / — i) (ar — 6 — a^— i). . ot 2 ~î/i<o, x 2 — mx — n= (x — a) (jch-6),

, On voit d'abord dans cette Table toutes les combinaisons possibles des différents facteurs, qui ne peuvent être ici que

x±a 9 x±b t ou x±a±a^— 1 9 x±a±:b^— i et x±b±a^— i.

Pour savoir à quelle forme d'équations chaque combinaison pouvait

se rapporter, on a développé les produits et on les a comparés aux VIII. a3

équations, en faisant attention que la quantité a doit être plus grande que b. Jusque-là la méthode n'a de difficulté que la longueur du calcul , et tout l'art consiste à trouver les caractères ou, conditions propres à chaque combinaison.

Ces conditions sont de deux sortes : les unes sont données par des équations déterminées, comme

m~— 4/i = o ou m 2 — an = o;

ce sont celles qui ont lieu lorsqu'on suppose que la quantité b devient nulle ou devient égale à a. Elles ne sont pas difficiles à trouver, car, comme ces suppositions détruisent une des deux indéterminées a, 6, en faisant la comparaison des termes résultant du produit des facteurs avec ceux de l'équation, on a une équation de plus qu'il n'y a d'indéterminées, de sorte que, par l'élimination, on parvient nécessairement à une équation de condition; c'est ainsi que les facteurs égaux (x -h a)(œ -h a) donnent la condition

et que les facteurs (.r-ha-4-ay — i) (x -h a — a ^— i ) donnent

m 2 — an = o.

Les autres conditions dérivent de celles-ci, en changeant le signe d'égalité dans celui de majorité ou de minorité. Elles résultent de cette considération que, si une fonction des coefficients m et n est nulle lorsque a = b ou b = o, elle sera plus grande ou plus petite que zéro lorsque a sera plus grand que b ou b plus grand que zéro.

Ainsi, comme le système [x -+- a) (x -h a) peut résulter de celui-ci

[x -+- a) [x -4- 6), en faisant b = a, ou de celui-ci

(x -h a ■+- b y— i)(jt H- a — b y — i),

en faisant b = o, la fonction m- — !\n % qui est nulle pour ce système-

là, ne le Sera plus dans ces deux-ci , et Ton trouve que cette fonction est positive pour le système (x+ a) (x-t-b) et négative pour le système

L'Auteur suppose comme un principe général que la fonction qui est nulle dans le cas de^la coïncidence de deux systèmes sera toujours plus grande que zéro dans l'un et moindre que zéro dans l'autre, et il détermine par un exemple particulier celui des systèmes où elle est positive et celui où elle est négative; mais cette proposition ne peut pas être admise sans démonstration, et il y a même de fortes raisons de douter qu'elle soit vraie en général.

Dans les cas dont il s'agit, on en peut prouver la vérité, car le système (x -f- a) (x -+- b), étant développé, donne

x 2 -\- (a -h b)x + ab;

donc m = a -+- b 9 n = ab, et par conséquent

quantité toujours positive. De même, le système

(x -f- a -+- b v^ï) {x -h a — b \/~) = x 2 -f- iax+ à 1 4- b-

donne m = *a 9 n = a 2 -f- b 2 , et

m 2 — 4fl = — 4 ft2 >

quantité toujours négative. On peut démontrer de la même manière les autres conditions pour les différents systèmes des équations du second degré.

3. L'Auteur a appliqué les mêmes principes et la même méthode aux équations du troisième et du quatrième degré, et il a donné pour ces degrés des Tables semblables à celle que nous venons de rapporter. (Voir le Recueil de ses Mémoires, imprimé en 1764.)

L'étendue de ces Tables augmente en proportion du nombre des combinaisons des différents facteurs, et la recherche des conditions

propres à chaque combinaison ou système devient d'autant plus difficile, qu'il arrive souvent que les conditions qui résultent de l'égalité de quelques-unes des quantités a, b, c, . . . , qui sont censées former une série décroissante, ont lieu pour plus d'un système à la fois, et qu'il est alors nécessaire de trouver des conditions pour distinguer ces mêmes systèmes entre eux.

L'Auteur ne donne aucune règle générale sur cet objet; il se contente d'essayer successivement les fonctions les plus simples des coefficients m 9 n, p 9 ... de l'équation, jusqu'à ce qu'il en trouve une qui soit nulle dans le cas commun à deux systèmes, et qui soit plus grande que zéro dans l'un et plus petite que zéro dans l'autre.

C'est ainsi, par exemple, que, ayant trouvé pour l'équation

x* -+- m x 2 -t- nx -T- p = o

que les deux systèmes

[x + a) (x-h b) [x-\- h) et (x -+- a) [x + a) (jt-h b) ont la même équation de condition

4(/n 2 — 3n) (— 3m/?-r- n 2 ) — [mn — gp) 2 = o,

il cherche une fonction de la forme

Am 2 -f-B/t, ou Am' + B/nn + Cp, ou ...

telle qu'elle soit = o dans le cas commun de a = b, et qu'elle soit > o pour le premier système et <o pour le second; il trouve celle-ci

2/n 3 — gmn -h 27/;,

qui satisfait à ces deux conditions.

Quoique l'Auteur soit parvenu à trouver ces fonctions pour tous les cas des équations du troisième et du quatrième degré, on peut douter qu'il soit possible de les trouver en général dans les équations des degrés supérieurs; du moins il n'est pas démontré qu'il existe toujours

nécessairement des fonctions qui aient ces propriétés; ainsi la théorie peut être aussi en défaut de ce côté.

4. Au reste, on peut trouver directement les conditions précédentes, car, si Ton suppose que l'équation

x 9 -h mx 2 -H nx H- p = o

ait un facteur double (x -+- a) 2 , il n'y aura qu'à diviser le polynôme x* -+- mx 2 h- nx-\-p par x 2 -+- 2 clx -+- a 2 ; on trouvera le quotient x -+- m — 20L et le reste

(#1 — a 2 — im*-\-l{**)x -h/>-f-*a 3 — ma 2 ;

alors il faudra faire séparément

3a 2 — ama-h #1 = 0, î« s - ma 2 -+-/? = o,

d'où l'on tire

mn — qp

Cette valeur, substituée dans la première équation, donne

[mn — 9/>) 2 -+-4( m *-~ ^n) [^ m p — * 2 ) = °»

ce qui est la condition commune aux deux systèmes.

Maintenant, comme le quotient x + m — 2 a forme le facteur inégal de l'équation, on fera

a = b, m — iazzza pour le système [x h- a) ( x -+- 6) [x -+- 6), a = a, m — ia=ib pour le système (x -\- a) [x + a) (x -h b) ;

donc, puisque par l'hypothèse a > 6, on aura

m-a«>« ou m — 3a>o pour le premier système,

m — 3a<o pour le second système.

Mais, en substituant la valeur de <x, on a

d'un autre côté, il est facile de s'assurer que, pour les deux systèmes,

on a

car le système (x -h a) (x -+- b) {x -+- b) donne

m = <n-a6, n = lab -f- 6 2 ,

comme il résulte du développement; donc

m 2 — 3/i = a 2 — iab-hb*=(a — b) 2 ;

et, comme pour l'autre système il n'y a qu'à changer a en 6, on aura

de même

Donc les conditions pour les deux systèmes seront simplement

am J -9mn -k-iyp^o pour le premier,

îm 5 ~9m/ï + a7/)<o pour le second,

comme Fontaine Ta trouvé.

5. Mais les conditions mêmes qui résultent de l'égalité de quelques-unes des quantités a, b, c, ... ne sont pas toujours particulières aux systèmes dans lesquels ces égalités ont lieu, comme Fontaine le suppose, ce qui détruit un des principaux fondements de sa théorie.

Par exemple, il trouve dans le troisième degré que, pour l'équation

x 2 -h m x 2 — nx — p = o 9 la condition

i m 3 — mn — p = o

est particulière au système

et doit le distinguer de tous les autres. Mais j'ai reconnu que cette condition a lieu aussi pour tout système de la forme

qui se rapporte à la même formule d'équation, lorsque a -+- c = 2b, ce qu'on peut aussi prouver a priori.

Ainsi, si Ton a l'équation

x* + 1 x 2 — Sx — 6 = o,

comme elle satisfait à la condition dont il s'agit, puisque, en faisant m = 3, n = 5, p = 6, on a

on pourrait conclure de la Table de la page 546 du Recueil des Mémoires de Fontaine que cette équation a trois facteurs de la forme

(j?-fl)(i + a+i y— 1) (x 4- a — b y — i),

et que par conséquent elle a deux racines imaginaires, tandis qu'elle a au contraire les trois facteurs réels

On doit dire la même chose de la condition