inp*q — 3 3 .7 3 /?* -4- * 8 . 5« q* = o

que Fontaine trouve (p. 568) pour le caractère commun des deux systèmes

(x -h a) (x — b) (x — b +- c ^ — i)(x — b — c y— 1), (x + a) [x — c) {x — c -h byj— \){x — c — b y — 1)

appartenant à la formule

x s — - nx 2 -¥- px — q = o,

Cette condition n'est pas particulière à ces deux systèmes; elle a lieu aussi dans tout système de la forme

appartenant à la même formule d'équations (p. 55a), pourvu que Ton ait b -f- d= 2c; c'est ce qu'on peut trouver a priori, mais ce détail nous mènerait trop loin.

6. On peut conclure de ces observations qu'il n'est pas toujours possible de trouver les conditions qui distinguent chaque système de facteurs de tous les autres, en ne considérant dans les quantités a, b,c t ... qui entrent dans ces facteurs d'autres rapports que ceux d'égalité ou d'inégalité, suivant la théorie de Fontaine. Mais, quand on le pourrait, le travail pour les trouver dans les degrés au-dessus du quatrième serait immense et ne serait pas même utile pour la résolution numérique des équations, comme nous allons le montrer en examinant la seconde partie de la méthode.

7. Dès qu'on aura trouvé, comme l'Auteur le suppose, la forme de chaque facteur de l'équation proposée, il n'y aura plus qu'à déterminer les valeurs des quantités a, 6, c, ... qui entrent dans ces facteurs, et qu'on sait être toutes positives et inégales; et voici comment il s'y prend. Il développe les produits des facteurs, et, les comparant à l'équation proposée, il a autant d'équations qu'il y a d'indéterminées a, b, c, ... ; il élimine toutes ces quantités, hors deux qu'il se propose de déterminer : il a ainsi deux équations entre ces deux quantités; il fait la plus grande de ces quantités = Ra et la plus petite = Rp, et, éliminant R, il a une équation homogène en a et p, dans laquelle il substitue xy -t-y pour a et zç -+- u pour p.

Il suppose d'abord x = i , y = o, z = o, u= i; il a une équation en <p, dans laquelle il fait successivement ç= i, a, 3, ... jusqu'à ce qu'il trouve deux résultats de signe contraire ; alors il fait ç = A, A étant le plus petit des d.eux nombres qui ont donné des résultats de

signe contraire ; donc

11 fait ensuite x = A, y =■ i , z = i , u = o , et, dans l'équation résultante en ç, il cherche de même deux substitutions qui donnent des résultats de signe contraire; nommant B le plus petit des deux nombres,

il fait 9 = B; donc

« = AB+i, (3 = B.

Il continue de la même manière en faisant x égal à la dernière valeur de a, y à l'avant-dernière, z à la dernière valeur de p et u à l'avant-dernière.

Substituant ensuite successivement ces valeurs de a et p dans l'expression rationnelle de R qui résulte des deux équations, on a celles de a et b, d'autant plus exactement que les opérations sur a et p ont été poussées plus loin.

Pour en donner un exemple, je vais rapporter celui que Ton trouve dans les Mémoires de l'Académie de *747t p. 672.

Soit l'équation

comme elle se rapporte à la formule x 2 — mx -+- /i, en faisant m = 3, n = 1 , si l'on examine les conditions relatives à cette formule dans la Table donnée ci-dessus, on trouve que celle-ci

m 2 — 4 /| >° a lieu; d'où l'on conclut que les deux facteurs sont de la forme

On a donc, en développant, a -h b = 3 et ab = 1 . Soient a = Ra, b = Rp; on aura R (a -4- p) = 3, R 2 ap= 1; donc

savoir

où l'on fera <x. = x<p -*-y et p = 29 -h w.

vin. *4

Soient :

i° x = i , yz= o, z = o, u = i ; donc a = 9, p = i ; substituant ces valeurs, on a

<p 2 — 7 cp h- i = o;

faisant 9=1,2,... jusqu'à 9 = 6, on a des résultats négatifs; mais 9 = 7 donne le résultat 1, donc 9 = 6; donc

az=6, fl=i, R = -

2 a? = 6 f j'=i f s=i f w = o; donc a = 69 -h 1 , {J = 9, et l'on a

l'équation

Ici 9 = 1 donne le résultat — i, 9 = 2 donne 9; donc 9 = 1, et

de là

3° 07 =1 7, ^ = 6, z = 1 , m = 1 ; donc a = 79 + 6, fi = 9 -+- 1 , et, substituant, on a l'équation

Faisant 9 = 1,2,... jusqu'à 9 = 5, on a des résultats négatifs; mais 9 = 6 donne le résultat 1, donc 9 = 5; et de là

a = 4i, (3 = 6, R^tz*

et ainsi de suite.

8. Telle est la méthode d'approximation que Fontaine a donnée sans démonstration dans son Mémoire de 1747 et qu'il a redonnée de même dans le Recueil de ses Mémoires. Elle suppose, comme l'on voit, que l'on peut toujours, par la substitution des nombres 1, 2, 3, ... au lieu de 9 dans les différentes équations en 9, trouver deux nombres qui donnent des résultats de signe différent, ce qui, par ce que nous avons démontré dans le Chapitre I (n° 5 et suiv.), n'a lieu qu'autant que ces

équations ont des racines positives dont la moindre différence est plus grande que l'unité. D'après cette considération, il est facile de trouver des exemples où la méthode de Fontaine sera en défaut. Soit, par exemple, l'équation

jr 3 — i x 2 — i3x -+- 60 = o,

qui se rapporte à la formule x % — mx 1 — nx -h p 9 en faisant m = 2, n = a3, p = 60. La Table de la page 547 du Recueil des Mémoires de Fontaine donne ces trois conditions

!\\ m* 4- 3/i 2 ) [n 2 +- Imp) — [ — mn-\-gp) 2 >o, mn — /j<o, m 2 — n<o pour le système

lesquelles se trouvant remplies ici, il s'ensuit que ce système est celui de l'équation proposée.

Pour trouver les trois quantités positives et inégales a, b 9 c, . . . , on comparera le produit des facteurs

x*~+- [a — b — c)x 2 -h ( — ab — ac -h bc)x ■+• abc

avec l'équation donnée; on aura ces trois équations

a — b — c=.— 1, — ab — ac •+- bc = — i3, abc = 60.

Éliminant c, on aura c = a —6+2, et les deux autres équations

deviendront

a- — ab -+- b 2 -+- 1 ( a — b ) = *3,

(a — b) ab -h lab = 60;

et, faisant a — Ra, b = Rp, on aura

R 2 (a 2 --a(3-i-jî 2 )-h2R(a--(3) = *3, R 8 (a - (3) a(3 ■+ *R 2 a(3 = 60.

Enfin, éliminant R, on aura une équation homogène du sixième degré en a et p, réductible à cette forme

[^o(« 2 +(3 2 )--4ia(3][i5(a 2 -+-(3 2 )--34 a (3][i^(a 2 4-P 2 )4-25ap]=:o.

Maintenant on fera, suivant Fontaine, a = #9 -h y, p = sç •+- u, et Ton supposera dans la première opération x= i 9 y= o, 2 = 0. k= 1,

ce qui donne

l'équation sera donc

et il faudra faire successivement 9 = 1, 2, 3, . .. jusqu'à ce que Ton trouve deux valeurs de 9 qui donnent des résultats de signe contraire, ce qui n'arrivera jamais, les résultats étant toujours positifs, comme il est facile de s'en convaincre par la simple inspection de l'équation. Ainsi la méthode sera en défaut dès la première opération.

Il est aisé de voir qu'on ne peut avoir des résultats négatifs qu'en donnant à 9 une valeur intermédiaire entre 1 et 2. Par exemple, en

faisant © = -» on trouve le résultat — ^-^r — ; mais cela est contraire

a l'esprit de la méthode de Fontaine, qui suppose que a et p sont toujours des nombres entiers. D'ailleurs, si l'on voulait admettre pour 9 des nombres fractionnaires, il serait bien plus simple d'opérer immédiatement sur l'équation proposée, en cherchant deux valeurs de l'inconnue qui donnent des résultats de signe contraire; mais la connaissance de la forme des facteurs, qui est l'objet des Tables de Fontaine, devient inutile pour cette recherche, et la difficulté du problème demeure en son entier.

Nous remarquerons encore que, puisque dans la première opération

on fait 9 = |=r-, l'équation en 9 sera toujours, généralement parlant, d'un degré plus haut que l'équation proposée, car, si a et 6 sont deux racines réelles, les racines de l'équation en 9 seront tous les quotients qu'on peut former en divisant une racine par l'autre; de sorte que, si m est le degré de la proposée, m[rn— 1) sera celui de l'équation en 9, laquelle sera d'ailleurs nécessairement du genre des réciproques.

Mais si, a étant une racine réelle, b était la partie réelle de deux

racines imaginaires, alors r serait le quotient d'une racine divisée par la demi-somme de deux autres racines, et l'équation en 9 serait du degré — *

9. Au reste, comme l'équation en a et jî que Ton trouve par le procédé de Fontaine est nécessairement une équation homogène, elle

n'a, à proprement parler, qu'une seule inconnue ^ et la substitution

de x(f -h y à la place de a et de £9 -+- u à la place de £ revient à substi-

tuer immédiatement — — — à la place de l'inconnue de cette équation;

' or cette formule est l'expression générale des fractions convergentes qui résultent d'une fraction continue, dans laquelle 9 représente successivement les dénominateurs de cette fraction, et -» - sont les deux

fractions successives qui précèdent la fraction ^ — -> comme il résulte

de la théorie connue des fractions continues. Ainsi il parait que Fontaine a cherché à exprimer le rapport entre les quantités a et p, qui est le même que celui entre les quantités a et 6, par les fractions convergentes dépendantes des fractions continues; mais la difficulté

consiste à déterminer les valeurs de 9 lorsque la fraction r n'est donnée que par une équation. [Voir ci-dessus l'Article IV (n°78).]

Je me suis un peu étendu sur l'analyse de la méthode de Fontaine, parce que je ne connais jusqu'à présent que deux Auteurs qui en aient parlé, d'Alembert dans Y Encyclopédie, au mot Équation, et Condorcet dans Y Histoire de l'Académie des Sciences pour les années 1771 et 1772, et que l'un et l'autre se sont contentés de jeter des doutes sur cette méthode sans donner les moyens de l'apprécier.

NOTE YIII.