DE LA RÉALITÉ DE TOUTES LEURS RACINES

La recherche des limites des racines est le premier problème qui se présente dans la théorie des équations, après celui de leur résolution générale. Comme cette résolution est bornée jusqu'ici au quatrième degré, et comme il est démontré par la considération des fonctions des racines que, si elle est possible au delà de ce degré, ce ne peut être qu'en résolvant des équations d'un degré beaucoup plus élevé, ce qui donnerait des expressions intraitables par leur complication, on peut dire que c'est du problème des limites que dépend maintenant tout l'art de résoudre les équations. En effet, dès qu'on a trouvé des limites particulières pour chaque racine, on peut les resserrer par des substitutions successives et approcher ainsi de la valeur de la racine autant que Ton veut.

1. On a senti avant la fin du xvn e siècle la nécessité de s'occuper de ce problème, et, dès qu'on eut trouvé que l'équation formée en multipliant chaque terme d'une équation donnée par l'exposant de son inconnue renferme les conditions de l'égalité des racines de la proposée, on découvrit bientôt que les racines de cette même équation ainsi formée étaient les limites de celles de l'équation primitive. On sait que Hudde est l'auteur de la première de ces deux importantes découvertes, et je crois que la seconde est due à Rolle, qui l'a donnée dans son Algèbre, imprimée en 1690, et qui en a fait la base de sa méthode des cascades. Suivant cette méthode, les limites des racines

d'une équation dépendent d'une équation d'un degré inférieur d'une unité, et les limites des racines de celles-ci dépendent de même d'une autre équation d'un degré moindre d'une unité, et ainsi de suite ; de sorte que, pour parvenir aux limites des racines de l'équation proposée, il faut résoudre des équations différentes et successives, qui vont toujours en baissant d'un degré. (VoirX Analyse démontrée de Reyneau, où cette méthode est exposée avec beaucoup de détail.) Mais la longueur du calcul qu'elle demande et l'incertitude qui naît des racines imaginaires l'ont fait abandonner depuis longtemps, et l'on aurait peut-être été obligé de renoncer à avoir une méthode générale pour résoudre les équations si l'on n'avait pas trouvé, pour déterminer les limites des racines un moyen indépendant de la résolution de toute équation, comme on l'a vu dans le Chapitre I et dans la Note IV.

La considération des maxima et minima des lignes paraboliques a conduit Stirling à une méthode pour déterminer le nombre et les limites des racines réelles du troisième et du quatrième degré, laquelle a été généralisée par Euler dans son Calcul différentiel. Cette méthode revient à celle de Rolle dans le fond; mais elle embrasse également les racines réelles et les racines imaginaires, et pourrait fournir des formules générales pour distinguer ces racines dans les équations du cinquième degré, au moyen des racines du quatrième.

La même considération a fait trouver à De Gua une méthode pour déterminer les caractères de la réalité de toutes les racines d'une équation quelconque. (Mémoires de V Académie des Sciences, année 1 74 ï •)

Nous avons vu que ce problème peut se résoudre aussi par le moyen de l'équation dont les racines sont les carrés des différences entre les racines de l'équation donnée; mais cette solution est fondée sur la forme même des racines imaginaires, au lieu que la théorie de De Gua est indépendante de cette forme , et sa méthode a de plus l'avantage de n'exiger que le calcul d'équations de degrés inférieurs à celui de l'équation proposée.

Comme ces différentes méthodes sont intéressantes par elles-mêmes,

et encore plus par l'usage dont elles peuvent être dans plusieurs occasions, j'ai cru qu'on serait bien aise de les trouver ici réunies et déduites d'une même théorie, fondée uniquement sur les premiers principes de l'analyse des équations.

2. Soit en général ¥{x) une fonction rationnelle et sans diviseur, telle que

x m -+- kx m ~* + Bx m - 2 +Cx m -* + . . .-+-V;

si l'on nomme a, (J, y, ... les racines réelles de l'équation

c'est-à-dire les valeurs de x qui peuvent satisfaire à cette équation, on aura l'équation identique

F (*) = ( x - ol) ( x - (3) ( x - y) . . . Xf[x),

/(x) étant une pareille fonction de x 9 mais d'un degré moindre que /w, et qui ne pourra jamais devenir nulle ni négative, quelque valeur qu'on donne à x (Note II).

Cette équation devant avoir lieu quelle que soit la valeur de x t elle aura lieu aussi en mettant x -f- i à la place de x, quelle que soit la valeur de i; donc, développant les fonctions suivant les puissances de i, il faudra que tous les termes affectés d'une même puissance de i se détruisent mutuellement, ce qui donnera encore autant d'équations identiques qu'on pourra trouver ainsi par le développement actuel. Mais, comme ces nouvelles équations ne sont autre chose que celles que nous avons appelées dérivées dans la Théorie des/onctions, nous emploierons ici, pour plus de simplicité, la notation et l'algorithme de cette théorie, et l'application que nous allons en faire aux équations fournira un nouvel exemple de son usage dans l'Algèbre, dont elle n'est proprement qu'une branche.