VIII. p

D'où il s'ensuit que l'équation F"(j?) = o, dans laquelle

¥"[x) = m(m — i) a ,,w ~ 2 + (m — i ) (m — 2) Ajr m ~ 3

-H (m — a) (m — 3) Bx™" 4 -f-. . .4- *S,

aura aussi des racines réelles qui tomberont entre les valeurs des racines * f et p, , p, et y, , . . . , et ainsi de suite.

Il résulte de ces formules différentes conséquences que nous allons développer.

Si l'équation primitive F(x) = o a deux racines égales, l'équation dérivée ¥'(x) = o aura une racine qui, devant tomber entre ces deux, leur sera encore égale; par conséquent, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des deux polynômes ¥{x) etF'(a?), ce qui est d'ailleurs évident, parce que le polynôme ¥(x) contenant le facteur carré (x — a) 2 , le polynôme ¥\x) contiendra encore le facteur simple x — a. Ainsi l'équation ¥\x) = 6 renferme la condition pour qu'une des racines de l'équation ¥{x) = o soit double.

On prouvera de la même manière que, si l'équation ¥(x) = o a trois racines égales, le facteur qui contiendra cette racine sera un diviseur commun des trois polynômes F(a?), F'(a;) et T"(x), et que les deux équations ¥'(x) = o, F"(#) = o contiennent les conditions pour que l'équation ¥(x) = o ait trois racines égales, et ainsi de suite, ce qui donne les théorèmes connus sur les racines égales.

5. Considérons d'abord les racines réelles de l'équation ¥{x) = o, en tant qu'elles peuvent être positives et négatives, et supposons qu'elle en ait un nombre p de positives et un nombre q de négatives. Donc l'équation ¥\x) = oaura nécessairement p — 1 racines réelles positives, q — 1 racines réelles négatives, et de plus une racine réelle qui pourra être positive ou négative, car, puisque entre deux racines consécutives de l'équation ¥{x) = o il en tombe nécessairement une de l'équation ¥'{x) = o, il en tombera p — 1 positives entre les p positives, q — 1 négatives entre les q négatives, et une entre la plus petite positive et la première négative, qui pourra être positive ou négative.

Donc, si l'équation V(x) = oa plus de racines positives que l'équation F'(x) = o, elle ne peut en avoir qu'une de plus, et, si elle a plus de racines négatives que celle-ci, elle n'en peut avoir qu'une de plus.

Or, comme toute équation a toujours un nombre pair ou impair de racines positives, suivant que son dernier terme est positif ou négatif (Note II), il s'ensuit que, si les derniers termes sans x des équations Y(x) = o, Y\x) = o sont de même signe, l'équation F(a?) = o ne pourra pas avoir une racine positive de plus que l'équation F'(x) = o; donc, dans ce cas, elle* ne pourra avoir qu'une racine négative de plus que cette dernière équation, et par conséquent aussi elle ne pourra avoir une racine positive de plus que celle-ci que dans le cas où les derniers termes des mêmes équations seront de signe difTéren .

Donc, en général, l'équation ¥(x) = o ne pourra avoir qu'une racine positive ou négative de plus que l'équation F'(a?) = o, suivant que leurs derniers termes sont de signe différent ou de même signe. Par la même raison, l'équation ¥'(x) = o ne pourra avoir qu'une racine positive ou négative de plus que l'équation F" (a?) = o, suivant que leurs derniers termes seront de signe différent ou de même signe, et ainsi de suite.

Or on voit, par les formules ci-dessus, que le dernier terme de l'équation ¥(x) - oestV, que le dernier terme de l'équation F'(a?) = o est T, que le dernier terme de l'équation Y"(x) = o est aS, et ainsi de suite; de sorte que, en prenant ces équations à rebours,

La [m — i ) 5éme aura pour dernier terme 2.3. . .(m — 1 ) A, La (m — 2) ,éme » 2.3. ..(m — 2) B,

La ( m 3)i*me „ 2.3. ..(m — 3)C,

et ainsi de suite. Mais la (m — i)" œe équation, ou ¥ {m - i) (x) = o, devient