mx "+* * »2.3. . .[m — i)A = o

qui a, comme l'on voit, la racine positive ou négative ? suivant que

A est négatif ou positif. Donc la {m — 2) ïhne équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que celle-ci qu'autant que B sera de différent ou de même signe que A. De même, la (m— 3) iùme

équation ne pourra avoir une racine positive ou négative de plus que la (m — a) ième qu'autant que C sera de différent ou de même signe que B, et ainsi de suite.

D'où Ton peut conclure que l'équation F( o?) = o, ou

x» l -+- kx m ~* -f-B.r / »- 2 -T-C.r'»- 3 -h.. .-f- V = o,

ne peut avoir plus de racines positives ou négatives qu'il y a dans cette équation de termes consécutifs de différent ou de même signe, c'est-kdire que de variations ou de permanences dé signe; par conséquent, si l'équation a toutes ses racines réelles, elle aura précisément autant de racines positives que de variations et autant de négatives que de permanences.

C'est là le fameux théorème de Descartes, que les Anglais attribuent à Harriot, et dont on a différentes démonstrations données par De Gua dans les Mémoires de Paris, par Segner et iEpinus dans ceux de Berlin, par Ksestner dans le Commentaire sur V Arithmétique de Newton, etc. J'ai rapporté la précédente parce qu'elle découle naturellement de notre analyse; cependant la plus simple de ces démonstrations est celle que Segner a donnée dans les Mémoires de Berlin de l'année 1756. Elle consiste simplement à faire voir qu'en multipliant une équation quelconque par x — a on augmente d'une unité le nombre des variations de signe, et qu'en la multipliant par a? + aon augmente aussi d'une unité le nombre des permanences, quelle que soit la valeur des coefficients de l'équation.

6. Nous allons considérer maintenant les racines de l'équation Y{x) = o comme réelles ou imaginaires.

Soient, comme ci-dessus, a, (î, y, ... les racines réelles de l'équation F(a?) = o f et*,, p lf y,, ••• les racines réelles de l'équation F'(a?) = o, ces racines étant rangées par ordre de grandeur. Je dis que des racines a, p t y, ... il ne peut y en avoir qu'une qui soit plus grande que a Jt qu'une qui tombe entre a, et p, f qu'une qui tombe entre p, et y,, et ainsi de suite, et enfin une seule plus petite que la plus petite des

quantités a,, p,, y,, . ..; car, si a et p, par exemple, étaient à la fois plus grandes que a, , comme entre les deux racines a et p il doit tomber nécessairement une racine de l'équation ¥'(x) = o, cette racine serait alors plus grande que a, ; donc a, ne serait plus la plus grande des racines de ¥'(x) = o, comme on le suppose. De même, si deux racines p et y tombaient à la fois entre les deux a, et p,, comme entre p et y il doit nécessairement tomber une racine de l'équation ¥'{x) = o, cette racine tomberait aussi entre a, et p,, contre l'hypothèse, puisque celles-ci sont supposées se suivre relativement à leur grandeur, et ainsi de suite. Enfin, si plusieurs des racines a, (3, y, ... se trouvaient plus petites que la plus petite des racines a,, p,, y,, ..., comme il tomberait nécessairement entre elles des racines de l'équation ¥'{x) = o, ces racines seraient donc encore plus petites que la plus petite des mêmes racines a,, p,, y,, ..., ce qui ne se peut. Or, puisqu'on a en général

il est clair qu'en substituant a, au lieu de x> si aucune des racines a, p, y, ... n'est plus grande que a,, la'valeur de ¥{x) sera positive, et, si la seule racine a est plus grande que a |f la valeur deF(a?) deviendra négative, puisque dans le premier cas tous les facteurs simples seront positifs, et que dans le second il n'y en aura qu'un de négatif, le polynôme f{x) conservant toujours une valeur positive.

Supposons ensuite qu'on substitue p, au lieu de x f et, si aucune des racines a, p, y, ... ne tombe entre o^ et p,, cette substitution donnera une valeur de ¥(x) de même signe que la substitution de a, ; mais elle donnera une valeur de signe contraire si une des racines tombe entre a, et p,. Car il est visible que tout produit, comme (a, — a) (p, — a), est toujours nécessairement positif tant que la quantité x est à la fois plus grande ou plus petite que chacune des quantités «,, p l9 qu'au contraire il est nécessairement négatif si la quan* tité a se trouve entre les deux quantités a, et p,, c'est-à-dire plus grande que l'une d'entre elles et plus petite que l'autre. Or la substi-

tution de a, au lieu de x dans ¥{x) donne

(«i-«)(«i — P)(«i-y)...X/(«i), et la substitution de p, au lieu de x dans la même fonction donne

donc le produit de ces deux quantités, savoir la valeur de F(ot,) x F(p,), sera de la forme

Donc ce produit sera positif si aucune des quantités a, p, y, ... ne tombe entre les quantités a |f p,, et il sera négatif si une seule des quantités a, p, y, ... tombe entre les quantités a,, p,, puisque les quantités /(a,) et/(p,) sont toujours essentiellement positives; par conséquent, les valeurs de F(a, ) et de F(p 4 ) seront de même signe dans le premier cas et de signe différent dans le second.

On démontrera de la même manière que la substitution dey, au lieu de x dans ¥(x) donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à celui de la substitution de p,, suivant qu'aucune des racines a, p, y, ... ne tombera entre a, et y, ou qu'il en tombera une, et ainsi de suite.

Enfin, si Ton désigne paru, la dernière en grandeur des racines a,, P«, y n •••» on trouvera, par l'expression de ¥(x) en facteurs, que le résultat de la substitution de u, au lieu de x dans ¥(x) sera positif ou négatif, suivant qu'aucune des racines a, p, y, . . . ne sera plus petite que \>i ou qu'il y en aura une plus petite que u 4 , le nombre de ces racines étant pair, et que, lorsque ce nombre sera impair, le même résultat sera au contraire positif ou négatif, suivant qu'une des mêmes racines sera plus petite que u, ou qu'aucune d'elles ne sera moindre que u,. Or, comme le nombre des racines imaginaires est toujours pair, le nombre des racines réelles a, p, y, ... de l'équation F(o;) = o sera nécessairement pair ou impair, suivant que le nombre total des

racines, c'est-à-dire le degré m de l'équation, sera lui-même pair ou impair.

7. On pourra donc toujours juger de la nature des racines d'une équation quelconque de degré m, F(a?) = o, par celles de l'équation dérivée T'(x) = o, qui est toujours d'un degré moindre d'une unité, car, ayant les racines réelles a,, p,, y,, ...,i», de cjelle-ci, qu'on suppose rangées par ordre de grandeur, il n'y aura qu'à les substituer successivement au lieu de x dans l'équation proposée; et l'on en conclura :

i° Qu'elle aura ou n'aura pas une racine plus grande que a,, selon que F(a,) sera < ou >o;

2° Qu'elle aura ou n'aura pas une racine comprise entre a, et p |f selon que F(p<) sera de signe différent ou de même signe que F(a,);

3° Qu'elle aura ou n'aura pas une racine comprise entre p, et y,, selon que F(y<) sera de signe différent ou de même signe que F(p 4 ), et ainsi de suite ;

4° Et qu'enfin elle aura ou n'aura pas une racine plus petite que y,, selon que u, sera positif ou négatif dans le cas de m impair, et négatif ou positif dans le cas de m pair.

Ainsi l'on connaîtra par ces règles non-seulement le nombre des racines réelles de la proposée, mais encore leurs limites, et, si l'on veut compléter ces limites à l'égard des racines plus grandes que a, ou plus petites que u<, il n'y aurait qu'à chercher encore, par les méthodes du Chapitre IV (n°12), les limites des racines positives et des racines de l'équation proposée.

Nous remarquerons ici, à l'occasion des règles données dans cet endroit d'après Newton et Maclaurin pour trouver ces limites, que Rolle les connaissait déjà, comme on le voit par les Chapitres V et VI du second Livre de son Algèbre.

8. Nous avons supposé jusqu'ici que l'équation proposée pouvait avoir des racines imaginaires mêlées avec les réelles; examinons présentement ce qui doit résulter de la supposition que toutes ses racines soient réelles.

Il est d'abord évidenl que l'équation ¥(x) = o du degré m aura m racines réelles et que l'équation dérivée F'(a?) = o du degré m — i aura aussi nécessairement m — i racines réelles, puisque, entre deux racines réelles consécutives de l'équation F (a?) = o, il tombe toujours une racine réelle de l'équation F' (a?) == o. Par la même raison, la seconde équation dérivée F"(a?) = o aura aussi nécessairement toutes ses racines réelles, et ainsi de suite.

Ainsi la première condition pour qu'une équation ait toutes ses racines réelles est que ses équations dérivées aient aussi toutes leurs racines réelles; mais celles-ci pourraient avoir toutes leurs racines réelles sans que l'équation primitive en eût aucune.

Supposons donc que les m — i racines a,, p M y,, ... de l'équation F'(x) = o soient toutes réelles, et voyons quelles sont les conditions nécessaires pour que les m racines a, (J, y, . . . de l'équation F(a?) = o soient aussi nécessairement réelles. Puisque nous avons démontré, en général, que les racines réelles de l'équation F(x) = o ne peuvent tomber plus d'une à la fois dans chaque intervalle entre deux racines consécutives de Péquation F'(x) = o, et qu'il ne peut y en avoir aussi qu'une plus grande et une plus petite que la plus grande et la plus petite de cette équation, il est encore évident que, lorsque ses racines sont toutes réelles et au nombre de m, elles doivent nécessairement être telles que a soit plus grande que a,, que p tombe entre a, et p t , que y tombe entre p, ety lf et ainsi de suite. Au contraire, si elles n'étaient pas toutes réelles, comme le nombre des réelles ne pourrait alors surpasser m — 2 et serait par conséquent moindre que celui des racines <t i9 p,, y,, ..., il est visible que la même disposition ne pourrait plus avoir lieu et qu'il y aurait nécessairement quelque intervalle entre ces dernières racines dans lequel il ne tomberait aucune de celles de l'équation ¥(x) = o, ou au moins qu'aucune de celles-ci ne serait plus grande ou plus petite que la plus grande ou la plus petite des racines a,,

Donc, par ce qui a été démontré ci-dessus, si l'on substitue successivement au lieu de x dans F (a?) toutes les racines a,, P,, y,, . . . , on

aura nécessairement dans le premier cas

et, dans le second cas, il y aura une ou plusieurs de ces conditions qui n'auront pas lieu.

D'un autre côté, en substituant successivement les mêmes racines a it P«» Y«» • • • dans k seconde fonction dérivée ¥"(x) 9 on aura toujours, comme on Ta vu plus haut,

F"(aO>o, F*(p,)<o f F"(y,)>o, ....

Donc, en combinant ces conditions avec les précédentes, on en conclura que, lorsque les racines de l'équation donnée F(ar) = o sont toutes réelles, les quantités

F(«,)XF(«.). 'PlMxHp,), F(y,)xP(y,). ...

seront toutes négatives, et qu'au contraire il y en aura nécessairement de positives si l'équation donnée a des racines imaginaires. On aurait le même résultat si Ton considérait les quotients