F(*,) F(PQ

et en général des fonctions de la forme

M[F(«0MF''(«,)]\ M[F(p.)>[F"(p l )]*, ....

M étant un coefficient positif ou une fonction quelconque essentiellement positive, et [/., v des nombres entiers impairs positifs ou négatifs. Or, si l'on fait

F(*)xF*(*)=,r, ou, en général, M[F(*)>x[F*(*)] v =.r. et qu'on élimine ensuite x au moyen de l'équation

dont les racines sont a, , p, , y, . . . . , on aura une équation en y du même VIII. 26

degré que cette équation, et dont les racines seront les valeurs de y qui résulteraient de la substitution successive des racines a |9 p |9 Y f • ... à la place de x. Donc, si ces valeurs sont toutes négatives, l'équation en y n'aura que des racines négatives» et, par conséquent, tous ses termes auront le signe -h. Et réciproquement, si tous les termes de cette équation ont le signe +, elle n'aura que des racines négatives, et les valeurs de y seront toutes négatives.

9. On peut conclure de là que les caractères de la réalité des racines de l'équation F(x) = o sont que l'équation dérivée

ait toutes ses racines réelles, et que l'équation en y résultante de l'élimination de x au moyen de cette dernière équation et de l'équation

F(jt)xF'(*)=j- ou M[F(*)>[F"(*)] v =r

ait tous ses termes positifs.

En appliquant les mêmes raisonnements à l'équation dérivée Y\x) = o, on en conclura aussi que les caractères de la réalité de ses racines sont que la seconde équation dérivée

ait toutes ses racines réelles, et que l'équation en y résultante de l'élimination de x par le moyen de celle-ci et de l'équation

F(jr)xF"(*)=r

ait tous ses termes positifs, et ainsi de suite.

Donc enfin, pour avoir tous les caractères de la réalité des racines de l'équation F (a?) = o :

i° On fera

j- = F(*)xF*(*),

et l'on éliminera x au moyen de l'équation

on aura la première équation en y.

2 On fera

r=F'(*)xP i W,

et l'on éliminera x au moyen de l'équation

on aura la seconde équation en y.

3° On fera

r =FV)xF"(4

et l'on éliminera x au moyen de l'équation

on aura la troisième équation en y, et ainsi de suite.

Ces équations en y seront au nombre de m — 1 si l'équation primitive F (a?) = o est du degré m, parce que la m ièmc fonction dérivée de ¥(x) sera constante et ne contiendra plus x.

10. Gela posé, les caractères de la réalité des racines de l'équation Y(x) = o se réduiront à ce que tous les termes de ces différentes équations en y soient positifs, c'est-à-dire du même signe que le premier dans chaque équation.

Or il est aisé de voir que, l'équation F (a:) = o étant du degré m 9 les fonctions dérivées F(a?) f F"(a?), . . . seront successivement des degrés m — 1, m— 2, . .., et que les équations en y seront aussi de ces mêmes degrés ; elles fourniront, par conséquent, chacune autant de conditions, de sorte que le nombre total des conditions sera

(m — i) 4- (m — 2) -f- [m — 3) h-..., ou h-^4-3-h...+ (m — 1} = — -•

Nous avons déjà vu (Ghap. V, n° 28) qu'on peut déduire les caractères de la réalité de toutes les racines d'une équation de son équation des différences, laquelle doit avoir pour cela tous ses termes alternativement positifs et négatifs, ce qui donne autant de conditions qu'il y a d'unités dans le degré de cette équation ; de sorte que, m étant le

degré de l'équation proposée, m ' m ~" 'J sera le nombre des conditions

nécessaires pour la réalité de toutes les racines. Ainsi les deux méthodes donnent le même nombre de conditions, ce qui est d'autant plus remarquable que, dans les équations du troisième et du quatrième degré, les conditions de la réalité des racines sont réductibles a un moindre nombre, comme on Ta vu dans le Chapitre cité (Art. III).

Mais la méthode précédente a cet avantage, que les conditions trouvées pour la réalité des racines des équations d'un degré quelconque peuvent servir pour tous les degrés plus élevés, ce qui n'a pas lieu à l'égard de celles qui résultent des équations des différences. Ainsi l'on pourrait facilement construire des Tables qui contiendraient successivement les caractères de la réalité de toutes les racines, en commençant par l'équation du second degré, et remontant successivement aux équations plus élevées.

1 1 . Pour donner un essai de ces Tables, nous commencerons par la fonction la plus simple de x, qui est œ° ou i , que nous désignerons par X, et nous remonterons successivement aux fonctions primitives, que nous désignerons par X /f X //f X m , . . . , en sorte que X sera la fonction dérivée de X /f X, la fonction dérivée de X ff , et ainsi de suite. Nous aurons ainsi, en multipliant ces fonctions par les nombres a, 3, 4t • •• pour éviter les fractions, et ajoutant successivement les constantes

i.3X m = x* + 3Ax*+3Bx -+- C, a.3.4X lv = x* -4- 4 A* 3 -h 6B* 2 -h 4Cx -4- D,

Maintenant, pour l'équation du second degré

x*-h ikx H- B= o,

on fera

j = iXX„ = x 2 -H sAx-H B,

et Ton éliminera x au moyen de l'équation

X, = o, ou x 4- A = o ;

on aura l'équation en y

y-hk* — B = o.

sera la condition de la réalité des racines de l'équation proposée. Pour l'équation du troisième degré

x* 4- 3 Ax* 4- 3Bx 4- C = o,

on aura d'abord la condition précédente; ensuite on fera t y=2.3X,X„, savoir

y — [x 4- A) [x* 4- 3A* 2 4- 3Bx 4- C) = x* 4- 4Ax» 4- 3(A*4- B) j?«4- (3AB 4- C)* 4- AC,

et l'on éliminera x au moyen de l'équation

X„ = o, ou ar 2 4- ^Aor4- B = o;

on trouvera cette équation du second degré

/* 4- 2 ( ka — 6)^ 4- a 2 B — aa6A 4- 6 2 = o,

en faisant pour abréger

a=>xk* — 3AB4-C, 6 = A*B-*B* 4-AC;

ainsi l'on aura de plus ces deux conditions

Aa — 6>o, a 2 B — aa6A4-6 a >o.

Pour l'équation du quatrième degré

on aura d'abord les trois conditions précédentes; ensuite on fera

y = (x* 4- i kx 4- B) {x* 4- 4A#» 4- 6Bx 2 4- 4Car 4- D),

et, éliminant x au moyen de l'équation

X ir =o ou * s -h3ÀJ: 2 -H3Bx-hC = o,

on aura une équation en y du troisième degré, qui, étant représentée

par

y* -+- Mj* -4- N/ -+- P = o,

donnera de plus les trois conditions

M>o, N>o, P>o, et ainsi de suite.

12. Au reste, nous ne devons pas oublier une très-belle conséquence que De Gua a tirée de sa théorie; voici en quoi elle consiste.

Si dans l'équation ¥(x) = o on substitue a -+- z à la plaee de x, on a, par la formule du développement des fonctions, la transformée

-, , Via) Via) 9 ¥ m (a) ,

dont on peut faire disparaître un terme quelconque, contenant par exemple la puissance z n f en déterminant a de manière que Ton ait F" (a) = o. Or, nous venons de voir que, si toutes les racines de l'équation ¥(x) = o sont toutes réelles, les valeurs de ¥ m ' i (x) et F" +1 (a?) sont nécessairement de signes contraires pour toutes les valeurs de x qui résultent de l'équation F" (x) = o; donc aussi les valeurs de P~*(a)etde P +I (a) seront de signes contraires pour toutes les valeurs de a résultantes de l'équation F n (a) = o. D'où il s'ensuit que, si l'on fait évanouir un terme quelconque de la transformée en z 9 les deux termes voisins auront nécessairement des signes différents si la proposée a toutes ses racines réelles; par conséquent, elle aura des racines imaginaires si les termes voisins de celui qui disparait ont les mêmes signes, et de là on peut conclure aussi que toute équation à qui il manque des termes a nécessairement des racines imaginaires si les termes voisins de ceux qui manquent sont de même signe.

13. Lorsque toutes les racines de l'équation sont réelles, on peut trouver leurs limites sans le secours d'aucune autre équation, par le moyen de la seule règle de Descartes dont nous avons parlé plus haut (n° 5); car, si Ton diminue, par exemple, toutes les racines d'une équation en x de la quantité a, en y substituant z -f- a à la place de x 9 la transformée en z ou en a? — a aura autant de variations de signe de moins qu'il y aura de racines positives de l'équation en x qui seront devenues négatives dans l'équation en x — a, et par conséquent, parmi les racines positives de l'équation en x, il y en aura autant qui seront moindres que a. Donc, si l'on forme successivement les transformées en x — i, x — a, 07 — 3, . . . , chaque variation de signe qui disparaîtra d'une transformée à l'autre, par exemple de la transformée en x — n à la transformée en x — n — i , indiquera une racine positive moindre que /*-+- 1, mais non moindre que n, et par conséquent contenue entre les limites n et n -h i . On pourra trouver ainsi successivement les premières limites des racines positives, et Ton aura de même celles des racines négatives par la considération des permanences dans les transformées enn + 1,/1+2

14, J'ignore si cette remarque avait été faite avant le Mémoire que M. Budan présenta à l'Institut en i8o3, et qu'il vient de publier avec des augmentations, sous le titre de Nouvelle méthode pour la résolution des équations numériques. L'Auteur y donne un moyen simple et élégant de former les coefficients des transformées en x — 1 , x — 2, . . . f et, appliquant la règle de Descartes a ces transformées ainsi qu'à d'autres déduites de celles-là, il trouve les limites de toutes les racines et leurs valeurs aussi approchées qu'on veut. On peut dire que cet Ouvrage ne laisse rien à désirer sur la résolution des équations numériques dont toutes les racines sont réelles, et il pourrait à cet égard servir de supplément au présent Traité.

Au reste, si l'équation avait des racines imaginaires, il pourrait disparaître des variations de signe d'une transformée à l'autre sans qu'aucune des racines réelles positives devint négative, comme on peut

s'en convaincre aisément par des exemples ; ainsi l'équation

a pour transformée en x — i

où Ton voit que deux variations de signe ont disparu ; cependant, elle n'a pas de racines entre o et i .

Mais, si le nombre des variations de signe qui disparaissent d'une transformée à la suivante était impair, on en pourrait toujours conclure l'existence d'une racine réelle positive, car cela ne peut arrivera moins que le dernier terme ne change de signe. Or il est visible que les derniers termes des transformées en x — n 9 x — n — i ne sont autre chose que les résultats des substitutions de n et de n -+- 1 à la place de x dans la proposée, parce que ces transformées se réduisent à leur dernier terme en y faisant a? = /i = /n-i; ainsi il doit nécessairement y avoir une racine réelle entre n et n -+- 1 (Chap. I, n° 1 ). La transformée en x — 2 de l'équation ci-dessus est

qui a une variation de moins que la précédente ; aussi y a-t-il une racine de la proposée entre 1 et 2.