En effet, si Ton considère l'équation identique

en regardant y comme une fonction donnée de x 9 etp, q comme des fonctions inconnues de x qu'il s'agit de déterminer, les fonctions dérivées des deux membres formeront encore une équation identique; on aura ainsi

divisant cette équation par l'équation primitive, on aura

(m -4-/1 y/— i) {\-\~y sj— i) p'-\- q' \T~-J x -\-Y\ — i p -f- q v— *

équation qui sera, par conséquent, encore identique. Qu'on multiplie le haut et le bas de la fraction du premier membre

par x —y\' — i t et\e haut et le bas de la fraction du second membre

par/? — q \ — i 9 pour faire disparaître le radical y—i du dénominateur, et qu'ensuite on compare la partie réelle du premier membre avec la partie réelle du second et l'imaginaire avec l'imaginaire, on

aura ces deux équations

m{x-^ry' ) — n{xr' — y) PP' + W x* + y 2 P 1 -*-? 1 '

nlx+rr') -+- mjxv' —r) = pq' — qp' t x*+y* p 2 +q 2

Qu'on prenne maintenant les fonctions primitives, on aura, en désignant par log les logarithmes hyperboliques et par arctang l'angle de la tangente,

m log^ 5 +y 2 — n arctang - = log^ 2 +ç 2 + K,

n \ogjx 2 -t-y 2 -hm arctang - — arclang^ + H,

K et H étant deux constantes arbitraires qu'il s'agit de déterminer conformément à l'équation primitive donnée. Or, en faisant dans cette équation j = o et o?=r, on a y = o et/?=i, et ces suppositions, étant introduites dans les équations précédentes, donnent K = o et

Si donc on fait pour plus de simplicité x = kcosz, y = usinz, ce qui donne

et ensuite

on aura

u = ^x' 2 -t-y 2 , langjs = - »

p -= rcos*, q = r sin*,

logr= m Iogu — nz, s = n logw -h mz,

et, en repassant des logarithmes aux nombres,

m d>—nz

e étant le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité.

Ainsi r et s, et par conséquent/? et y, seront des fonctions réelles,, en

supposant x, y, m 9 n des quantités réelles.

4. On peut, par ces formules, réduire à uneïorme réelle l'expression des racines des équations du troisième degré dans le cas irréductible; car, l'expression générale de x dans l'équation

étant, comme l'on sait,

VN-h\/N*-M 3 -r-VN- v'N 2 — M», laquelle, dans le cas irréductible où M 3 > N 2 , devient

VN 4- y'M* - N* yj- i -+- VN - s/W - N* V- « ,

si l'on fait dans les formules précédentes

on aura

et de là

k = V /M > tanga^ — ,

t=zu Ti = S/ M 9 s = p

donc on aura

VN ± yW - N2 v/— i = s/M (cos ï ± sin | v '- i ) ,

et la somme des deux radicaux sera 2 \/Mcosx

J\[S ty'2

Or, comme à la même tangente - — répondent les angles z,

ïï Z

5 + 2i, 2 + 4A, A étant l'angle droit, l'expression ayMcos^ aura ces trois valeurs différentes

1 y M cos^i 2 v'Mcosf ^-h-^-j? 2 ^Mcos^-T-ir-ji

qui seront les trois racines de l'équation proposée, et qu'on trouvera ainsi facilement par les Tables trigonométriques.

5. Au reste, il est bon de remarquer que, lorsqu'il ne s'agit que de radicaux pairs, on peut faire la réduction dont il s'agit par les simples opérations de l'Algèbre ordinaire. En effet, soit la quantité

à réduire; je considère la quantité

\a-h b y/— i ■+- ya- b y — i = tt;

j'aurai, en élevant au carré,

ia -+- 1 sja 1 -h b 1 = a 2 ,

quantité toujours nécessairement positive en prenant le radical positivement; donc u sera une quantité réelle.

Je considère ensuite la quantité

V« H- b V— i — >Ja — b y — - 1 = t;

je trouve de même, en carrant,

quantité essentiellement négative; ainsi l'on aura

/a — v* et / = VV-i, V étant une quantité réelle; de là on aura

Vadbéy/— i=-(«±Vy— i).

Considérons de même la quantité

Va -h b y — i H- Va — b y — i — s;

on aura, en carrant,

V«-t- b y— i -h i \ja- -t- 6 J -h V« — * y— i = * 3 =m- ^îa 2 -*- 6»,

quantité essentiellement positive, en prenant le radical positivement; donc s sera une quantité réelle.

Considérons ensuite la quantité

on aura de la même manière

Va -+- b v/— i — i y/a- -+- b 1 +\la — b y — i = r* = a — i \/a 2 + b* 9

quantité essentiellement négative, car

«2 — in 4- 2 sla' 1 -+- £* < 4 v /fli •+- ^ 2 . et par conséquent

Donc, faisant r a = — S 2 , on aura

r=S^— i, S étant une quantité réelle; donc

\ja±b y~i = - ( s ± S v^ 11 ^ ) .

et ainsi de suite.

6. Ces réductions supposées, d'Alembert considère une courbe quelconque, dont l'ordonnée y soit nulle ou infinie lorsque l'abscisse x est nulle, et il observe que, quelle que puisse être l'équation de la courbe, on peut toujours, lorsque x est très-petit, avoir la valeur de y en x, au moyen du parallélogramme de Newton, exprimée par une série très-convergente de la forme

jr = ax n -hbx x + cx u -h. . ,

dans laquelle les exposants de a sont imaginés aller en augmentant, et dont on peut toujours supposer que tous les termes sont réels, en fai-

sant x positive, car on peut faire répondre les x positives à la branche où les y sont réelles.

En faisant x négative, les termes où x se trouve élevée à des puissances fractionnaires dont le dénominateur est un nombre pair deviennent imaginaires, et, par le théorème précédent, ils seront toujours réductibles à la forme p + q\l— i, p et q étant des quantités réelles. Donc toute la série, et par conséquent la valeur de y lorsqu'elle devient imaginaire, sera aussi de la même forme tant que x sera trèspetite.

Maintenant, quelle que soit la valeur de y pour une x quelconque, on peut toujours supposer y =p -h q >J— i , p etq étant des quantités indéterminées, et, comme cette valeur est réellement double à raison du radical y'— i» les quantités/) et q seront exprimées par deux équations qu'on aura en substituant p -h q \/— i au lieu de y dans l'équation de la courbe, et égalant séparément à zéro la partie toute réelle de la transformée et la partie multipliée par ^— i; ces équations contiendront les quantités p etq mêlées ensemble, mais on pourra, parles méthodes connues, les changer en deux autres, dont l'une ne renferme que/? et x et l'autre q et x.

Or, siy n'est pas toujours de la même forme p -h q sj— i,p etq étant des quantités réelles pour toutes les valeurs de x, soit a la plus grande valeur de x pour laquelle y sera de cette forme, et soit p = b, q = c lorsque x = a. Supposons x = a -+- 1, et p = b -+- r, q = c -f- s : en substituant ces valeurs dans les deux équations en p et q, on aura deux équations, l'une en r et i et l'autre en s et i, dans lesquelles i = o donnera r = o et s = o, et qui, par la démonstration précédente, donneront r et s de la forme p -h q >J— i , lorsque i sera très-petite , si r et s deviennent imaginaires. On aura donc alors

a, p, y, à étant des quantités réelles; donc

et par conséquent

y=zb-+-oL — d-h(fi-t-c-hy))/— i,

c'est-à-dire de la même forme p -hq\/— i.

Donc a n'est pas, comme on l'a supposé, la plus grande valeur de x qui donne y de cette forme; donc la valeur dey, lorsqu'elle est imaginaire, sera toujours de cette même forme, quelle que soit la valeur de x.

Cette conclusion générale s'applique naturellement aux équations d'un degré quelconque, à une seule inconnue, car, nommant y Tinconnue de l'équation et supposant le dernier terme égal à x, on aura une équation entre x et y, dans laquelle x = o donnera y = o, et qui sera susceptible de la démonstration précédente. Donc, quelle que soit la valeur du dernier terme x, celle de y, si elle devient imaginaire, sera de la forme p-\- q \/— i .

L'équation ayant ainsi une racine imaginaire de cette forme en aura nécessairement une autre de la forme p — q y— i, puisque le calcul est le même pour les deux racines, à cause de l'ambiguïté du radical \/— i; elle aura donc les deux facteurs

r-p-qsl-** r-p + q\/- i >

qui forment le facteur double réel

j* — ipy + p 2 + q 2 ,

et sera par conséquent divisible par ce facteur, ce qui l'abaissera à un degré moindre de deux unités, et l'on pourra appliquer à cette nouvelle équation les mêmes raisonnements et les mêmes conclusions, et ainsi de suite.

7. Cette démonstration est incomplète, car, quoique dans une équation à deux indéterminées on puisse toujours exprimer l'une des indéterminées par une série de puissances ascendantes de l'autre indéterminée, il peut arriver que les coefficients des termes de la série

dépendent eux-mêmes d'équations qui n'aient point de racines réelles, ce qui introduirait dans la série d'autres imaginaires que celles qui viennent des puissances de l'indéterminée. Maison peut, sur les mêmes principes, fonder une démonstration plus rigoureuse, et en même temps plus générale et plus simple, de la manière suivante. Soit l'équation

x m -h kx m ~* + Bjr m - 2 -h. . . -4- V~o,

que nous représenterons, pour plus de simplicité, par

/(x) étant une fonction rationnelle et entière de x 9 qui contient x dans tous ses termes. Nous supposerons que cette équation n'ait point de racines réelles, parce que, si elle en a, on peut les éliminer en divisant l'équation par les facteurs simples réels qui résultent de ces racines.

Il est clair que, si l'équation proposée n'a pas de racines réelles dans l'état où elle est, c'est-à-dire tant que ses coefficients ont les valeurs données, elle peut en recevoir en changeant seulement la valeur du dernier terme Y, car, en prenant une quantité quelconque K et faisant V = — /(K), l'équation

aura la racine réelle K. Considérons donc une des racines imaginaires de l'équation

laquelle devienne réelle en faisant varier la valeur de Y, et supposons qu'elle ne demeure imaginaire que tant que la valeur de Y sera entre les limites a et b 9 a étant < b, de manière que x ait une valeur réelle a dans l'équation

et une valeur réelle £ dans l'équation

et que cette racine soit imaginaire dans les équations