Soit, en effet, le polynôme du degré m
x m — ax m ~ K -+- bx m ~ 2 — cx m ~* -h. . .±À f
que nous supposerons composé des m facteurs simples
En développant le produit de ces facteurs et le comparant terme à terme avec le polynôme donné, on aura, comme Ton sait,
a — a -h (3 + y -+-d -h. . ., b — afi -h ay -h (3y -4- a<$ -h . ■ . ,
c = afiy 4- afid 4- (3yd -h . . . ,
Si Ton représente de même par
x n — px n ~* -+- qx n ~ 2 — /\r ,l ~ 3 -h . . ,± u
un diviseur du même polynôme, ce polynôme diviseur ne pourra être composé que d'un nombre n des mêmes facteurs simples ; ainsi Ton aura, en ne prenant que n quantités parmi les m quantités a, p, y, ...,
p = a -h(3-hy-t-.., q — o$ -h ay -h |3y 4- . . . t r = aty-h ,
u = aJ3y
Comme les coefficients donnés a, b, c, ..., h sont des fonctions des quantités a, p, y, ..., dans lesquelles ces quantités entrent toutes également, et qui demeurent ainsi invariables en faisant entre ces mêmes quantités tels échanges que Ton voudra, il s'ensuit que toute expression rationnelle de ces coefficients aura la même propriété; et, comme les coefficients/*, y, r, . . . , u du diviseur sont de semblables fonctions, mais seulement d'un nombre n des quantités a, p, y, . . . , il est évident que ces coefficients ne peuvent pas être exprimés par des fonctions rationnelles des coefficients a, b, c, ... ; mais on pourra les faire dé-
pendre chacun d'une équation dont tous les coefficients seront des fonctions rationnelles de a, b 9 c 9 . . . v en composant cette équation de manière qu'elle ait pour racines toutes les différentes valeurs de p 9 ou dey, ou de r, etc., dont le nombre est égal au nombre [i. donné cidessus.
3. Considérons le dernier coefficient u, qui est formé du produit de n des quantités a, p, y, . . . ; on aura
a|3y..., pyâ..., ayi... f ...
pour les différentes valeurs de u. Donc, si Ton forme un polynôme du produit de ces facteurs simples
u — a^y . . . , u — (3y3 . . . , u — ayd ...» . . . ,
ce polynôme aura la propriété d'être une fonction invariable de a, % y, . .., indépendamment de l'indéterminée u; par conséquent, étant développé, tous ses coefficients auront encore la même propriété. Car soit ce polynôme
«H- — Am^' -h But* — Ctti 4 " 8 -h. . .± V;
on aura
A = a(3y . . -h (3yd . . . -f- xyS ... -4- ... ,
B — a£y.. -X (373. . -hor/ô. . .Xay<$ ...-hpyâ.. .Xayd. . .-h. ..,
V — a(3y ... X (3yô ... X ayô ... X ... ,
où Ton voit que les coefficients A, B, C, ... sont en effet des fonctions invariables de a, (3, y, ... . Or, on sait que ces sortes de fonctions peuvent toujours être déterminées par des fonctions rationnelles des coefficients
4. En effet, on peut d'abord déterminer par ces fonctions la somme des puissances d'un même degré des quantités a, p, y, ... t comme nous l'avons vu dans la Note VI (n° I ). Ensuite, si l'on multiplie 2x\ somme
des puissances x\ par 2x*S somme des puissances a*\ le produit la^ x îx» 1 sera égal à 2x u » t -4- 2a x ^; ainsi Ton aura la somme des termes oïÇP au moyen de celle des puissances. On trouvera pareillement
ainsi l'on aura aussi cette dernière somme en fonction des sommes des puissances, et ainsi de suite.
Maintenant il est facile de voir que toute fonction rationnelle et invariable des quantités a, p, y, . . . ne peut être formée que d'une ou plusieurs sommes des formes précédentes; elle pourra donc toujours être déterminée en fonction des coefficients a, b, c, ....
C'est là un des principes les plus féconds de la théorie des équations. Newton, et longtemps avant lui Albert Girard, avaient donné la manière de déterminer la somme des puissances des racines d'une équation par des fonctions de ses coefficients. (Voyez, dans l'Ouvrage d'Albert Girard, intitulé Invention nouvelle en Algèbre et imprimé à Amsterdam en 1629, l'exemple second du théorème second.) Euler, dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1 748, et Cramer, à la fin de son Introduction à l'analyse des lignes courbes, ont fait voir que l'on pouvait toujours déterminer par les coefficients d'une équation les sommes des produits de ses racines, prises deux à deux , trois à trois, etc., et élevées à différentes puissances, et Waring a donné ensuite des formules générales pour trouver ces sortes de fonctions des racines; mais, dans les cas particuliers, il est peut-être plus simple d'employer la méthode indiquée ci-dessus.
5. A l'égard des coefficients A, B, C, ... du polynôme , on pourra les calculer de la manière suivante.
On commencera par déterminer les sommes des puissances par ces formules
2« 2 = aZa — 26,
2a 3 = ala- — bla 4- 3c,
Ensuite on cherchera les termes n ièmt * des séries
v 3 y,« 3 2«*x2 « 3 -2«« 2« 3 (3 3 x2g 3 - 2«*x2««-h2g» Za', 2a 3 (3 3 = > 2a 3 p 3 y 3 = - ~ » •••»
Ces termes seront les valeurs des sommes
Zafy..., 2a 2 (3*y 2 ..., 2a 3 (3 3 y 3 ..., '
Enfin on aura
Au reste il est visible qu'on aura d'abord sans calcul les valeurs du premier coefficient A et du dernier V; car le coefficient A est évidemment égal au coefficient de la puissance af n ~ n dans le polynôme donné
Quant au coefficient V; il est visible qu'il doit être de la forme
et, pour déterminer l'exposant v, il suffira de considérer que ce coefficient doit être le produit de [/. quantités, dont chacune est le produit de n quantités prises parmi les m quantités a, p, y, .. ., de sorte que ce coefficient sera de la dimension /?[/.; donc il faudra que wv = np, et
par conséquent v = •— •
Donc, puisque
on aura
et la valeur de V sera A\
Ayant ainsi la valeur du dernier coefficient V du polynôme en u, on pourra se contenter de calculer directement la première moitié des coefficients À, B, C, ... de ce polynôme. Car soient T, S, R, ... les termes qui précèdent le dernier V; il est facile de voir qu'on aura
T, i ii
V a$y . . . (3yo . . . ayà
Or, si Ton désigne par (n) le coefficient de la puissance x n dans le polynôme donné , on aura aussi
A aj3y . . . fiyo . . . ocyà
Donc ^- = M» et par conséquent T = ^— •
Ensuite, si Ton désigne par g 9 f, e, ... les coefficients du polynôme donné qui précèdent le dernier h , lorsqu'on aura trouvé l'expression
de B en a 9 b, c, ..., il n'y aura qu'à y changer a en f > b en v» c en r> etc., pour avoir la valeur de ^\ et, faisant les mêmes changements dans l'expression de G, on aura la valeur de y » et ainsi de suite.
Ayant ainsi formé le polynôme en m, si on le fait égal à zéro, on aura une équation dont les racines seront a£y . . . f pyS . . . , ayS . . . , ... et qui servira, par conséquent, à déterminer la valeur de u. Il ne restera donc plus qu'à trouver les valeurs de tous les autres coefficients p, q, r, ... du polynôme diviseur.
6. La manière la plus simple de trouver ces coefficients est de faire
la division actuelle du polynôme
x m — ax m ~ s -+-...
par le polynôme
x n — px n ~* -+-. . .±u t
jusqu'à ce qu'on soit parvenu à un reste dans lequel la plus haute puissance de 2? soit moindre que a?"; alors, en égalant à zéro chacun des termes de ce reste, pour qu'il devienne nul indépendamment de l'inconnue x % on aura n équations entre les n coefficients />, q % . . . , k, et l'on pourra, généralement parlant, par ces équations, déterminer les valeurs dep, q, ... en fonctions rationnelles de u. On aurait ensuite l'équation même en u par la substitution de ces valeurs dans l'équation restante; mais, comme on ne voit pas de cette manière de quel degré devrait être cette équation finale en a, qu'on pourrait même parvenir à une équation en u d'un degré plus haut qu'elle ne devrait être, ce qui est l'inconvénient ordinaire des méthodes d'élimination, nous avons cru devoir montrer comment on peut trouver cette équation a priori et s'assurer du degré précis auquel elle doit monter.
Par la même raison, nous croyons qu'il est nécessaire d'avoir une méthode directe pour trouver les expressions des coefficients p f q, ... en u et pour être assuré que ces expressions peuvent toujours être rationnelles, excepté les cas particuliers où elles doivent dépendre d'équations du second ou du troisième degré, comme nous l'avons déjà observé dans la Note précédente. Voici donc comment, en supposant l'équation en u, on peut avoir la valeur des coefficients p t q, ... en fonction de u.
7. Je considère que, la quantités étant indéterminée, on peut mettre x — 1 à la place de x> tant dans le polynôme donné
x m — ax m ~ K -\-. . .
que dans le polynôme diviseur
x n —px n -* -4-. . . .
Par cette substitution, le premier de ces polynômes deviendra
x m — a x x m -* -4- biX m -* — . . .±h l9
où Ton aura
a x = a -f- mi 9
b t = b + ( m — i an - - **,
c,=c+ m-iii + ^ - - ai 2 H * ^ - *\
et le second polynôme deviendra pareillement
x n — p { x n - { -±q x x n - 1 — . .±Ui,
en faisant
pi=p + ni 9
ç.^ç-hj/,- i)^n 1\
. . . (n — i)(n — 2) .. «(w — i)(n — 2) ., r, = r -+- (n — 3)0/ h- v - - ; -^ ^ pi 1 H * L \ ' / 3 ,
m = u -h // -f- « 2 4- ri 3 -f- ... .
D'où Ton peut conclure que, si dans l'équation en u
dans laquelle les coefficients À, B, C, . . . sont des fonctions de a, b, c, . . . , A, on substitue respectivement a K% b n c f , . . . , A, au lieu de ces quantités, la valeur de u deviendra celle de u fl , quelle que soit la valeur de 1, de sorte que, en développant les termes suivant les puissances de i, il faudra que la somme de tous les termes multipliés par une même puissance soit nulle, ce qui donnera plusieurs équations, dont chacune servira a déterminer un des coefficients i 9 s,r, ... par les précédents.
