Prenons pour dernier exemple l'équation

Comme i3— i = ia = a.a.3 f l'opération pourra se décomposer en trois de la manière suivante.

Il faut d'abord avoir une racine primitive pour le nombre i3, et la Table du n° 4 fournit le nombre 2, dont les puissances successives jusqu'à la onzième, divisées par i3, donnent les restes 2, l\, 8, 3, 6, 12, ir, 9, 5, ïo, 7.

Ainsi, en nommant r une racine de l'équation

j: ,2 + ar H + x ,0 4-J: 9 + a: 8 + ...+ i=:o,

les autres onze racines seront

On fera donc, en général,

/ = r-h ar 2 -+- « 5 r» -+- a 1 /* -4- a V 1 -h aV« H- a"r f 2 -4- « 7 r» ■ -+- a*r 9 -h a , r+ a 10 /- 10 -4- a 1 'r 7 ,

et l'on prendra d'abord pour a une racine de l'équation

en sorte que x 2 = 1, ce qui réduira la fonction / à la forme

/ = X'-h«X", dans laquelle

De là on aura

9 = /» = $•+«$, £ = X'» + X"* f Z'=iX'X".

On peut se dispenser de chercher la valeur de £° en se servant de l'expression de 6 du n° 11, qui ne renferme pas 1° et qui donne ici, à cause de v = 2 et de s = — 1, somme des racines de l'équation proposée, 8 = n-(a — i);\ de sorte qu'en faisant a = — 1 on aura la valeur de 6', et les deux racines X', X" seront (numéro cité)

X' = ZLL±y Lz2i' , x* = — 1— y/'-*?

Pour avoir la valeur de <;', il faut développer le produit X'X" en puissances de r, ayant soin de rabaisser les puissances supérieures à r* 2 , à cause de r 13 = 1 , et Ton trouve X'X" = 3$, en mettant s pour la somme des racines r t T* f r\ ..., laquelle est = — 1, de sorte qu'on aura £'= — 6, et les valeurs de X', X" seront

38. On regardera maintenant les six racines qui composent la quantité X' comme celles d'une équation du sixième degré, et l'on fera de nouveau

t t = r+<xr*-h a 2 r 5 + a J r 12 -+- at> r 9 ■+- cO r 10 ;

mais, au lieu de prendre en général pour % une racine de l'équation

ce qui demanderait ensuite le développement de la sixième puissance du polynôme $ n nous prendrons de nouveau une racine de l'équation

de sorte que, au moyen de a 2 = 1, la fonction /, redeviendra de la forme

t t — \\ -h a\p dans laquelle on aura

On aura ensuite, comme ci-dessus,

et, à cause que la somme des racines est ici X\ on aura sur-le-champ

v , x' + ffi v , x'-y/^ .

oh aura en même temps 8, = X' 2 -+- (a — i);, et, faisant % = — i,

Pour avoir V,, il faudra développer le produit de X', par X", en se souvenant toujours que r ,3 = i, et Ton trouvera

ce qui donnera et par conséquent

v . X'-v^-ia-iX"

39. Nous remarquerons ici que, comme en mettant r 2 au lieu de r la fonction X' devient X" et la fonction X" devient X', si Ton dénote par (X',), (X') ce que deviennent les fonctions X' |f X", en y substituant r 3 au lieu de r dans toutes les puissances de r, ce qui donne

on aura les valeurs de (X'J, (X') en échangeant dans celles de X' |f X* les quantités X', X" entre elles. On trouvera ainsi

, v . * x* -fyx" - ia - 4 X'

Ce sont les fonctions correspondantes à X',, X" qu'on obtiendrait en

procédant à l'égard des racines qui composent la fonction X" comme on a fait sur celles de X'. Ces valeurs sont nécessaires pour parvenir à celles de r.

40. Pour cet effet, il faut encore regarder les trois racines qui composent la fonction X', comme celles d'une équation du troisième' degré, et faire, en conséquence,

en prenant pour a une racine de l'équation y*— i = o. De là, on formera la fonction

et l'on trouvera, par le développement, en faisant a* = i et r 13 .= r , ces

expressions

Donc, nommant a et p les deux racines de l'équation

et faisant

ff 2 = 6 + X' f -f- 3«(X' f ) -h 3a*[X\) 9

on aura, comme dans le n°23,

Ainsi la valeur de r est entièrement déterminée; nous ne chercherons pas à la simplifier, parce que, dans tous les cas, il est toujours plus avantageux d'employer pour la résolution de l'équation

ainsi que de toutes les équations de ce genre, les formules connues en sinus et cosinus.

41. Je remarquerai, en finissant, que la méthode exposée dans cette Note peut être regardée comme une simplification de celle que M. Gauss a indiquée d'une manière générale dans l'Article 360 des Disquisitiones ariihmeticœ. Celle-ci est fondée aussi sur le développement d'une fonction semblable à la fonction que nous avons désignée par 0; mais elle demande de plus la formation et le développement d'autant d'autres fonctions du même ordre que l'équation a de racines, ce qui allonge considérablement le calcul. Notre méthode est indépendante de ces fonctions auxiliaires, et conduit directement aux expressions les plus simples des racines.