SUR LES RAPPORTS

Depuis cette obscure origine où la géométrie, {comme dit Ronnet dans son style poétique), « née comme un ver des fanges du Nil, traçait en rampant les bornes des possessions, jusqu'à cette époque brillante où, prenant des ailes, elle s'élève au sommet des montagnes, mesure d'un vol hardi les plaines •célestes et perce enfin dans la région de l'infini », on voit le cercle de cette science s'étendre, s'élargir progressivement : il enveloppe en avançant le système «ntier des objets, des idées ou des rapports susceptibles de mesure; il exclut et repousse tout le reste. Ainsi se forme, dans le système général des connaissances ou des produits infiniment variés de l'activité de l'esprit humain, un domaine isolé, où doit, pendant longtemps, se concentrer l'évidence. Le contour du cercle séparera la lumière de l'ombre et les empêchera -de se mêler, de se confondre.

Soit qu'on envisage les progrès des sciences mathématiques dans leur application pratique aux arts, résultats nécessaires des besoins et des intérêts compliqués de l'homme en société, soit qu'on les suive dans

ces recherches théoriques profondément abstraites qui (en attendant leur application éloignée et contingente} fournissent toujours un attrait puissant à la curiosité, un aliment convenable à ces têtes fortement organisées qui ont besoin d'exercer toute leur activité : on voit ces sciences marcher d'un pas inégal, mais toujours indépendantes, dans leurs progrès, des diverses branches de la philosophie.

Concentrée dans son objet simple, avec une méthode spéciale, une langue qui n'est propre qu'à elle, la géométrie dut rester étrangère surtout aux sciences qui ont la nature et les facultés de l'homme pour objet; elle n'avait besoin de leur rien emj)runter, et elle était trop éloignée pour pouvoir leur prêter. Malheureusement pour celles-ci, elles ne purent donc entrer en partage de sa certitude, et heureusement pour celle-là, elle ne put suivre et partager leurs écarts.

Quel point de contact, par exemple, pouvait-il y avoir entre cette science ténébreuse qui, sous le nom de métaphysique, erra si longtemps dans les espaces imaginaires, croyant, avec des termes vides de sens, découvrir la nature des choses, pénétrer dans la région des essences — et la science réelle qui, sans sortir du monde sensible, empruntait tous ses maté-^ riaux des objets de nos perceptions les plus claires et les plus distinctes ? Jamais il n'y eut d'opposition plus marquée, de marche plus divergente; jamais ligne de démarcation ne fut mieux établie que celle qui semblait devoir séparer à jamais la métaphysique de la géométrie. Aussi les voyons-nous toujours isolées quant à leurs produits et leur influence ; l'une propage la lumière, l'autre accumule ses nuages dans les mêmeslieux, les mêmes temps et jusque dans les mêmes têtes.

Nous voyons les mathématiques briller chez les Grecs du plus grand éclat depuis les Thaïes, les Pythagore, les Platon, jusqu'à la destruction de cette école d'Alexandrie, où se conserva si longtemps le feu sacré de la science; et dans ce long intervalle, chez les mêmes Grecs, dans le sein de cette même école, la métaphysique n'est qu'un jargon puéril, un tissu monstrueux de rêveries et d'absurdités. Après de longues et d'épaisses ténèbres si favorables au triomphe exclusif de cette métaphysique, la géométrie renaît de ses cendres. Le xv!*" siècle, et surtout la fm du xvn" siècle, voient s'opérer la plus grande et la plus belle révolution dans les sciences mathématiques et physiques, et la scolastique, toujours dominante, continue à couvrir de son voile le fondement de nos connaissances et la génération simple et réelle de nos idées.

Cependant la révolution faite dans la géométrie et surtout son application nouvelle à la recherche des vérités physiques, frappe et éclaire tous les bons esprits ; on s'aperçoit que le monde réel est plus fertile en découvertes que le monde abstrait ; insensiblement on descend du vague de l'un pour observer les phénomènes de l'autre : des génies du premier ordre emploient toute la force de leur tête à prouver la nécessité de ce passage, à en tracer les moyens, à prescrire des règles générales à l'observation et à l'expérience ; ils donnent eux-mêmes l'exemple avec le précepte, en appliquant l'observation directe au microcosme ou à l'homme, et l'origine que toutes ses facultés prennent dans ses sens est nettement démontrée, dès qu'il est prouvé qu'il ne peut rien connaître hors de la nature, et que le seul moyen de connaître la nature est d'y appliquer ses sens.

On aperçoit ici une influence des progrès de la géométrie sur les commencements de l'analyse philosophique ; mais remarquons que cette influence n'est pas directe et qu'elle na pu produire son effet que par l'intermédiaire de la physique. Peut-être même doit-on principalement l'attribuer à cette tendance manifeste qu'ont tous les esprits à se mettre entre eux dans une sorte d'équilibre, lorsqu'un mouvement général leur est imprimé.

Quoi qu'il en soit, et comme par une suite de ce divorce premier et peut-être naturel de la métaphysique avec la géométrie, il est certain que les géomètres qui voulurent en même temps être métaphysiciens, bien loin d'activer les progrès de l'analyse intellectuelle, les suspendirent et les arrêtèrent autant qu'il était en eux, tandis que réciproquement les plus profonds analystes de rentendement humain furent de mauvais géomètres ou restèrent du moins étrangers aux progrès de cette science. Sans remonter jusqu'aux Grecs, Pythagore, Platon, etc.. Descartes, Leibnitz, Malebranche, nous confirment le premier fait; Hobbes, Bacon, Locke et Gondillac nous attestent le second, et il ne nous serait pas difficile de trouver parmi les savants de nos jours plusieurs exemples des mêmes vérités.

Cependant l'analyse philosophique (que plusieurs s'obstinent encore à appeler métaphysique) n'a, comme cette science futile, aucune opposition absolue avec la géométrie ni dans son objet, ni dans sa manière de procéder; nous verrons bientôt au contraire qu'il y a entre elles une alliance possible dont la géométrie X^ourrait même retirer certains avantages. D'où vient donc cet éloignement de fait qui subsiste entre les deux

sciences? et pourquoi, jusqu'à présent, ne paraissentelles pas pouvoir sympathiser dans les mêmes têtes ? Je crois entrevoir plusieurs causes qu'il serait trop longde développer dans cette occasion; je m'arrêterai seulement à celles qui me paraissent provenir de la différence des habitudes que l'esprit contracte en faisant son objet principal de l'étude de la géométrie ou de l'analyse de nos facultés. Je laisserai à mon maître le soin d'examiner si ces deux genres d'études n'exigent pas des dispositions de tempérament ou d'organisation trop éloignées les unes des autres.

La géométrie, par la nature de son objet primitif, semble d'abord ne faire que seconder ce penchant qui entraîne l'homme hors de lui-même. Alors qu'elle a le plus dépouillé cet objet, les formes abstraites, sous lesquelles elle le considère, laissent encore une prise aux sens. Ces abstractions^ tantôt figurées aux yeux, deviennent elles-mêmes objets directs de la perception; tantôt revêtues de signes précis, déterminés ou toujours aisément déterminables, elles conservent dans la mémoire une clarté, une fixité supérieure. L'analogie des signes, correspondant à l'homogénéité des idées, la symétrie et la brièveté des formules qui offrent dans une simple expression le résultat des déductions les plus longues et les plus compliquées, la manière uniforme, assurée et absolument mécanique dont on procède dans ces déductions, tout concourt à ménager des points de repos à l'attention, à assurer la fidélité de la mémoire qui dirigera bientôt toute seule le raisonnement ou le calcul avec la promptitude et la facilité de ses habitudes.

L'objet de l'idéologie est tout intérieur, infiniment complexe sous une apparence de simplicité. Il faut

aussi Tabstraire, le diviser ou le prendre par parties pour Tétudier et apprendre à le connaître. Mais ici, combien les abstractions sont plus difficiles à saisir et à coërcer ! Tantôt fugitives et se rejoignant au composé, sans laisser de traces distinctes dans le souvenir, tantôt se confondant avec leurs signes et prenant une consistance, une réalité illusoires — quelle surveillance, quelle attention continuelle ne faut-il pas pour éviter ces dangers qui sont nuls pour le géomètre ! Pendant que ce dernier brise son modèle à volonté pour en étudier les parties, parcourt, mesure successivement chaque dimension, sans avoir à tenir compte des autres, puis, rassemblant ces débris dans le même ordre, retrouve et reconnaît le composé premier, l'analyste ne sait presque jamais ce qu'est une j)ropriété, une modification considérée hors de l'ensemble ; il a toujours à craindre que son imagination n'altère les éléments en voulant les fixer; et attribue à leur nature individuelle des formes qui n'appartiennent qu'à leur relation avec l'agrégat dont ils font partie (1). Enfin les propriétés de tous les objets qui sont du ressort de la géométrie peuvent toujours se représenter par des symboles ou signes abrégés qui tiennent lieu de la représentation directe et détaillée des modèles, les combinaisons diverses de ces signes exprimant toujours facilement les rapports que l'on considère et indiquant les opérations à effectuer pour reproduire à volonté les formes, les figures ou les quantités déterminées. L'analyse de nos opérations intellectuelles, au contraire, est toute dans la conscience distincte de chacune de ces opérations : les signes qu'emploie cette analyse, loin de tenir

(1) C'est là, comme on sait, ce qui a trompé Bonnet et Condillac.

lieu des idées qu'ils exprimeut, la complexité et l'hétérogénéité des éléments qu'ils réunissent, et par ces raisons, le défaut d'analogie qui règne entre eux, rendent leur emj^loi souvent douteux et incertain; rien ne garantit ici la fidélité de la mémoire, rien ne peut dispenser d'un examen profond, d'une réflexion assidue. Marche circonspecte, lente, mesurée et toujours réfléchie: analyses, comparaisons et vérifications fréquentes des signes et des idées, tels sont les premiers titres de succès pour l'idéologiste. Ceux du géomètre, au contraire, sont dans l'assurance et la rapidité de sa marche, dans la sécurité avec laquelle il emploie des termes suffisamment connus. Pour celui-ci, l'évidence est dans l'identité des signes, il ne la voit le plus souvent que dans les rapports fidèles de ses souvenirs; pour celui-là l'évidence n'est que dans les idées, il a toujours besoin de la sentir. Je j)ourrais étendre beaucoup ce parallèle ; mais en voilà assez sans doute, pour faire voir la contrariété des habitudes qui doivent résulter de la culture assidue des deux sciences comparées et pour rendre raison du fait de leur incompatibilité ordinaire dans les mêmes esprits. Ajoutons cependant un autre trait de comparaison qui nous conduira plus directement à l'objet principal que nous avons en vue.

L'idéologiste ne peut atteindre quelques résultats utiles et vrais qu'en portant dans son langage et dans ses principes la plus scrupuleuse exactitude. Les principes sont pour lui l'origine même des idées dont il veut connaître la composition intrinsèque ; il s'agit ici non seulement de déterminer tous les éléments, mais encore de retrouver l'ordre successif et simultané de leur association. Il aura donc toujours un travail plus

OU moins long et difficile à exécuter sur chaque idéeprincipale avant de faire entrer dans ses raisonnements le terme qui l'exprime et de jDouvoir fonder sur c& terme quelque déduction légitime. Le géomètre n'a pas, ou du moins ne sent pas actuellement le besoin, de remonter si haut dans la génération des idées ou des termes sur lesquels il opère : il prend souvent ces idées toutes faites, telle qu'une expérience commune et irréfléchie les lui a procurées. Il ne veut les comparer que par leurs propriétés les plus générales, les plus simples, les plus aisées à noter; il ne cherche à en déduire qu'une seule espèce de rapports qui pourront toujours être aj)préciés ou exactement évalués dans les signes mêmes, sans qu'il soit ou qu'il paraisse nécessaire de remonter jusqu'au fondement de leur institution, encore moins de scruter la nature intrinsèque des idées. Qu'importe, par exemple au géomètre le fondement réel des idées d'étendue, d'espace, de temps, de mouvement, et la manière dont nous les acquérons? Qu'importe au mécanicien la nature hétérogène des termes qu'il réunit et compare dans la formule

E V = ~ , et par conséquent l'insignifiance absolue de

cette formule considérée en elle-même ? Lorsqu'il aura substitué des nombres à la place des lettres dans le second membre et effectué la division, il n'en aura pas moins un nombre abstrait qui servira à déterminer la vitesse relative V d'un autre mobile qui j^a^rcourt l'espace E dans le temps T, en indiquant que cette vitesse est double ou triple ou etc. de la première, — ce qui remplit le but actuel du géomètre qui cherche des rapjDorts de signes et non des rapports dïdécs, ou j^lutôt qui identifie les uns avec les autres.

On voit par cet exemple que l'indétermination des principes^ et par conséquent des expressions qui s'y rapportent, n'influe pas d'une manière sensible sur les résultats secondaires ; ou que les rapports abstraits, auxquels on parvient en comparant deux termes, peuvent avoir toute la certitude et la clarté désirables dans le but géométrique, malgré l'inexactitude, l'obscurité ou même l'absence totale des idées ou notions primordiales d'où ces termes sont dérivés. Ici se manifeste la ligne de démarcation qui sépare ce qu'on appelle la métaphi/siqiie de la science et la science même ou ses applications pratiques, et l'indépendance absolue où ont été jusqu'à présent les mathématiques, non seulement de la théorie générale de nos idées, mais même de la théorie particulière de celles sur qui elles se fondent immédiatement. Veut-on voir encore cette double indépendance prouvée par les faits? Qu'on examine si on trouvera beaucoup de géomètres, je ne dis plus maintenant versés dans l'analyse philosophique en général, mais même possédant la métaphysique propre de leur science. « Les plus grands géomètres, dit d'Alembert, dont le témoignage en ce genre n'est pas suspect, sont le plus souvent de mauvais métaphysiciens, même dans leur science ; leur logique est toute renfermée dans leurs formules et ne s'étend pas au delà » (1). Si une mauvaise métaphysique avait pu

(1) Eléments de philosophie, chap. XV, p. 179. « Il semble que les grands géomètres devai^^nt être excellents métaphysiciens, au moins sur les objets dont ils s'occupent; cependant il s'en faut bien (ju'ils le soient toujours La logique de quelques-uns d'entre eux est renfermée dans leurs formules et ne s"étend point au delà. On peut les comparer à un homme qui aurait le sens de la vue contraire à celui du toucher, ou dans lequel le second de ses sens ne se perfectionnerait qu'aux dépens de l'autre».

influer sur la certitude et les résultats pratiques du calcul, que serait devenue cette branche de la géométrie sublime à laquelle le calcul différentiel et intégral a donné naissance ?

N'est-ce pas dans le temps même où ce nouvel instrument, sorti de la fdière du génie créateur des monades^ portait dans son principe l'indétermination, le vague et l'obscurité d'une métapliysique abstruse et fausse, n'est-ce pas dès lors, dis-je, qu'il produisit ses plus grandes merveilles, et, encore mystérieux luimême, servit à dévoiler des mystères ? Ne lui suffit-il pas d'être manié par des mains habiles et exercées qui l'emjjloyaient avec confiance, sans s'inquiéter autrement d'oii il leur venait, ni quelle était sa nature ? Et lorsque notre illustre Lagrange, conduit lui-même par cette vraie métaphysique qui est l'instinct du génie (ou plutôt des bons esprits), saisissant Y esprit d'une méthode naturalisée en quelque sorte dans son intelligence, trouva dans la forme générale du développement des fonctions en séries, la véritable origine du calcul différentiel, dégagée ainsi de toutes ces considérations vagues d'infiniments petits de différents ordres, ce calcul éprouva-t-il quelque révolution? Ses applications pratiques en devinrent-elles plus exactes, plus certaines, plus étendues? Non. Satisfaits de la certitude spéculative du principe, les mathématiciens n'ont rien changé à l'ancienne forme du calcul ; ils conservent l'algorithme de Leibnitz comme plus commode et écrivent ou parlent encore à peu près comme lui.

Ajoutons un exemple plus simple : le philosophe déjà cité, d'Alembert, se j)laint encore (dans ses Mélanges) que « l'algèbre, toute certaine qu'elle est dans ses principes et dans les conséquences qu'elle en

RAPPORTS DE l'idéologie ET DES MATHÉMATIQUES 11

tire, n'est pas exempte d'obscurités à beaucoup d'égards (l'i. licite en preuve la théorie des quantités négatives qui n'a été (selon son opinion, à laquelle on peut bien s'en rapporter) encore éclaircie dans aucun ouvrage. Ces obscurités, dans une science qui se pique de n'en point avoir, ne peuvent évidemment provenir ■que de l'inexactitude des principes ou de celle du langage qui s'y rapporte. Et cependant la certitude des résultats obtenus par l'analyse algébrique en éprouvet-elle quelque altération? Les procédés mécaniques cjui donnent les véritables valeurs des inconnues dans la résolution des équations en sont-ils moins sûrs? Et quand même le génie idéologique, uni à une connaissance profonde des règles et de la pratique du calcul, parviendrait à faire subir à sa langue les réformes dont elle est susceptible, ces nouveaux degrés de précision et d'exactitude ne demeureraient-ils pas renfermés dans le sein des principes spéculatifs, sans influer sur la certitude pratique, comme il est arrivé dans le calcul différentiel ?

On voit donc encore ici une des causes principales qui tiennent éloignées l'une de l'autre la géométrie et l'idéologie et qui retardent leur alliance. Les mathématiciens sont considérés comme les juges naturels des réformes à opérer dans leur science. Or, d'après tout

(1) Voici le texte exact de d'Alembert : « Néanmoins toute certaine qu'elle (l'algèbre) est dans ses principes et dans les conséquences qu'elle en tire, il faut avouer qu'elle n'est pas encore tout à lait exempte d'obscurité à certains égards. Pour n'en citer qu'un exemple je ne connais aucun ouvrage où ce qui regarde la théorie des quantités négatives soit parfaitement éclaircie. Est-ce la faute de l'Algèbre? Ne serait-ce pas plutôt celle des auteurs qui l'ont traitée jusqu'ici. ^ » Eléments de philosophie, chapitre XIV, p. 154). Note de M. Alexis Bertrand

ce qui vient d'être dit, ils ne doivent point reconnaître la nécessité de ces réformes ni en sentir le besoin ; la certitude des résultats qu'ils obtiennent en suivant aveuglément certaines méthodes ou en partant de certains principes, leur fait conclure, sans autre examen, la iDonté des unes et la rectitude des autres. Il n'est point nécessaire, il serait inutile même et dangereux, dans leur opinion, d'en examiner les fondements. En outre, la grande habitude, qu'ils ont de leur langue, le& empêche d'en reconnaître les vices et de songer à les rectifier. De là leur opposition presque générale contre la science qui ne fait grâce à aucune habitude, et qui met les règles de l'évidence, et jusqu'à l'évidencfr même en discussion.

Je trouve un exemple frappant de cette opposition trop réelle dans l'esprit d'un géomètre estimable qui paraît s'être un peu occupé d'idéologie, quoi qu'il soit loin d'en connaître l'objet, ni l'esprit, ni la méthode. « En comparant, dit Lacroix dans la préface de sa Géométrie, ce que la métaphysique a perdu d'un côté et gagné de l'autre, peut-être est-il temps qu'on s'arrête et qu'on reconnaisse que, seule entre toutes les . sciences, la métaphysique n'est susceptible que d'un progrès limité, et qu'il existe dans la théorie des opérations de l'entendement un point que l'on ne pourra jamais dépasser. » Non, citoyen Lacroix, il n'est point temps qu'on s'arrête ; à peine même a-t-on commencé. La science que vous nommez métajjhysique a encore bien longtemps à travailler utilement, car elle ne devra s'arrêter que lorsqu'il n'y aura plus d'idées vagues et obscures, d'idées dont on ne puisse clairement démontrer l'origine, de termes dont on ait exactement circonscrit l'acception. Et votre science, toute

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■certaine qu'elle est, peut lui fournir encore un assez vaste champ. Pourquoi les bornes de la métaphysique seraient-elles plus resserrées que celles des autres sciences, que celles de nos idées mêmes? La sphère de ces idées ne peut s'agrandir dans un genre quelconque, sans fournir de nouveaux matériaux à la science, qui s'occupe de leur origine, de leur ordre de filiation, de leurs classifications méthodiques. Et combien cette physique, cette théorie des probabilités, auxquelles vous nous renvoyez, n'ont-elles pas besoin de son secours ! Combien son alliance avec les diverses branches des mathématiques ne pourrait-elle pas offrir d'avantages précieux, quoique jusqu'à présent inaperçus !

Ceci me conduit à une seconde question.

Je crois avoir prouvé que la métaphysique ou la science de nos idées, leur théorie enfin, bonne ou mauvaise, n'avait eu dans aucun temps d'influence directe et sensible sur les progrès des mathématiques. J'en ai cherché les causes dans la nature comparée des objets que traitent et des buts que se proj)osent le géomètre d'un côté et l'analyste philosophe de l'autre, dans les habitudes opposées que font contracter à l'esprit ces deux genres d'étude. Passant maintenant en quelque sorte du fait au droit, j'examinerai brièvement comment l'idéologie peut s'appliquer aux sciences mathématiques et quelle espèce de réformes elle pourrait leur faire subir.

L'idéologie plane, pour ainsi dire, sur toutes les sciences, car les sciences ne se composent que de nos idées et de leurs divers rapports. Ces idées forment

comme un pays immense et infiniment varié, partagé en. une multitude de districts, coupés par un plus grand nombre de routes de communication. Pendant que les savants voyageurs se dispersent dans ces districts, vont et viennent dans ces routes, l'idéologiste^ j)l^cé sur une éminence et comme immobile, observe leurs directions, en tient note, en dresse la carte : de là, il arrive que souvent il connaît mieux les chemins que les voyageurs eux-mêmes, qu'il peut leur fournir d'utiles indications et en quelque sorte les orienter. Mais toutes ces routes ont une origine ; la plupart même partent d'un point commun pour diverger ensuite ; c'est cette origine, ces points communs, ordinairement ignorés des voyageurs, que l'idéologiste se charge principalement de leur apprendre. Pour suivre encore notre comparaison, la carte la plus simple à dresser, la direction la plus aisée à suivre, est celle du géomètre ; il est dans une grande et large route et il va tout droit, mais toujours avec une telle rapidité qu'on le perd aisément de vue et que lui-même ne sait souvent où il a passé. Si l'idéologie, qui ne partage pas cet entraînement, peut, en le suivant de loin, tenir note de tous ses pas, elle aura ensuite bien des particularités curieuses à lui révéler sur sa jiropre marche.

Si on ne sort pas de la route ordinaire du mathématicien, ou, pour revenir au langage propre, si on ne prend les idées dont il s'occupe qu'au point où il les prend lui-même, sans remonter au delà, on voit qu'elles sont de formation postérieure ; ouvrages de notre entendement, elles ne contiennent que ce que nous y avons mis, et ne se composent que des matériaux pris dans nos perceptions les plus simples, les plus familières, les plus clairement représentables. L'idéologie,.

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appliquée à ce système d'idées, s'y trouvera donc en quelque sorte dans sa sphère; elle n'aura point à lutter contre les difficultés qui l'arrêtent quelquefois dans certaines profondeurs ; elle ne craindra point l'infidélité des souvenirs et ne sera pas tenue d'en renouer laborieusement ou d'en suppléer la chaîne interrompue. Partant de l'origine conventionnelle des différentes idées de quantité, et commençant par le commencement^ elle parcourra lentement et par ordre la série des conditions qui ont déterminé successivement toutes les formes des termes et des idées, depuis leur simplicité première jusqu'à leur plus haut degré de composition. Dans ce travail, elle n'abandonne jamais le fd de l'analogie; le suivant partout où il pourra la conduire, elle déviera souvent de la route frayée par les géomètres, mais pour la raccourcir ou rejoindre les traces trop distantes de leurs pas et remplir les lacunes qu'ils ont laissées dans leur marche précipitée et leurs sauts.

C'est ainsi qu'elle trouvera moyen de dissiper toutes les obscurités, tout ce qui peut rester de vague et de mystérieux dans l'énoncé de certains principes. Ainsi sera parfaitement nettoyé le champ de l'évidence. C'est ainsi enfin que Condillac appliquait l'idéologie aux principes de l'arithmétique et de l'algèbre (1). Mais dans plusieurs cas les obscurités, les vices de langage et de principes viennent de plus loin et ne peuvent être rectifiés, si on ne remonte jusqu'à cette origine réelle des idées, où les mathématiciens, qui sont partis des notions communes et des préjugés vulgaires, ont cru pouvoir se dispenser de puiser. L'idéologie, qui a pour

(1) Son ouvrage pourrait être refait maintenant et beaucoup mieux, en s'aslreignant moins servilement aux expressions et aux formes inexactes que les mathématiques ont consacx'ées.

fonctions de creuser jusqu'à cette origine, jusqu'à ces formes vraiment génératrices, pourra seule alors approfondir et raffermir les bases chancelantes de la certitude, donner un sens à ce qui n'en a pas, substituer des définitions de choses à des définitions de mots, des démonstrations rigoureuses à des paralogismes.

Les abstractions géométriques peuvent être considérées, soit dans le sujet réel et perceptible d'où elles ont été tirées, soit dans la langue ou l'ensemble des signes naturels ou conventionnels qui représentent ou fixent •ces abstractions. L'idéologie, les considérant sous le premier rapport qui tient à ce qu'on appelle physique générale, révélera le secret de leur origine ; elle dira ce qu'est pour nous ce sujet étendu, solide, résistant, auquel nous rapportons nos propres modifications et que nous nommons corps, ce que sont ses propriétés générales, comment, dans quel ordre et par quelle suite d'expériences, nous acquérons ces idées simples qui nous représentent ces propriétés, elle fera voir, comment, étant toutes engendrées d'une première et prenant leur origine commune dans l'exercice d'une seule et même faculté, elles sont liées et subordonnées entre elles, suivant un ordre fixe dont l'observation et la connaissance peuvent seules nous diriger sûrement dans l'étude des sciences naturelles ou abstraites, et dont l'interversion est la principale cause de l'obscurité, des erreurs même qui régnent dans plusieurs principes de ces sciences. La géométrie, la mécanique et toutes les branches physico-mathématiques (en proportion même qu'elles retiennent un plus grand nombre des propriétés sensibles de leur sujet), devront donc emj)runter des principes de l'idéologie, et ce n'est qu'en s'alliant è. elle, en partant de ses données, qu'elles pourront

acquérir les degrés de précision et de clarté qui manquent encore dans plusieurs points de leur théorie,

?rexactitude, l'enchaînement et la rigueur que l'on désire dans plusieurs de leurs démonstrations.

Il ne serait pas difficile de prouver ces vérités par des exemples, et on ne pourrait être embarrassé que du choix. Mais comment douter qu'une conception nette

■ de la manière dont nous acquérons les idées de ligne droite, brisée, etc., et en général de l'étendue et de ses modes divers, celle de mouvement, d'espace, de temps, de force, ne soit une introduction utile et nécessaire même aux sciences qui se fondent sur ces idées et font un emploi continuel de leurs termes? Ne sera-ce pas là qu'il faudra remonter, lorsqu'on voudra sortir du mécanisme des opérations et des rapports abstraits des signes conventionnels, pour trouver dans la nature des

. termes de rapports fixes, réels et non arbitraires? Croiton que l'on serait encore à désirer des principes clairs sur la mesure des angles, sur les propriétés des parallèles, etc., si l'on eût bien cherché à se rendre compte de la vraie génération de ces idées ? Aurait-on si longtemps et si vaguement disputé sur la mesure des forces, sur la nécessité ou la contingence des lois du mouvement? Tournerait-on encore dans ce cercle vicieux qui détermine l'espace parle temps, le temps par l'espace, le mouvement par l'un et par l'autre et vice-vci'sa, si on eût bien connu la vraie filiation de ces idées ? Voyez sur tout cela ce que dit d'Alembert dans ses Mélanges (1) et jugez ensuite si les géomètres

(I) .\r1icle Mécanique des Eléments de philosopliie ' « Le philosophe mécanicien doit. . . non seulement déduire les principes de la mécanique des notions les plus claires, mais encore les étendre en les réduisant. » (I*. 184). « La réduction de toutes les lois de

entendent bien la métaphysique de leur science. Celuilà, du moins, a le mérite d'avoir senti qu'il y en avait une et qu'il pouvait être utile d'y remonter.

Si jamais quelque idéologiste profond fait des éléments de matliématiques, et désirons que cela arrive pour l'utilité de celle-ci et pour le triomphe de l'idéologie, on verra comment toutes ces obscurités disparaissent, lorsqu'on sait se placer au véritable point de vue et commencer par le commencement ; on appréciera l'utilité de cette science aujourd'hui tant décriée, qui, tendant toujours à remonter le plus haut possible dans la première formation de nos idées, fournit des principes à toutes les sciences et les lie ensemble par leurs extrémités convergentes.

Les abstractions géométriques considérées sous le second rapport, c'est-à-dire dans le système des signes, qui les expriment, les fixent ou les remplacent, offriront encore à l'idéologie un vaste champ où elle pourra recueillir d'abondantes et utiles moissons. La langue des mathématiciens, ou le calcul algébrique a, comme toutes les autres, sa métaphysique, c'est-à-dire des principes ou idées primitives, fondamentales, qui ont servi de types à ces premières expressions, en ont déterminé les premières valeurs réelles. Ces idées^ ou principes ne pourront être éclaircis sans que le langage ne s'en ressente et n'éprouve par là même d'utiles réformes. Ceux qui pratiquent mécaniquement

la mécanique à trois, celle de la force d'inertie; celle du mouvement composé et celle de l'équilibre, peut servir à résoudre le grand problème métaphysique proposé, il y a quelques années, par une des plus célèbres académies de l'Eui'ope, si les lois du mouvement et de l'équilibre des corps sont de vérité nécessaire et contingente 1 » (P. 211). Note de M. Alexis Bertrand,

une langue, sans avoir une connaissance exacte, ou sans se rendre compte de Tcspiit des conventions preuiiêres qui durent déterminer sa formation, risque souvent de dénaturer ses acceptions, de forcer ses tours, d'allérer son génie. Si, comme il est arrivé plus ou moins à toutes les langues, elle s'est étendue peu à peu^ suivant rextension des besoins, quelquefois par le mélange des idiomes, il est encore plus à craindre que l'arbitraire et l'obscurité ne s'y soient glissés à la place de cette analogie, de cette clarté et simplicité qui compensaient la pauvreté du langage primitif. Ici, comme ailleurs, les embarras et les inconvénients accompagnent souvent les richesses.

La métaphysique de la langue algébrique avait, sans doute, dans l'esprit des inventeurs, une clarté qu'elle n'a plus, La multitude des problèmes dont le besoin ou la curiosité ont déterminé successivement la proposition, ayant conduit à des expressions diversement compliquées, les mathématiciens se sont trouvés entraînés, sans s'en apercevoir, bien loin des règles originaires. Ces règles ne s'étendant plus aux cas nouveaux (du moins en apparence) on ne pourrait pas atteindre directement par leurs moyens les solutions désirées. 11 fallait donc y procéder par des essais, des tâtonnements, des voies détournées; il était rare, dans ces cas embarrassants, que l'on cherchât les moyens de solution dans ranalo>;ie, ou que Ion se traînât régulièrement du connu à l'inconnu. L'impatience du génie aimait mieux couper le nœud que de le délier, il avait plutôt fait d'inventer une méthode nouvelle, que de consulter et de suivre laborieusement l'esprit de l'ancienne.

Ainsi se sont jDcrdues les traces de l'analogie, ainsi

s'est obscurcie la vraie métaphysique de la langue, ainsi se sont accumulés tant de règles, tant d'éléments hétérogènes, dont il est si difficile et parfois impossible de trouver les liaisons. De là tant de pratiques, tant de formules, dont un esprit attentif et réfléchi cherche en vain les fondements dans les idées claires antérieurement acquises.

Cependant on jouit des résultats, et les mathématiciens qui ne tendent que vers eux, sans se soucier de la manière dont il les atteignent, se laissent conduire dans la pratique de toutes ces règles par la même habitude aveugle et mécanique, qui dirige ceux qui parlent leur langue maternelle sans en connaître la grammaire, ou encore ces grammairiens ordinaires qui ont étudié les règles, sansremonter jusqu'à leur esprit. Mais le philosophe, l'idéologiste médite cet esprit des règles, cette grammaire générale des langues dont les principes se tirent de l'origine commune des idées ; il l'aperçoit, le sent, le devine, quand il se cache et peut entin l'interpréter au besoin.

Transporté dans la langue du calcul, le génie idéologique, accoutumé à d'autres formes, habitué surtout à réfléchir, à refaire lui-même tous les signes dont il se sert, à percer jusqu'à leurs racines, ne saurait se livrer en aveugle à ces méthodes formulaires et purement mécaniques, avant d'en avoir sondé les bases. Témoin de l'entraînement conmiun, il ne le partagera pas; il voudra se diriger lui-même, mesurer sa route, savoir d'où il vient, où il va. Comme il est en quelque tsorte en pays étranger, il sera choqué de certaines dissonances de langage, que l'habitude cache aux gens du pays. Rencontre-t-il des expressions paradoxales ei). apparence, des termes obscurs et presque mystérieux,

RAPPORTS DIi; l'idéologie ET DES MATHÉMATIQUES 21

tels qu'il s'en présente quelquefois en algèbre, il en soupt^'onnera dès lors l'inexactitude, car il sait que la vérité se distingue ordinairement par la simplicité, la clarté et la facilité de l'expression; il ne se laissera point éblouir par certaines explications dont les habitués se contentent, ni même par la certitude pratique des résultats auxquels peuvent conduire ces formules paradoxales. Tant qu'il restera quelque louche, ne fût-ce que dans les termes, il ne sera point tranquille ; il n'est descendu dans le pays de l'évidence que pour y voir clair sur tous les points. Comment, d'ailleurs, peut-il subsister des obscurités, des énigmes dans un système d'idées qui ne contient que ce que l'homme y a mis? L'idéologiste appellera ici sa méthode ordinaire, remontera jusqu'aux formes génératrices, suivra de nouveau et avec toute la force de son attention toutes leurs dérivées, sans en omettre iiucune, sans faire aucun écart, aucun saut; et en consultant toujours l'analogie la plus rigoureuse, il recréera, s'il le faut, toute la langue et peut-être la fera mieux. C'est ainsi qu'il trouvera la vraie source des obscurités qui l'avaient frappé dans quelque convention illégitime et contraire à l'esprit des conditions fondamentales, dans quelque omission essentielle, quelque supposition arbitraire ou vicieuse. Il aura ainsi, pour toujours, fait disparaître ces taches et encore une fois nettoyé le champ de l'évidence. C'est ainsi, pour citer encore quelques exemples, qu'il pourra éclaircir(et peut-être mieux que ne l'a fait Condillac lui-même dans sa langue des calculs) l'article essentiel des quantités négatives, qu'il reconnaîtra l'insignifiance de l'énoncé du principe paradoxal — multiplié par — donne -\- , et que — divisé par — donne — , car les signes -|- et — ne sont

point par eux-mêmes les sujetf< des opérations, mais indiquent seulement les opérations d'ajouter ou de soustraire, et voilà tout. Dès qu'on admet des expressions inexactes, il faut s'attendre qu'on s'en ressentira tôt ou tard, et c'est ce qui est arrivé dans ce cas-ci. L'idéologiste prouvera qu'il n'y a point réellement de nombres négatifs ; il s'attachera à faire voir que certains résultats ou formules algébriques, uniquement susceptibles d'être construits ou traduits en lignes, n'ont aucun sens, aucune valeur arithmétique ; il assignera la cause de cette différence dans la nature de la quantité continue et celle de la quantité discrète, comme dans les formes particulières de numération qui s'appliquent à cette dernière; il ne lui sera pas difficile de prouver que l'absence de cette distinction fondamentale a occasionné une multitude d'obscurités, de mésentendus et de disputes dans un sujet et avec une langue qui ne paraîtrait pas devoir en soutfrir, les uns soutenant la réalité d'un résultat ou dune expression algébrique, parce qu'ils les concevaient traduits en lignes, d'autres leur impossibilité, parce qu'ils voulaient les effectuer en nombres. La fameuse dispute de Leibnitz et de Bernouilli, au sujet des logarithmes négatifs, en fournit une preuve bien remarquable (i). Enfin, suivant toujours les mêmes principes, il éclaircira la nature des quantités et des racines qu'on appelle imaginairçs et trouvera peut-être quelque moyen d'écarter celfe pierre d'achoppement de 1 analyse algébrique ; il soumettra encore à une nouvelle analyse ce fameux principe, fondamental dans la théorie des équations et qui n'est pas encore exempt de nuages, savoir : que dans toute équa-

(4)Vojez le Commercium epistolicuw.

lion d'un degré quelconque, l'inconnue a autant de •valeurs particulières qu'il y a d'unités dans son plus haut exposant, principe que l'on conçoit bien, si on en regarde l'inconnue comme Vabcisse ou V ordonnée d'une courbe qui varie dans ses valeurs successives, mais qui n'est plus concevable, dès que l'on veut que cette même inconnue soit une quantité numérique une et indéterminable .

Voilà sans doute assez et peut-être trop de détails pour prouver ce résultat incontestable, que l'idéologie •est susceptible d'une application directe aux sciences mathématiques, et qu'en y portant son esprit, sa méthode, sa manière de procéder, elle peut et elle peut seule faire subir à leurs principes des réformes essentielles. On attendrait vainement ces réformes des mathématiciens eux-mêmes; les algébriers porteront toujours de l'algèbre, mais ne se redresseront pas, ne se tailleront pas d'eux-mêmes.

Je n'ai point parlé de l'application de l'idéologie au calcul le plus important de tous par son objet, celui des probabilités, parce que cette branche du calcul est évidemment et presque tout entière de son ressort; c'est elle qui déterminera la nature et l'espèce des différentes probabilités, assignera les idées ou olijets qui fourniront des chances plus ou moins nombreuses, plus ou moins faciles à évaluer, et qui enseignera pourquoi, comment, et avec quelles restrictions le calcul leur est applicable. L'idéologiste fournit les données, et met presque le problème en équation; le calculateur le résout mécaniquement. Ici donc le mathématicien doit être idéologiste pour concevoir, et celui- •ci mathématicien pour exécuter.

En réunissant toutes les réflexions qui précèdent, on

peut voir quel est surtout le genre d'influence que ridéologie doit exercer sur les mathématiques, et dans quelles limites doit se renfermer cette influence j3our avoir son utilité prochaine la plus désirable. L'idéologie est conliguëà toutes les sciences par leurs extrémités commençantes; elle a donc des rapports immédiats avec leurs éléments, et peut-être qu'elle seule peut leur en fournir de bons. Si Fidéologiste était ex />ro- /"e.s-.ço un grand calculateur, un grand géomètre, il ne serait peut-être plus idéologiste, il aurait changé ses habitudes. Il n'étendra donc pas directement les progrès de la science; il ne prétendra pas à allonger le bout où elle finit; mais c'est précisément, parce qu'il n'a ni la prétention, ni les moyens d'agrandir actuellement le champ de la science, qu'il est plus propre à en raffermir la base, à en éclairer les principes. S'il remplit une fois cette grande fonction, s'il parvient à donner enfin aux sciences mathématiques de bons et de véritablement éléments, à réformer leur langue dans plusieurs points essentiels, à systématiser tous les signes et toutes les notions qui les composent, en comblant leurs vides et les ralliant à leurs vrais et communs principes, il aura rendu deux services inestimables, l'un particulier à ces sciences, l'autre général aux progrès de la philosophie ou de la raison humaine.

Les conquêtes de la géométrie en déviendraient d'abord plus nombreuses, plus assurées et plus importantes ; elle se concilierait et s'attacherait pour toujours de bons esprits, qui l'abandonnent souvent pour l'avoirmal apprise, ou dont la raison profonde et sévère ne peut se plier au joug de sa méthode actuelle, au mécanisme de ses formes. Qui sait même jusqu'où ces bons esprits, ces têtes naturellement saines, fortifiées par

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une culture appropriée, par des méthodes toujours rigoureuses pourraient pousser à l'avenir les progrès réels de la science? Tout dépend des bons principes ou des bons commencements : on le dit, on le répète, on le sait, et cependant on a fait jusqu'ici comme si on ne le savait pas. Mais ce qui est plus important encore, c'est que l'étude de la géométrie, dirigée par l'esprit idéologique, commencée et continuée dans cet esprit, ne formerait pas seulement de bons géomètres, mais serait éminemment propre à former de bons et profonds jDenseurs. Des têtes bien faites et convenablement exercées, accoutumées à n'admettre que des idées claires et des termes exactement déterminés, à ne se rendre qu'à l'évidence, à ne céder qu'à la raison et jamais à aucune autre autorité, auraient vraiment les amcs de la philosophie [ansse philosophiœ), seraient capables de la défendre, d'en étendre, d'en propager l'empire.

On dit souvent que rien n'est plus propre que l'étude de la géométrie à rectifier Vesprit, à former le raisonnement, et cependant pourquoi voit-on tant de bons géomètres qui, hors de leur science, ne sont plus que de pitoyables raisonneurs, des esprits faibles et boiteux ? Ce n'est point aux géomètres que l'analyse logique ni même (à quelques rares exceptions près) cet esprit pliilosophique qui distinguera à jamais notre siècle, doivent leurs progrès. Si, loin de diriger ces progrès, de marcher à la tète^ la plupart sont restés en arrière, si quelques-uns même ont fait leurs efforts pour en ralentir ou suspendre la marche, n'est-ce pas en grande partie à des habitudes mécaniques et pour ainsi dire serviles, contractées dans l'étendue de leur science, qu'il faut s'en prendre? Il apj^artient à l'idéologie de briser le joug de ces habitudes. Après avoir apporté sa

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méthode dans les sciences mathématiques, dissipé le vague et l'obscurité de plusieurs de leurs principes, s'être associé à leurs progrès, avoir rattaché enfin à son domaine le propre champ de Févidenee, quel triomphe pour elle d'opposer tous ces produits communs, toutes ces forces réunies et conspirantes aux ennemis de la raison, — de les en accabler !,..

DE LA DECOMPOSITION